《复数及复平面》PPT课件.ppt

第一章 复数及复平面,本章给出复数的定义, 运算及其运算性质. 也讨论复平面的有关拓扑的概念.,第一节,复数及其几何表示,1. 复数域,定义: 形如 x+iy 的数称为复数, 其中 x,y R, i 为虚数单位, 合于 i2 = -1; x, y 分别称为实部和虚部, 分别记为 x = Re z, y = Im z, 这里 z = x+iy. 两个复数 z1, z2 相等当且仅当 Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2. 记作 z1 = z2. 若 Im z = 0, 则 z 为实数. 若 Im z 0, 则称 z 为虚数. 若 Im z 0, Re z = 0 , 则称 z 为纯虚数.,全体复数所成的集合称为复数集, 记做 C. 而 R 是 C 的一个子集. 对复数引进加,减,乘,除运算, 这样在 C 上引进了代数结构, 则复数集成为复数域, 仍记之为 C. 运算定义如下: 设 a1, a2; b1, b2 R, 则定义: 加法 (a1+ib1)+(a2+ib2)=(a1+a2)+i(b1+b2) 减法 (a1+ib1)-(a2+ib2)=(a1-a2)+i(b1-b2),乘法 (a1+ib1)(a2+ib2) =(a1a2 - b1 b2)+i(a1b2+ a2 b1) 除法 (a2+ib2 0),2. 复平面,复数 z=x+iy 平面上点 (x,y) 平面上以0 为始点, (x,y) 为终点的向量. R2 上的点看作复数后称平面为复平面, 此时, 横坐标轴及纵坐标轴分别称为实轴和虚轴. 当复数 z=x+iy 与平面上以原点为始点, (x,y) 为终点的向量相对应时(一一对应), 复数的加,减运算与平面上向量的加,减法法则一致. 在一般情况下, 不再区分复数与其对应的点和向量.,7,在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为复数z的模，记作,O,x,y,x,y,q,P,z=x+iy,|z|=r,8,显然, 对于模有下列各式成立：,9,在z0的情况，即P点不是原点，以正实轴为始边, 表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作Arg z=q。幅角的方向规定为：逆时针方向为正，顺时针方向为负。这时, 有,10,任何一个复数z0有无穷多个幅角, 如果q1是其中的一个, 则Arg z=q1+2kp (k为任意整数) (1.3)给出了z的全部幅角, 在z(0)的幅角中, 将满足-p q0p的q0称为Arg z的主值, 记作q0=arg z,向量 z = x+iy 的长度称为复数 z 的模, 记做 |z|. 显然 实轴的正向与向量 z 之间的夹角 (z 0) 称为 z 的辐角, 记作 , 显然 有无穷多个不同的值, 记作 Arg z = + 2k, k Z Arg z 中的任一确定的值记作 arg z, 其中只有一个值 满足 - , 称它为 z 的辐角主值.,归纳：,对复数 z ( 0), 有 Re z = |z| cos (Arg z), Im z = |z| sin (Arg z) 且 z = |z| ( cos (Arg z) + i sin (Arg z) = r ( cos + i sin ) 称之为复数 z 的三角表示.,称复数 x-iy 为复数 x+iy=z 的共轭复数, 记作 . 显然, 共轭是相互的. 性质 |z| = | | , Arg z = - Arg . (从集合的角度认识等式) |z1 + z2| |z1| + |z2| (两边之和大于第三边). |z1| - |z2| |z1 - z2| (两边之差小于第三边). |Re z| |z|, |Im z| |z| |z|2 = x2 + y2 = z ,14,由复数运算法则, 两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.,z1,z2,z1+z2,成立不等式 |z1+z2|z1|+|z2| (三角不等式),15,减法:,z1,z2,z1-z2,-z2,|z1-z2|z1|-|z2|,例1: 试用复数表示圆的方程 a(x2 + y2) + bx + cy + d = 0 (a 0) 其中 a, b, c, d 是实常数 (如果 a = 0, b 及 c 不全为 0, 则方程退化为直线方程）,积、商之模与辐角,|z1 z2| = |z1| |z2| Arg (z1 z2) = Arg z1 + Arg z2 注: 关于辐角关系要从集合的角度来理解.,例3: 设 z1, z2 是两个复数, 求证: |z1 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 + 2 Re (z1 ) 并利用这一等式证明: |z1 + z2| |z1| + |z2| 例4: 作出过复平面 C 上不同两点 a, b 的直线以及过不共线三点 a, b, c 的圆的表示式.,乘幂与方根,若 z = r cos + i sin , 则 zn = rn ( cos (n ) + i sin (n ) k = 0, 1, , n-1.,例5. 求 的所有值,3. 复球面及无穷大,本小节讨论复数在复球面上的几何表示. 利用测地投影法. 考虑球面 S : x2 + y2 + u2 = 1. 取球面上一点 N(0,0,1) , 称为球极. 作连接 N 与 x y 平面上的点 A(x,y,0) 的直线, 此直线与球面交与点 A(x,y,u), 称 A 为 A 在球面上的球极射影. 如此在复平面 C 与 S- N 之间建立双射.,22,复球面,N,O,y,P,z,x,S,约定: 在复平面上有一个理想的点, 称之为无穷远点, 其球极射影为 N. 无穷远点以及 N 都看作非正常复数无穷大 (记作 ). 集 C 称为扩充复数集 ( 记作 C ), 复平面 C 称为扩充复平面, 仍记作C . 如此球面 S 与扩充复平面之间建立双射, 此时, 球面 S 称为复球面. 引进复球面即相应地对 C 引进了一种拓扑结构. 关于无穷大, 规定其运算如 P10 .,24,关于的四则运算作如下规定:加法: a+=+a= (a)减法: a-=-a= (a)乘法: a=a= (a0),