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第二篇重点专题分层练，中高档题得高分,第13练数列的综合问题解答题突破练,明晰考情1.命题角度：考查等差数列、等比数列的判定与证明；以an，Sn的关系为切入点，考查数列的通项、前n项和等；数列和不等式的综合应用.2.题目难度：中档难度或偏难.,栏目索引,核心考点突破练,模板答题规范练,考点一等差数列、等比数列的判定与证明,方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an1and，d为常数则an为等差(比)数列.(2)中项公式法.(3)通项公式法.,核心考点突破练,证明,1.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数.(1)证明：an2an；,证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.,(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.,解由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得数列a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；数列a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列.,解答,解把an2nbn代入到an12an2n1，得2n1bn12n1bn2n1，两边同除以2n1，得bn1bn1，即bn1bn1，,解答,2.已知数列an满足a12，且an12an2n1，nN*.(1)设bn证明：bn为等差数列，并求数列bn的通项公式；,bnn(nN*).,解答,(2)在(1)的条件下，求数列an的前n项和Sn.,Sn121222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，两式相减，得Sn2122232nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12(nN*).,解答,3.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*).(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；,解在Sn2an(1)n(nN*)中分别令n1,2,3，,证明,证明由Sn2an(1)n(nN*)，得Sn12an1(1)n1(n2)，两式相减，得an2an12(1)n(n2)，,考点二数列的通项与求和,方法技巧(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的数列，可用累加法；,(2)数列求和的常用方法倒序相加法；分组求和法；错位相减法；裂项相消法.,解答,(1)求数列an的通项公式；,所以Sn2n2n.当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413满足上式，所以an4n3，nN*.,(2)若bn(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.,解由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).,当n为奇数时，n1为偶数，TnTn1bn12(n1)(4n1)2n1.,解答,(1)求数列bn的通项公式；,解答,解答,(2)设Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.,所以Sna1a2a2a3a3a4anan1,解答,6.已知数列an的前n项和为Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求数列an和bn的通项公式；,解由a13S143a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，,解答,考点三数列与不等式,方法技巧数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，而数列的条件可能是等差数列、等比数列，甚至是一个递推公式等，求解方法既要用到不等式知识(如比较法、放缩法、基本不等式法等)，又要用到数列的基础知识.,解答,(1)证明an(1)n为等比数列，并求出an的通项公式；,an(1)n为等比数列.,即an13an2(1)n12(1)n，,令n1，解得a12，an(1)n是首项为3，公比为3的等比数列，an(1)n3n，即an3n(1)n(nN*).,证明,证明方法一当k为正偶数时，,当n为奇数时，,解答,(1)求数列an的通项公式；,由化简得(anan1)(anan12)0，又数列an的各项为正数，当n2时，anan12，故数列an成等差数列，公差为2，,解得a11，an2n1(nN*).,证明,证明,(1)an1an，nN*；,(an11)(an1)(an1)210，故an11与an1同号.又a1110，an10，,故an1an，nN*.,证明,当n2时，(an1)2(an1)2(an11)2(an11)2(an21)2(a21)2(a11)2(a11)22(n1)12n1，,证明,所以当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(an1an2)(anan1)，,模板答题规范练,模板体验,审题路线图,规范解答评分标准,an1an3，(an2)20，an1an.4分,(3)2(an12)an(an2)，10分,构建答题模板第一步辨特征：认真分析所给数列的递推式，找出其结构特征.第二步巧放缩：结合要证结论，对递推式进行变换、放缩，利用作差、作商、数学归纳法、反证法等技巧逐步向欲证不等式靠近.第三步得结论：消灭目标不等式和放缩到的不等式间的差别，得出结论.,1.(2018浙江)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项.数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；,解答,规范演练,解由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.,因为q1，所以q2.,(2)求数列bn的通项公式.,解答,解设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.,解得cn4n1.由(1)可得an2n1，,bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1),当n1时，b11也满足上式，,2.设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；,解答,又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，又a23a1，数列an的通项公式为an3n1，nN*.,(2)求数列|ann2|的前n项和.,解答,解设bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，,(1)求证：当n2时，an1anbnbn1；,证明,故有bnan(n2且nN*)，,证明当n2时，,综上，an1anbnbn1.,(2)设Sn为数列|anbn|的前n项和，求证：Sn,证明,4.(2017浙江)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*).证明：当nN*时，(1)0 xn1xn；,证明用数学归纳法证明xn0.当n1时，x110.假设nk(kN*)时，xk0，那么nk1时，若xk10，则0 xkxk1ln(1xk1)0，与假设矛盾，故xk10，因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1，因此0 xn1xn(nN*).,证明,证明,记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,证明由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xn,函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，,证明,证明因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，,本课结束,
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