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5.1任意角、弧度制及任意角的三角函数,第五章三角函数、解三角形,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；分类：角按旋转方向分为 、 和 . (2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S . (3)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.,一条射线,图形,正角,负角,知识梳理,ZHISHISHULI,零角,|k,360，kZ,原点,x轴的非负半轴,2.弧度制 (1)定义：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .,半径,正数,0,负数,(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1_ rad，1 rad_.,(3)扇形的弧长公式：l ，扇形的面积公式：S .,|r,3.任意角的三角函数 任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时， 则sin ，cos ，tan (x0). 三个三角函数的初步性质如下表：,y,x,R,R,4.三角函数线 如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.,MP,OM,AT,1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律.,提示一全正、二正弦、三正切、四余弦.,2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，怎样定义角的三角函数？,【概念方法微思考】,题组一思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.() (2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.() (3)不相等的角终边一定不相同.() (4)若为第一象限角，则sin cos 1.(),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二教材改编,2.P10A组T7角225_弧度，这个角在第_象限.,二,4.P10A组T6一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度.,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,题组三易错自纠,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析2cos x10，,由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，,1,2,3,4,5,6,7,8,2,题型分类深度剖析,PART TWO,题型一角及其表示,自主演练,但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.,A.MN B.MN C.NM D.MN,故选B.,3.终边在直线y x上，且在2，2)内的角的集合为_.,4.若角是第二象限角，则 是第_象限角.,一或三,解析是第二象限角，,(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角.,题型二弧度制及其应用,师生共研,1.若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.,2.若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？,解由已知得，l2R20，则l202R(0R10).,所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.,应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.,跟踪训练1(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为,解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，,作OMAB，垂足为M，,(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的 面积等于圆面积 的 则扇形的弧长与圆周长之比为_.,记扇形的圆心角为，,题型三三角函数的概念,命题点1三角函数定义的应用,多维探究,A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,例3(1)满足cos 的角的集合是 .,连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，,命题点2三角函数线,(2)若 从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小关 系是 .,解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT， 观察可知sin cos tan .,sin cos tan ,(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.,跟踪训练2(1)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0.则实数a的取值范围是 A.(2,3 B.(2,3) C.2,3) D.2,3,解析cos 0，sin 0， 角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.,(2)在(0,2)内，使得sin xcos x成立的x的取值范围是,此时sin x|MA|，cos x|OM|，sin xcos x；,此时sin x|NB|，cos x|ON|，sin xcos x.,3,课时作业,PART THREE,1.下列说法中正确的是 A.第一象限角一定不是负角B.不相等的角，它们的终边必不相同 C.钝角一定是第二象限角D.终边与始边均相同的两个角一定相等,解析因为33036030，所以330角是第一象限角，且是负角，所以A错误； 同理330角和30角不相等，但它们终边相同，所以B错误； 因为钝角的取值范围为(90，180)，所以C正确； 0角和360角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 A.1 B.4 C.1或4 D.2或4,解析设扇形的半径为r，弧长为l，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知点P(cos ，tan )在第二象限，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析因为点P(cos ，tan )在第二象限，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018嘉兴模拟)sin 2cos 3tan 4的值 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在,解析sin 20，cos 30， sin 2cos 3tan 40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以8m0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.下列命题中正确命题的个数是 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若sin sin ，则与的终边相同； 若cos 0，则是第二或第三象限的角. A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错； 当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当cos 1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错. 综上可知，只有正确.,9.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_.,解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.若角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP| ，则mn_.,2,解析由已知tan 3，n3m， 又m2n210，m21. 又sin 0，m1，n3.故mn2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析利用三角函数线(如图)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合 可表示为_.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以角只能是第三象限角.记P为角的终边与单位圆的交点， 设P(x，y)(x0，y0)， 则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于B点，始边不动，终边运动. (1)若点B的横坐标为 ，求tan 的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；,解若AOB为等边三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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