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第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形,中考数学 (广东专用),考点一等腰三角形,A组 2014-2018年广东中考题组,五年中考,1.(2017深圳,8,3分)如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于AB为半径作弧,连接弧的交点得 到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至M,则BCM的度数为() A.40B.50C.60D.70,答案B由作法知直线l是线段AB的垂直平分线,C在l上,AC=BC,B=CAB=25, BCM=50,故选B.,2.(2015广州,10,3分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为() A.10B.14 C.10或14D.8或10,答案B 把x=2代入方程得m=4,解方程x2-8x+12=0得x1=2,x2=6.当6是腰长,2是底边长时,周长是6+6+2=14;当2是腰长,6是底边长时,2+26,不能构成三角形, ABC的周长是14,故选B.,思路分析先利用方程的根x=2求m的值,再解方程求另一根,最后分类讨论求三角形的周长.,易错警示不考虑三角形的三边关系,错选C.,3.(2014广东,9,3分)一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为() A.17B.15C.13D.13或17,答案A三角形为等腰三角形,且三角形任意两边之和大于第三边,三角形的三边长分别为3,7,7,周长为17.故选A.,4.(2014广州,8,3分)将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当B=90时,如图1,测得AC=2,当B=60时,如图2,AC=() A.B.2C.D.2,答案A如图1,AB=BC=CD=DA,B=90,四边形ABCD是正方形, 连接AC,则AB2+BC2=AC2, AB=BC=. 如图2,B=60,连接AC, ABC为等边三角形, AC=AB=BC=.故选A.,5.(2018广东,19,6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CBD=75. (1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BF,求DBF的度数.,解析(1)如图所示,直线EF即为所求. (2)BD是菱形ABCD的对角线, ABD=CBD=75,A=30, 由(1)知EF是线段AB的垂直平分线, FBA=A=30, DBF=DBA-FBA=75-30=45.,解题反思本题考查了线段垂直平分线的尺规作图,菱形的性质,等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.,6.(2018广州,23,12分)如图,在四边形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, 证明:AEDE; 若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.,解析(1)如图所示. (2)证明:如图,延长DE、AB相交于点F. ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC, ADE=CDE.ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD. BF=CD.,在CED和BEF中, CEDBEF.DE=EF.又AD=AF,AEDE. 如图,作DHAB于H,作点N关于AE的对称点N,连接MN,BM,则MN=MN. BM+MN=BM+MN.由可得AD=AF,DE=EF, AE平分DAB. 点N在AD上.当点B,M,N共线且BNAD时,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值. 在RtADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH=4. DHA=BNA=90,DAH=BAN,DAHBAN. =. =.BN=,BM+MN的最小值为.,思路分析(1)利用基本作图“作已知角的平分线”,按照题目的作图要求作图; (2)延长DE、AB相交于点F,由“角平分线、平行线”可以得出“等腰三角形ADF”,再结合“AD=AB+CD”,利用全等证得DE=EF,然后由“等腰三角形三线合一”证得AEDE;利用轴对称转化BM+MN,再利用垂线段最短分析得出BN的长即为所求,利用相似三角形求出BN的长.,方法总结合理作出辅助线是解决本题的关键,条件AD=AB+CD是解决问题的突破口,综合运用三角形全等及等腰三角形的判定,再结合等腰三角形的三线合一就可证得AEDE.求最小值问题是又一难题,找到M、N两点的位置使BM+MN的值最小,可以利用轴对称及垂线段最短来解决这一问题.,7.(2017广东,20,7分)如图,在ABC中,AB. (1)作边AB的垂直平分线DE,与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,连接AE,若B=50,求AEC的度数.,解析(1)如图所示,直线ED即为所求. (2)直线ED是线段AB的垂直平分线, AE=BE,EAB=B. B=50,EAB=50. AEC=EAB+B, AEC=100.,考点二直角三角形,1.(2014深圳,14,3分)在RtABC中,C=90,AD平分CAB,AC=6,BC=8,CD=.,答案3,解析C=90,AC=6,BC=8, AB=10. 过D点作DEAB,则DE=CD,AC=AE,在RtDEB中,设DE=x,则BD=8-x,BE=AB-AE=4, 由勾股定理得(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CD=3.,2.(2014珠海,10,3分)如图,在等腰RtOAA1中,OAA1=90,OA=1,以OA1为直角边作等腰 RtOA1A2,以OA2为直角边作等腰RtOA2A3,则OA6的长度为.,答案8,解析等腰直角三角形的斜边是直角边的倍, OA1=OA=()1,OA2=OA1=()2, OA3=OA2=()3,OA6=()6=8.,3.(2017广州,20,10分)如图,在RtABC中,B=90,A=30,AC=2. (1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE,垂足为E,交AB于点D;(保留作图痕迹,不写作法) (2)若ADE的周长为a,先化简T=(a+1)2-a(a-1),再求T的值.,解析(1)如图. (2)T=(a+1)2-a(a-1)=a2+2a+1-a2+a=3a+1, AE=AC=2=, AD=2, DE=ADsin A=2=1, a=+1+2=3+, T=3(3+)+1=3+10.,4.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC, FCG=90,继续用同样的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的长.,解析RtABC中,B=30,ACB=90, A=60.(1分) CDAB,ADC=90,ACD=30.(2分) AC=a, RtADC中,AD=AC=, CD=AD=a.(4分) 同理可得,RtDFC中,DF=CD=a, CF=DF=a.(5分) RtFHC中,FH=CF=a, CH=FH=a,(6分) RtCHI中,CI=CH=a.(7分),评析本题考查直角三角形的基本性质与运算.,5.(2014珠海,15,6分)如图,在RtABC中,ACB=90. (1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹); (2)连接AP,当B为度时,AP平分CAB.,解析(1) (2)30.,6.(2016梅州,15,3分)如图,在平面直角坐标系中,将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去. 若点A,B(0,2),则点B2 016的坐标为.,答案(6 048,2),解析AO=,BO=2, AB=, OA+AB1+B1C2=6, B2的横坐标为6,且B2C2=2, B4的横坐标为26=12, 点B2 016的横坐标为2 01626=6 048,点B2 016的纵坐标为2. 点B2 016的坐标为(6 048,2).,思路分析首先根据已知求出三角形三边的长度,然后通过旋转发现,B、B2、B4、的纵坐标相等,即可得每个相邻的偶数之间的横坐标相差6个单位长度,根据这个规律可以求得B2 016的坐标.,考点一等腰三角形,B组 2014-2018年全国中考题组,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是() A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案B无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2017天津,11,3分)如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是() A.BCB.CEC.ADD.AC,答案B如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC, PB=PC, PB+PE=PC+PE,PE+PCCE, 当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE,故选B.,思路分析先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE.,3.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为() A.35B.40C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故选A.,4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为.,答案80,解析等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,5.(2015福建龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点),则正方形的腰点共有个.,答案9,解析如图,(1)连接两条对角线,对角线的交点是正方形的一个腰点;(2)分别以四个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,除顶点外,共有8个交点,这8个点也是腰点.综上,正方形共有9个腰点.,6.(2014内蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角形的底角的度数为.,答案63或27,解析在三角形ABC中,设AB=AC,BDAC于D. 若三角形是锐角三角形,则A=90-36=54, 此时,底角=(180-54)2=63; 若三角形是钝角三角形,则BAC=36+90=126, 此时,底角=(180-126)2=27. 综上,该等腰三角形底角的度数是63或27.,7.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC.,考点二直角三角形,1.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且 DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为() A.17.5B.12.5C.12D.10,答案DAB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,2.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为() A.3B.6C.3D.,答案A由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3, AB=3,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC=3.,3.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为() A.B.C.D.,答案A过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.选A.,4.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为() A.0.5 kmB.0.6 kmC.0.9 kmD.1.2 km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2 km.故选D.,5.(2017吉林长春,13,3分)如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,ABF、BCG、CDH、DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为.,答案10,解析依题意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,BF=BG-FG=6, 在RtABF中,利用勾股定理得,AB=10.,6.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上 的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角 形,则BM的长为.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45. 设BM=x,则BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1, BM=1. (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM=BC=. 综上所述,BM的长为1或.,7.(2015贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=.,答案12,解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,8.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析(1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM=AC. N为CD的中点,MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN=.,考点一等腰三角形,C组 教师专用题组,1.(2015福建龙岩,8,4分)如图,在边长为的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交 ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为() A.B.C.D.1,答案D由题意可得,PBC=30,在RtPBC中,PC=BCtan 30=1,因为BP是ABC的平分线,所以点P到AB的距离等于点P到BC的距离,即为1,故选D.,2.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 () A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90- DAC=55,故选C.,3.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,解析连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=.,在RtDEG中,DG=.,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,4.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为.,答案或,解析当CP=1时,根据勾股定理得AP=;当CP=2时,根据勾股定理得AP= =,故AP的长为或.,5.(2014山西,16,3分)如图,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC边上的中线,ACE= BAC,CE交AB于点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为.,答案-1,解析在DF上取点G,使DG=DC,连接CG. AB=AC,AD为BC边上的中线, ADBC,CAD=BAD=BAC=15, CDG为等腰直角三角形,DCG=45. ACE=BAC,ACE=CAD,AF=CF. ACE=BAC=15,DCG=45, ACB=75, FCG=75-15-45=15, BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF,AFECFG(ASA),EF=FG. AB=AC,AD为BC边上的中线, CD=BC=1. DCF=75-15=60,DF=DC=. 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,6.(2014江苏苏州,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=8.若BPC=BAC,则tanBPC= .,答案,解析过A作等腰ABC底边BC上的高AD,垂足为D,则AD 平分BAC,且D为BC的中点,所以BD=4,根据勾股定理可求出AD=3,又因为BPC=BAC,所以BPC=BAD,所以tanBPC =tanBAD=.,7.(2014河南,11,3分)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B、C为圆心,以大于BC的 长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,B=25,则ACB的度数为.,答案105,解析由题意知MN垂直平分BC,CD=BD, 又CD=AC,AC=CD=BD,DCB=B=25, A=CDA=50,ACB=180-A-B=105.,8.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,点D,E都在边BC上, DAE=60.若BD=2CE,则DE的长为.,答案3-3,解析如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60, 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 过点E作EHDF,交DF于点H,过点A作AMBC,交BC于点M. 设CE=2x, 则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,一题多解将ABD绕点A逆时针旋转120得ACF,连接EF,CF=BD.可证ADEAFE,DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x, 则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x. 过点A作AMBC,交BC于点M, 则BC=2CM=2ACcos 30=22=6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,9.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.,解析(1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ=MB. 证明:连接AQ,过点M作MNBQ于点N,如图. 则MNB为等腰直角三角形,MB=MN. ACBQ,CQ=CP,AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ, QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90,MQN=PAC,MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN=MB.,解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之间的数量关系.,10.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,11.(2015福建龙岩,24,13分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D运动的时间为t. (1)判断MN与AC的位置关系; (2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点, MNAC.(3分),(2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并连接EG,FG. 根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 线段MN扫过区域的面积为12.(7分),(3)解法一:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. (i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分),(ii)当MD=DN时,AD=DC, 过D作DHAC交AC于H, 则AH=AC=3, cos A=, AD=t=5.(11分),(iii)当DN=MN=3时,AC=DC.连接MC,则CMAD. cos A=,即=, AM=,AD=t=2AM=. 综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分) 解法二:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. (i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6, t=6.(9分) (ii)当MD=DN时,AD=DC,DAC=ACD, ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90,B=BCD,BD=CD=AD, 在RtABC中,AB=10, t=AD=AB=5.(11分) (iii)当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAB. SACB=BCAC=ABMC,CM=. 在RtAMC中,AM=.t=AD=2AM=. 综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分),12.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是否是等边三角形.若是,请证明;若不是,请说明理由. 图1,图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD=2.(4分) (2)证明:连接AF,如图.,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30,DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD, FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等边三角形.(9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 点G为AB的中点,CG=AG. 又CAB=60,GAC为等边三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=60.,FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60, CEF是等边三角形.(12分),13.(2014浙江温州,20,10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F. (1)求F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.,解析(1)ABC是等边三角形, B=60. DEAB,EDC=B=60. EFDE,DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60, EDC是等边三角形. ED=DC=2. DEF=90,F=30, DF=2DE=4.,14.(2014黑龙江哈尔滨,28,10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD. (1)求证:ABC为等腰三角形; (2)M是线段BD上一点,BMAB=34,点F在BA的延长线上,连接FM,BFM的平分线FN交BD于点N,交AD于点G,点H为BF中点,连接MH,当GN=GD时,探究线段CD、FM、MH之间的数量关系,并证明你的结论.,解析(1)证明:如图1,作BAP=DAE,AP交BD于P, 图1 设CBD=,CAD=, ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD, APE=ADB,AP=AD,(1分) ACBD,PAE=DAE=,(2分) PAD=2,BAD=3, BAD=3CBD, 3=3,=,(3分),ACBD,ACB=90-=90-, ABC=180-BAC-ACB=90-, ACB=ABC,(4分) AB=AC, ABC为等腰三角形.(5分) (2)2MH=FM+CD.(6分) 证明:如图2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=, ABPACD,ABE=ACD,(7分) ACBD,GDN=90-, GN=GD, GND=GDN=90-,AGF=NGD=2, AFG=BAD-AGF=3-2=, FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8分) H为BF中点,BF=2MH,在FB上截取FR=FM,连接RM, 图2 FRM=FMR=90-, ABC=90-, FRM=ABC,RMBC, CBD=RMB, CAD=CBD=, RMB=CAD.(9分) 又RBM=ACD,RMBDAC,=,FB-FM=BR=CD. 2MH=FM+CD.(10分),考点二直角三角形,1.(2014江苏扬州,7,3分)如图,已知AOB=60,点P在边OA上,OP=12,点M、N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=() A.3B.4C.5D.6,答案C如图,过点P作PHMN,因为PM=PN,MN=2,所以MH=MN=1,在RtPOH中,OP=12, POH=60,所以OH=6,所以OM=OH-MH=6-1=5.故选C.,2.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.,答案,解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=, BAO=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中, AC=AOcos 60=,OC=AOsin 60=.OC=AO-AC=.O.,3.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点, AOC=60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为.,答案2或2或2(每答对1个得1分,每答错一个扣1分,扣完为止),解析由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为AOC=60,所以POA为等边三角形,所以AP=2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP为等边三角形,所以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4=2. 如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2. 在RtABP中,AP=2. 综上所述,AP的长为2或2或2.,4.(2017湖南常德,14,3分)如图,已知RtABE中A=90,B=60,BE=10,D是线段AE上一动点,过D作CD交BE于C,并使得CDE=30,则CD长度的取值范围是.,答案0CD5,解析当点D与点E重合时,CD=0,当点D与点A重合时,A=90,B=60,E=30,CDE =E,CDB=B,CE=CD,CD=CB,CD=BE=5,0CD5.,5.(2014贵州贵阳,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿AD方向以 cm/s的速度向点D运动.设ABP的面积为S1,矩形PDFE的面 积为S2,运动时间为t秒(0t8),则t=秒时,S1=2S2.,答案6,解析由题意可知RtADC和RtEFC都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8 cm.因为AP= t cm,所以DP=EF=FC=(8-t)cm,DF=t cm;S1=APBD=t8=8t cm2,S2=PD DF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以当S1=2S2时,有8t=-4t2+32t,解得t=6.,6.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.,图1图2,解析(1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证 AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,7.(2017重庆A卷,24,10分)在ABM中,ABM=45,AMBM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC. (1)如图1,若AB=3,BC=5,求AC的长; (2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点.求证:BDF=CEF.,解析(1)AMBM,点C是BM延长线上一点, AMB=AMC=90, AMB和AMC是直角三角形, ABM=45,AB=3,BM=AM=3, BC=5,CM=2, 在RtAMC中,AC=.(4分) (2)证明:ABM=45,AMBM,点C是BM延长线上一点, BM=AM,BMD=AMC=90. 在BMD和AMC中, BM=AM,BMD=AMC,MD=MC, BMDAMC,(6分) BD=AC. EC=AC,BD=EC. 延长DF到点G,使FG=FD,连接CG,点F是线段BC的中点, CF=BF. CFG=BFD,FG=FD, CFGBFD, CG=BD,G=BDF. BD=EC,CG=EC, G=E. G=BDF, BDF=CEF.(10分),8.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB= ECD=90,D为AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,证明(1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分) 在ACE与BCD中,(3分) ACEBCD.(4分) (2)ACEBCD, AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2.(6分) 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2.(7分),考点一等腰三角形,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,1.(2018阳江江城模拟,3)已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则下列四个数中,第三条边的长是() A.8B.7C.4D.3,答案B分两种情况讨论: 当7为腰长,3为底边长时,三边为7、7、3,能组成三角形,故第三边的长为7; 当3为腰长,7为底边长时,三边为7、3、3,3+3=67,所以不能组成三角形. 综上,第三边的长为7.,2.(2017深圳罗湖模拟,9)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MNAC于点N,则MN等于() A.B.C.D.,答案C连接AM,AB=AC,M为BC的中点, AMBC,AM=4, SAMC=MCAM=34=6, SAMC=ACMN,5MN=6,MN=,故选C.,3.(2016深圳罗湖二模,7)某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm,则它的周长为() A.9 cmB.12 cm C.15 cmD.12 cm或15 cm,答案C3+3=6,该等腰三角形的边长只能为3 cm,6 cm,6 cm,周长为15 cm,故选C.,4.(2017梅州模拟,12)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为.,答案15或75,解析(1)当等腰三角形为锐角三角形时,如图,BD=AB,则顶角A为30,底角为75; (2)当等腰三角形为钝角三角形时,如图,BD=AB,则BAD=30,顶角BAC为150, 底角为15. 综上,底角为75或15.,5.(2017清远三模,14)如图,在ABC中,BC=5 cm,BP、CP分别是ABC和ACB的平分线,且PDAB,PEAC,则PDE的周长是cm.,答案5,解析PDAB,ABP=DPB, BP平分ABC,ABP=DBP, DBP=DPB,BD=DP.同理,PE=CE,PDE的周长等于BC=5 cm.,6.(2016揭阳二模,13)如图,在ABC中,点D是BC上一点,BAD=80,AB=AD=DC,则C=.,答案25,解析AB=AD,B=ADB, BAD=80,ADB=50. AD=CD,DAC=C, ADB=DAC+C,C=25.,7.(2017广州天河,24)如图1,正方形ABCD的边AB、AD分别在等腰直角AEF的腰AE、AF上,点C在AEF内,则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度(090) 后,连接BE、DF,如图2,这时DF=BE还成立吗?请说明理由.,解析DF=BE成立. 理由:四边形ABCD是正方形,AEF是等腰直角三角形, AD=AB,AF=AE,FAE=DAB=90. FAD=EAB. 在ADF和ABE中, ADFABE(SAS),DF=BE.,8.(2016中山二模,22)已知:如图,在ABC中,ADBC,垂足为点D,BEAC,垂足为点E,M为AB边的中点,连接ME、MD、ED. (1)求证:MED为等腰三角形; (2)求证:EMD=2DAC.,证明(1)ADBC,ADB为直角三角形, M为AB的中点,MD=AB, 同理,ME=AB,MD=ME, MED为等腰三角形. (2)M为AB的中点,MA=AB, MD=AB, MA=MD, BMD=2MAD, 同理,BMD+EDM=2(MAD+DAC), EMD=2DAC.,考点二直角三角形,1.(2017珠海模拟,7)如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是() A.8 cmB.5 cmC.5.5 cmD.1 cm,答案A长方形的对角线长为= cm8 cm,而折痕的长小于对角线的长,折痕 不可能是8 cm,故选A.,2.(2017汕头模拟,7)如图,ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BDAC于点D,则CD的长为() A.B.C.D.,答案C AC=,SABC=22=2, BDAC,SABC=ACBD, BD=2,BD=,CD2+BD2=BC2, CD2+=4,CD=,故选C.,3.(2016湛江三模,5)以下各组数据为三角形的三边长,能构成直角三角形的是() A.5 cm,6 cm,7 cmB.2 cm,3 cm,4 cm C.2 cm,2 cm,1 cmD.5 cm,12 cm,13 cm,答案D52+62=6172,22+32=1342,22+12=522, 52+122=169=132,能构成直角三角形的是D,故选D.,4.(2018东莞五校一模,16)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为.,答案,解析由翻折的性质可知,BM=MC=1,AB=BF=2. 在RtBFM中,由勾股定理可知,MF=.,5.(2016韶关二模,13)若a,b,c表示ABC的三边,且满足+|a-12|+(b-13)2=0,则此三角形的形 状为.,答案直角三角形,解析0,|a-12|0,(b-13)20, 且+|a-12|+(b-13)2=0, =0,|a-12|=0,(b-13)2=0, c=5,a=12,b=13. a2+c2=b2,此三角形为直角三角形.,6.(2018珠海一模,22)如图,在RtABC中,ACB=90,M是斜边AB的中点,AM=AN,N+CAN=180.求证:MN=AC.,证明ACB=90,M是斜边AB的中点, CM=AM,MCA=MAC, AM=AN,AMN=ANM, N+CAN=180,ACMN, AMN=MAC,AMC=NAM, ANMC,又ACMN, 四边形ACMN是平行四边形, MN=AC.,一、选择题(每小题3分,共15分),B组20162018年模拟提升题组 (时间:30分钟分值:40分),1.(2017韶关模拟,9)如图,DAC和EBC均是等边三角形,AE与CD交于点M,BD与CE交于点N,有如下结论:ACEDCB;CM=CN;AC=DN.其中,正确结论的个数是() A.3B.2C.1D.0,答案BDAC和EBC均是等边三角形, ACD=BCE=60,AC=DC,BC=EC, ACE=DCB,ACEDCB. 由ACEDCB得CAM=CDN, 又AC=DC,ACM=DCE=60, ACMDCN,CM=CN,AM=DN, MAC60,ACAM,ACDN, 综上,正确结论的个数是2.故选B.,2.(2017汕尾二模,10)如图,在ABC中,B=C=36,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点H,AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于点G,连接AD,AE.则下列结论错误的是() A.=B.AD,AE将BAC三等分 C.ABEACDD.SADH=SCEG,答案AB=C=36,AB=AC,BAC=108, DH垂直平分AB,EG垂直平分AC,DB=DA,EA=EC, B=DAB=C=CAE=36, BDABAC,=. ADC=B+BAD=72,DAC=BAC-BAD=72, ADC=DAC,CD=CA=BA,BD=BC-CD=BC-BA, 则=,易求得=,故A错误; BAC=108,DAB=CAE=36, DAE=BAC-DAB-CAE=36, DAB=DAE=CAE=36, AD,AE将BAC三等分,故B正确; BAE=BAD+DAE=72, CAD=CAE+DAE=72, BAE=CAD,又B=C,AB=AC,ABEACD,故C正确;,由ABEACD,可得SABE=SACD, 即SBAD+SADE=SCAE+SADE, SBAD=SCAE,又DH垂直平分AB,EG垂直平分AC, SADH=SBAD,SCEG=SCAE. SADH=SCEG,故D正确.故选A.,3.(2016陆丰二模,9)如图,在ABC中,C=90,AC=2,点D在BC上,ADC=2B,AD=,则BC 的长为() A.-1B.+1C.-1D.+1,答案DC=90,AC=2,AD=,DC=1,ADC=2B,ADC=B+BAD,B= BAD,BD=AD=, BC=BD+DC=+1,故选D.,思路分析由勾股定理可得DC的长,易证BD=AD=,从而可知BC的长.,4.(2016茂名二模,9)如图,在ABC中,AB=AC,A=30,DE垂直平分AC,则BCD的度数为 () A.80B.75C.65D.45,答案DDE垂直平分AC,AD=CD,DCE=A=30,AB=AC,ACB=B=(180 -30)=75, BCD=75-30=45,故选D.,5.(2016湛江二模,10)如图,从等边ABC内一点P向三边作垂线,PQ=6,PR=8,PS=10,则ABC的面积是() A.190B.192C.194D.196,答案B连接AP、BP、CP,则SABC=SAPB+SBPC+SAPC=ABPQ+BCPS+ACPR,AB=BC =AC, SABC=BC(PQ+PS+PR)=12BC, 设ABC的高为x,则BCx=12BC,x=24, ABsin B=x,AB=24sin 60=16, BC=16,SABC=1216=192,故选B.,思路分析利用三角形的面积相等,求出ABC的高,然后求ABC的边长,进而求出ABC的面积.,解题关键求出ABC的边长和高.,二、填空题(每小题4分,共18分),6.(2017湛江模拟,15)如图1,分别以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3;如图2,分别以直角三角形的三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角都相等的扇形,面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=.,答案54,解析设面积为S1、S2、S3的三个等边三角形的边长分别为a1、a2、a3,面积为S4、S5、S6的扇形的半径分别为r4、r5、r6,每个扇形的圆心角为x. S1=,S2=,S3=,且+=, S1+S3=S2,S3=S2-S1=45-16=29, S4=,S5=,S6=,且+=, S5+S6=S4, S4=S5+S6=11+14=25, S3+S4=29+25=54.,7.(2016佛山二模,15)如图,A=15,C=90,DE垂直平分AB交AC于E,若BC=4 cm,则AC=.,答案(8+4)cm,解析DE垂直平分AB,交AC于E,AE=BE, EBD=A=15,BEC=30,C=90, BE=2BC=8 cm,EC=4=4 cm, AC=AE+EC=(8+4)cm.,审题技巧由A=15,C=90,联想到含30角的直角三角形.,三、解答题(共17分),8.(2018阳江江城模拟,25)已知:把RtABC和RtDEF按如图1摆放(点C与点E重合),点B,C(E),F在同一条直线上,ACB=EDF=90,DEF=45,AC=8 cm,BC=6 cm,EF=9 cm.如图2,DEF从图1的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动,在DEF移动的同时,点P从ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动,当DEF的顶点D移动到AC边上时,DEF停止移动,点P也随之停止移动,DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0t4.5),解答下列问题: (1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上? (2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,请说明理由; (3)是否存在某一时刻t,使P,Q,F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.,解析(1)点A在线段PQ的垂直平分线上, AP=AQ,
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