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1.1.2余弦定理(一),学习目标 1.理解余弦定理的证明. 2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形.,知识链接 1.以下问题可以使用正弦定理求解的是 . (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角. (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.,(1)(2),2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？,解a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2 b2(sin2Acos2A)2bccos Ac2 b2c22bccos A. 得出a2b2c22bccos A.,预习导引 1.余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们 的余弦的积的 .即 a2， b2， c2.,b2c22bccos A c2a22cacos B a2b22abcos C,平方和,夹角,两倍,2.余弦定理的变形 cos A， cos B， cos C.,要点一已知两边及一角解三角形 例1已知ABC，根据下列条件解三角形： (1)b3，c3 ，B30；,解方法一由余弦定理b2a2c22accos B， 得32a2(3 )22a3 cos 30， a29a180，得a3或6. 当a3时，由于b3，AB30，C120.,当a6时，由正弦定理得sin A 1. A90，C60. 方法二由正弦定理得sin C ， 由bc，C60或120， 当C60时，A90，由勾股定理a 6， 当C120时，A30，ABC为等腰三角形. ab3.,解由余弦定理知b2a2c22accos B.,(2)a ，b ，B45.,0A180，A60，C75.,0A180，A120，C15.,规律方法已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.,跟踪演练1在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边长c.,解5x27x60可化为(5x3)(x2)0. x1 ，x22(舍去). cos C . 根据余弦定理， c2a2b22abcos C5232253 16. c4，即第三边长为4.,要点二已知三边或三边关系解三角形 例2(1)已知ABC的三边长为a2 ，b2 ，c ，求ABC的各角度数.,B45，C180AB75.,解ca，cb，角C最大.由余弦定理， 得c2a2b22abcos C， 即3791624cos C， cos C ， 0C180， C120. ABC的最大内角为120.,(2)已知三角形ABC的三边长为a3，b4，c ，求ABC的最大内角.,规律方法(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.,跟踪演练2在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长.,解由余弦定理和条件，得 设中线长为x，由余弦定理，得 x2( )2AB22 ABcos A 4292249 49，x7. 所以所求AC边上的中线长为7.,要点三三角形形状的判断 例3在ABC中，已知cos2 ，判断ABC的形状.,解方法一在ABC中，由已知cos2 ，得 cos A . 根据余弦定理，得 . b2c2a22b2，即a2b2c2. ABC是直角三角形.,方法二在ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，b2Rsin B，c2Rsin C， cos A ，即sin Bsin Ccos A. B(AC)， sin(AC)sin Ccos A，,sin Acos C0. A，C都是ABC的内角， A0，A.cos C0，C . ABC是直角三角形.,规律方法(1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式.这两种方法是判断三角形形状的常用手段. (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.,跟踪演练3在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.,解方法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(ac )b(bc )a，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2， a2b2c20或a2b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形.,方法二由正弦定理，原等式可化为(sin Asin Ccos B) sin B(sin Bsin Ccos A)sin A， sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A， 2B2A或2B2A，AB或AB ， 故ABC为等腰三角形或直角三角形.,1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，则三角形的另一边长为() A.52 B.2 C.16 D.4,B,当堂检测,解析设另一边长为x，则x25232253( )52，x2 .,2.在ABC中，a7，b4 ，c ，则ABC的最小角为(),B,解析abc，C为最小角， 由余弦定理cos C,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(),D,解析设顶角为C，l5c，ab2c， 由余弦定理得：cos C,4.在ABC中，已知A60，最大边长和最小边长恰好是方程 x27x110的两根，则第三边的长为 .,4,解析设最大边为x1，最小边为x2， 则x1x27，x1x211， 第三边长,5.在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状.,解因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0).c最大，cos C 所以C为钝角，从而ABC为钝角三角形.,课堂小结 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形. 2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系.,3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第 三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第 三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第 三边所对的角是直角.,
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