小学数学教师本体性知识缺失问题

小学数学教师本体性知识缺失问题(根据曹培英老师讲座整理)我们的话题就从课改背景下教师的专业发展说起。前年我们都在回顾改革开放，人民教育就准备组一组稿，其中一篇要我写，要我从实践的角度写一写，我写的文章中其中一个视角是从我们教师教育的视角来看，我们30年教育改革一个基本的发展轨迹，因为这30十年的历程我都亲历了，改革开放之初，30年前，在我们开始大规模改革之前呢，我们首先进行了一场教师培训，现在回过头来看，当年的教师培训为后面的教学改革奠定了非常好的基础，当时的培训有个名称叫做教材教法过关，低段的老师过低段的教材教法关，高段的老师过高段的教材教法关，如果你有能力也可以申报考全段的教材教法，分别给予不同的证书，为什么这样一个席卷全国的培训会有非常好的基础呢？因为百废待兴，当时由于十年动乱，当时一切都从头开始，那是需要的，另外一个呢，我们也能想象，如果一个老师如果连教材都不理解不熟悉，基本的教学常规都不能很好的掌握的话，怎么可能有更多的注意力投向教学方法的改革。这个基础上我们迎来了教学方法改革的春天，全国各地涌现了各种各样的教学方法，具有本土特征的教学方法，拿我们小学数学来讲，大家耳熟能详的江苏邱学华老师的尝试法，广东深圳市教研员陈永年的验看法等等，都是小学数学学科的，这些教学方法发展到后期呢，都形成了相对稳定的教学模式，一个模式应该有自己的改革目标，改革理念，成熟的教学机构、流程，相应的理论支撑，相应的教学策略，以及自己的评价，那么随着教学方法改革的发展，很多有识之士发现，教学方法再怎么改革，只是一小部分参与，怎样使所有的教师都参与其中，最直接有效的办法就是改教材，教材改了，迫使所有用这个教材的老师都得考虑我这个方法是不是应该相应的进行调整，于是各地都在自发的进行教材改革，这种自下而上的教材改革，为我们现在推行的课程改革奠定了很好的基础，这个学科教材的改革发展到后面，很多学校的领导发现一个学科单打独斗，不成气候，因此形成了整体改革，这个中小学的整体改革到今天还有一个全国的专业委员会，每两年都会搞一次活动。从课程教材改革来讲，在我国30年间有这样一个发展过程。随着新一轮课程改革的推进，人们发现文本上的课程要转化为课堂上真实的课程，靠在座的各位，靠我们一线的老师。由于改革的过程中，出现了一些发展中的问题，又把人们的目光引向到了教师教育的改革上来，南京的现代与经典进行到第十届了，吸引了这么多老师参与，也是一个证明。今天的教师教育，最主要的特征我个人以为就是关注教师的专业发展，是不是我们过去没有提专业发展？今天提了只是换了一个名词而已呢，不是！比较实质性的差异，在于过去的培训，我们是“磨刀”，“磨刀不误砍柴工”，利其器。今天的培训呢，不光是利其器，还关注使用工具人的本身，善其身。从改革的主体教师来讲，实际经历一个螺旋上升的过程。关注教师专业发展，教师专业发展的特点和内涵又有些什么呢？纵向看，教师职业从经验化、随意化到专业化，经历了逐步发展的过程。这段时间并不长。横向看，教师专业的不可替代性不够突出。教师和医生作比较，最初这个职业半斤八两，都很辛苦的，国外研究表明，标志性的事件是青霉素的发展，一针下去，烧退了，炎消了。试问我们教师有特效药吗？今天，医生专业，几乎所有的现代技术都能应用，而我们呢。在上海进行全面的检查，3到5万，一项检查能预测你半年内会不会得癌症，这一项，一万块。我们凭什么工具来检测学生的学习状况呢？只能靠最传统的，刺激，反应，给他出两道题，根据他的回答来判断，他的状态怎样，怎样思考的。可能连老中医都不如。中医怎么看病，望闻问切。把脉来讲，大户人家的千金，不让你碰，放一个帘子，老头在这一头，闭目养神几分钟，居然可以判断主人小女无恙，有喜了。我们有这样的诊断技术吗？也有人不同意这样的类比。一个是面对生理，一个是面对心理。但我认为从专业发展的角度来看，可以做些类比。原来上海市副市长，担任上海市教委主任，原来是儿科专家，他就说，到了教育系统以后，感觉教育的现代化，还不够。一旦停电，现在的医院都没法工作。挂号要靠电脑，收费要靠电脑，一停电，他能干什么？什么也不能干！但是一旦停电的话，学校可以照常上课，把窗户打开，靠自然光，没有投影，用黑板。这些例子说明我们的发展还在准专业，半专业，发展中待成熟的专业的这种状态下。当前的背景，我们中国的教育应该说是非常成功的。世界上最了不起最伟大的教育事业。解决了这么多人的读书问题。我们已经基本解决了人人都有书读的问题。随着，社会对教育的要求就是人人读好书，大家都在呼唤优质教育。优质教育最本质最难办的是什么呢？就是优质的教师。拿上海来讲，薄弱学校改造，硬件很快，两年工夫，只有有钱，砸下去都好办。我们有一个区，每一个教室都配实物投影仪，它的这个采购单一出来，两个月之间，搞得整个东南亚实物投影仪脱销。优质的教师呢？难！所以现在有些地方就采用削峰填坡，把好的学校的老师由教育局统一调配，这实际上还不是一种很好的对策。关键还是大面积提高我们整个教师队伍的素质。当前的课改，它的推进，更离不开我们教师专业素质的支撑。所以有这样一句话：“课程改革，成在教师，败在教师”。对这句话，我是赞同的，但要看谁说。如果是课改的设计者说，有推卸责任之嫌。如果我们老师自己说，那就好。说明我们认识到了我们在课改中的地位。教师专业化的内涵包括三方面：专业道德、专业知识、专业能力。专业道德的核心是爱生、敬业、教书育人、为人师表。专业道德需要个性品质的支撑，教师最实质的个性品质就是两点。一个喜欢儿童，一个喜欢所教学科。我们区对教师道德的教育强调的是坚守一根底线。通俗的讲，你哪怕不喜欢这个孩子，你必须在他面前好不流露你内心的情感，你必须表现出你很喜欢他。如果不具备这种个性品质的话，要做到这一点，你会感到很困难。需要极大的意志力，克制自己。今天我主要讲讲专业知识，关于教师的专业知识有各种不同的专业分类，我还是举心理学界比较公认的一种分类，分为本体性知识，条件性知识和实践性知识。本体性知识就是学科知识，条件性知识就是教育理论，实践性知识就是教学经验。这次课改关于条件性知识我们关注得比较多。特别是课改初期的通俗培训，基本上传授的都是条件性知识。比较少进入学科类。今天主要从学科类，我们教师的本体性知识来谈。在我国，长期以来，一种根深蒂固的观念是，教师必须具有足够的学科知识，才能应付自如地教学。“给学生一杯水，教师自身要有一桶水”便是这一观念的真实反映。这种观念在课改过程中也受到了质疑，有人把它称之为桶论，认为桶论已经过时了，取而代之的是桶水论、找水论，认为教师所具有的水应该是活水，应该与时俱进，不断更新的。更极端的认为教师有多少水无所谓，最为重要的是掌握找水的方法。即使自己没有水，可以带着学生一起找水。试问，这种极端的观点能成立吗？不敢苟同。找水有偶然性，找了半天，没找到怎么办。算了？这典型的是误人子弟。如果我们换一种思想方法，我们会发现这三种观点并不矛盾，桶论论的是知识的量，活水论论的是知识的质，找水论说的是方法，三者整合起来就全面了。第二点说一下课改背景下教师本体性知识状况的调研，多年前我在上海的两个区做过调研，发现情况不尽人意。例如2008年7月到某某省进行农村骨干教师国家及培训。228名教师参加了本体性知识的测试，最高分82分，最低分15分，基本合格（50分及以上）率53%。参加测试的老师坦言，一份简单的试卷，这么多老师50分以下，真的没想到啊！第一部分的题目，54.4除以2.6，商是20，余数是多少。得分率不到60%。再比如，一个因数扩大到他的三倍，另一个因数缩小到他的什么，积不变，得分率30.7%。过去我们习惯于说缩小三倍，这个说法其实是我们小学数学教材自己规定的，一直受到社会的质疑，按照我们过去的规定乘10，扩大10倍，乘1，扩大1倍，还是原来的数，怎么叫扩大了呢？除以1，缩小1倍，缩小了吗？这一次课改我们把这种说法都改了，应该说缩小到他的三分之一。三、课改背景下教师学科知识的缺失，到底缺失在什么地方？原因何在？老师最大的困惑是：为什么教师学历层次提高了，本体性知识依然缺失？这次课改，我们数学是删减的少，增加的多。操作性的要求降低了，示例性的要求提高了。从知识的角度来讲，很多增加的内容我们过去低学历时没有学，进修时仍然没有学。最典型的几何变化，平移旋转。总的来说，出现这种状况，第一方面的原因是基础教育的发展对我们小学教育提出了新的要求。这就要求我们小学教育要关注小学学习的后效，更加关注学生的可持续发展，要求我们加强学段之间的衔接研究，更为自觉的瞻前顾后。在课程设置、教材编写上，已经存在顾后的问题了。举个简单的例子，初中教研员曾做过这样一个测试：两地间公路长22千米，两人分别以5千米时、6千米时的速度同时从两地相向而行，几小时后相距5.5千米？两个答案，很多人做了一个答案。初中教研员找原因了，发现原因在小学，小学出现了相距，但是只讲一种情况。相距分两种情况，第一次是相遇前，第二次是相遇后。第二个原因是课堂教学的生成性使教师面临新的挑战。确实，这一次课程改革出现了很大的改观，三个变：课堂变、教师变、学生变。其实最根本的是学生变了，我们发现，学生质疑问难、节外生枝的频率与教师本体性知识缺失的显露在同步增长。举个例子，教学平角、周角等常见的角，这节课的老师教完课本的内容以后，让学生提问，学生训练有素，提了很多的问题，老师把每个问题都板书出来，然后讨论、交流，与众不同的是，对学生的回答基本上不做评述，只问学生满意吗？最后留下半黑板的问题，老师说剩下的问题以后进一步学习就会明白。课后交流老师说，一开始我也想回答，但常常令我处在尴尬的地位，答不上来，或者学生不同意捏观点，所以以不变应万变。他留下的不讨论的、擦掉的问题中有这些问题：0度角和周角有何区别？有没有大于360度的角？小学平角、周角的概念，教的时候是通过旋转来入手的，一开始角的概念是静态的，由一点引出两条射线，后来就是旋转。这里可以让学生站起来，伸出胳膊，现在是0度角，转到后面是平角，再转过来是周角，跟刚才的方向一样，和0度角有没有区别？可不可以继续转？由此看来，对教师的知识储备这一桶水提出了更高的要求。教学内容的更新、拓展暴露了教师知识的盲点，课程内容更新力度加大，拓展范围更广。再比如：甲乙两个候选人得票数相同，老师做了4个纸团，只有一个画有。甲先摸，摸中了，乙认为不公平；又有同学说，甲先摸，摸中的可能性是1/4，如果没摸中，乙接下去摸，摸中的可能性是1/3，所以这种方法不公平。你认为呢？总而言之，这些方法不公平。怎么办呢？我们把所有方法枚举一下，可以解决先摸，后摸的问题。已知一个画有，另外三个分别为1，2，3，无论谁先摸，甲先摸，摸到的可能性有三种，乙后摸，摸到的可能性也有三种，都是1/4。如果甲先摸，没有摸中，拿走了，就剩下三个，可能性是不是1/3？因为甲先摸，没有摸中的可能性是3/4，乙是在3/4的可能性下去摸的1/3可能，所以他的可能性是3/12，所以这种方式是不公平的，这可能超过了小学生的认知水平，现在已经做了调整。我们在看一个例子，教学平移旋转中的摩天轮，情景是游乐园，农村的老师意见非常大，向你们提个意见，你们都是城市的情景，农村哪有游乐园，现在的教材基本上适合城里的老师教城里的学生。老师以游乐园为情景，讨论摩天轮时都认为是旋转，有个学生要发言，他说，我坐过摩天轮，我坐在上面始终是头朝上，脚朝下，所以我认为人坐在上面是平移，不是旋转。怎么办？我们现有的手段就是讨论讨论，意见很多，最终不了了之。到底是什么呢？通过画上箭头，可以发现是平移，这个问题去问物理老师，他们都能答对，是平移。我们让摩天轮转，某一时刻停下，去两个点，座舱上部的左端，右端，连线，得到的是什么？是一组平行线，因此是平移。是不是旋转呢？将上面的一个点跟中心的点连起来，发现不是旋转。大家可以参考这篇文章， 2006年暑期的图形与变化的备课与教学。下面讨论第四个，数学研究问题一个简单的策略就是简化问题，抽象问题。我们可以说把座舱看作一个点可以不讨论。第四个方面的问题，课改理念被误读，导致教师学科思维出现混乱。这次课改通俗培训，变化是很大的，也起到了一定的作用。但如果不深入理解的话，我们一些老师会认为我们可以依据课改理念重新解读学科知识，这就不对。比如看到其他学科老师，学生回答什么都表扬，特别语文学科，老师很宽容，这个对，那个也对。因为语文有同义词，近义词。数学呢？7+8=14，对吗？嗯，还差一点，继续努力！这有意义吗？再比如，分数比大小，二分之一和三分之一，哪个大？毫无异议，是二分之一大，但一位学生说：大圆的三分之一就比小圆的二分之一大。有意思的是这样的回答有85%的得到老师的肯定。于是，我编了这样一道测试老师的题目：“老师问：2大，还是3大？甲生：3大，因为3岁小孩比2岁小孩大。乙生：2大，因为老二比老三大。请从自然数的两种含义说明谁的判断正确。”这道题的得分率也是很低的。其实我们的大小都是在基数意义下比较的。最基本的一条规定就是要么ab,ab,a=b。三者必居其一。最后再谈一个，教师学科的童化现象，影响教师自身的发展。源于对老师的观察。，中师毕业（在校期间，曾任数学课代表），在职进修获本科学历（大专学的是小学教育，理科；本科改学文科）。16年教龄，一直任教数学，钻研业务劲头较足，所教班级学生数学成绩很好，两次参加教学评比获奖，是一位比较典型的小学数学骨干教师。一次公开课上，她随手在黑板上画了个三角形，标上三条边长的厘米数1、2、3，直到下课未发现不妥。课后经人指出，羞愧不已：“我怎么会犯如此低级的错误！”显然，“三角形任意两边长之和大于第三边”的知识不是遗忘了，而是“当时没想到”。又有一次，讲述射线与圆角的区别，只从表示方式上详细指出：射线用两个字母表示；周角用三个字母表示，且标有一圈弧。就是忘了从概念的本质属性去说明它们的区别。原因呢？又是“没想到”。同时还解释说：这是采用了某某参考书上的说法，记得有一节教学评优获奖课也是这样处理的，所以没再多想。像这样正在教学的基本概念，用“遗忘”是解释不通的。为什么课前查阅资料、撰写教案时，以及课中亲口陈述时，都没想起呢？诸如此类、司空见惯的个案，都不仅仅是偶然的遗忘。那么，是因为小学的教学内容太简单，教久了，势必出现学科知识的“退化”吗？分析教师的成长历程，刚踏上讲台，儿童语言贫乏，也不了解儿童思维。为了搞好教学，经过几年的努力，丰富了儿童语言，熟悉了儿童思维。表现在备课时、课堂上，能自然而然地想儿童所想了。这是教师胜任小学教育的必由之路。的确，要想深入了解儿童的文化，真正成为他们的学习伙伴，就要进入儿童的世界，像儿童那样思维，在自己的头脑里重建儿童的心智。与此同时，教师自身的思维也有可能被儿童同化而“童化”。而且钻得越深，童化的可能性就越大。基于以上分析，我们认为教师本体性知识缺失的职后原因，除了学习的自然遗忘，更重要的是教师思维的“童化”，即伴随教师重建儿童心智的努力，而出现的本体性知识及其思维的退化。类似地，教师数学能力的缺失，除了“先天不足”，也有后天“童化”的原因。如“x=（12836）4不是方程” “是算术方程”。很多老师认为是算术方程。又如女生a人，男生人数是女生人数的2倍，2a+a表示男生和女生的人数和？2a-a表示什么？习惯上说是男女生相差的人数，其实有两个答案，a海表示女生的人数。长方形框，钉木条，哪种能使木框不变形？课后讨论，1、2两种还是变形，你焊一个铁框，能拉得动吗？所以出现了一个问题，实验能代替数学证明吗？这个例子是多年前的，那时新一轮课改还没有来。我要强调的是实验能靠诉我们有所发现，过去我们不重视它，那样不对。但应该知道数学最终的结论要靠逻辑推理，这是数学的精髓。如果数学也考实验说话，那要数学干什么，物理、化学都靠实验。这也是数学有别于其他学科最基本的特征。验证不能确立结论，在我们小学数学中经常出现验证，那时帮我们小学生确信。再比如，哥德巴赫猜想验证了无数次，从来没有一个反例，但他还是猜想！我这辈子不知能不能看到有数学家把它证明出来？面对这些缺失的种种表现我们应该怎么办呢？我认为最关键的应该是端正我们对数学学科的认识。下面谈谈怎样认识数学的学科特点，数学是什么？网上有一位数学老师说：今天我问学生：数学是什么？只有一位学生举手回答。为什么学了六年数学，却不知数学是什么？他们不敢说，拿不准。那我们给学生头脑中流下了什么数学痕迹呢？感兴趣的老师后天回去可以问问你的学生，问问他们数学是什么？看看他们会有何回答。如果你跟学生关系很好，你的学生一定回答得很精彩。我曾经看过一个资料：前苏联也做过这样的调研，他们的学生回答中有学生说数学是帝国主义课程。一位母亲说，数学是头痛，小学我看到应用题，立马头发胀。现在拿起女儿的数学书还心有余悸。好在初中学了解方程，才让我的数学恐惧症消失了。但是在我们的周围还有一些人数学恐惧症伴随他们终身。举一个名人，崔永元。他写了一本书不过如此里面有一段谈了数学：对我来说，数学是疤痕，是泪痕书中谈到他一天上街卖西瓜，摊主马上给他最大的18斤8两，摊主说市面上1元8一斤，崔哥你看着给，崔永元听了脸都白，论称才一百元，拿了西瓜不找了。回到家，他想：我出去的时候还心情很愉快的，为什么会发这么大的火呢？仔细一想原来是多年的数学恐惧症复犯了。我们数学老师怎么回答？好像清楚，又好像不清楚，需要回答吗？引用郑教授一句话：正是在学校这样一个环境中，大多数人开始形成了自己的“数学观念”，而且在大多数情况下，这些观念在他们以后的生涯中一直得到保持。现行数学教育的一个重要弊端就在于：学校通过数学学习所形成的数学观并不是“真正数学”的真实写照。也就是说，就今天的现实而言，“学校的数学”并不是“真正的数学”。 郑毓信。我基本上同意这样的观点。数学家会怎样回答？最初是万物皆数说，后来是哲学说，还有创新说，直觉说，活动说，精神说，审美说，艺术说。这些都是从人文角度来说。从科学角度来说呢，最早认为数学是科学的，高斯。他的名言是数学是科学的皇后。还有技术说，高科技本质上是数学技术。还有工具说，逻辑说，符号说，集合说，结构说，模型说等等。作为一个数学教师，数学事业中的数学，我们应该怎么看？恩格斯对数学的一个描述还没有过时，考虑到高科技的发展，我们可以再加一个：研究数与形的科学；数学是普遍适用的技术。这样的定义不一定能带给我们教学更多的帮助，我们过去的一些看法：数学是基础，是工具，是能力，是素养，是文化，都没过时，都有道理。基础说认为数学提供了独特的语言、思想、方法。关于数学语言，有三种形态。我们来看这个例子：两个数的和与一个数相乘（这时文字语言形态）；用符号语言：（a+b）c=ac+bc就一目了然了。第三种就是图形语言，我们也可以用这样一个图表示，两个长方形拼在一起，长分别表上a、b，宽都是c。我们不一定追求某种形态，我们应该认识到有不同的表现方式。拿分配率来讲，我们可以有些是现实模型，也可以有几何模型，还可以是代数模型。实际解释；图形解释；算理解释。再说说数学的文化，比较热门，认为我们可以渗透许多人文的内涵。实际上我认为更主要的应该是挖掘。应为数学本身也有人文性。举个最简单的例子，四则运算的符号，为什么加号是十字，减号是一横，乘号是一个叉叉？如果我们把符号本身的内涵揭示出来的话，我们就可以取得很好的教学效果。加号的本意是在意亨德基础上添上一竖，表示什么？表示合并，和，总数。由此看来，减法为什么是一横，正确的诠释是在加号的基础上拿走一竖，表示去掉了一部分，更少了。这两个符号本身就把运算的含义生动直观的显现出来了。乘号为什么是一个叉叉呢？因为乘号表示相同的数连加，因此不需要用其他的符号，就把加号旋转45度，请问你在教学时转了吗？没转，下次记得转一下，特殊的加法。除号呢？一横表示平均分，上下都一个点表示同样多，这也符合本意。我们非常重视中国文化中的数学，圆，到定点的距离等于定长的轨迹。这时西方传过来的。中国话怎么说：圆一中同长。数学的中国文化还可以表现在很多方面。比如多位数，30006三万零六，30060三万零六十，30600三万零六百。为什么都只读一个零呢？那时因为我们把计数单位读出来了，为什么中国的孩子数学学得好，结论一是中国的语言给了我们学习数学很好的帮助，每一字都是单音节的，所以我们有乘法口诀。你看，数的组成，数感都读出来了。3056是由几个千，几个十，几个一，其实在读的时候已经读出来了。再说分数单位一从除法引入，还是从单位一的等分引入，我的观点就是中国的老师教中国的孩子，就应该从单位一的等分引入。尽管这种引入不是太科学，单位一的等分对非复数没有问题，对复数就有问题，我们复数怎么读，2/3读作三分之二。我们已经把它的含义读出来了：三等份中的两份。英语不同，它先读分子，再读分母，所以它适合从除法引入。课改之初，我们对有价值的数学讨论得比较多。问题出现在我们的加工上。比如这样的计算有价值吗？分数四则运算有价值，分数推导用到分数，小数四则运算有价值。那么把分数、小数混合到一起呢？恐怕只有形式训练的思维价值。所以我认为：产生价值偏离的原因之一在于认为“综合”。所以要认识数学学科的特点，很有必要回顾一下数学的特征：高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性。数学的抽象非常特殊，撇开具体内容，纯粹研究事物的数量关系和空间形式。数学的严谨：根据不讲自明的假设，依靠逻辑推理得到大量的结论。数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之谜，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。”华罗庚。甚至可以说，数学的独特魅力是抽象的魅力。比如七桥问题，有人突发奇想，能不能不重复的走完七个桥？试了很多次都失败，于是人们把问题寄给大数学家欧拉。欧拉以数学的眼光来审视这个数学问题，在他看来河、支流把陆地分成了四块，管它是直的，是弯的，其他不管，这就是数学的抽象。我们可以说：数学的价值在于它的高度抽象性和严谨性，决定了它的广泛应用性。问题在于我们怎么看？怎么用？前几年香港教材中有这样一个题目：香港某厂业绩：年份 1990年 1991年 1992年股东红利 5万 7.5万 10万工资总额 10万 12.5万 15万老板所画的图表明他很公平，端平了一碗水，对吗？工会主席认为不对，他画了一个图，蓝线跑到上面了，为什么？股东红利从100%到200%，涨了一倍。而工资只增长了50%。所以得利的是股东，工人利益受损了，这是工会主席做出的解释，同样是用数学工具做出的。面对缺失我们怎么办呢？1. 引起自身关注弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力。2. 加强自身学习何有源头活水来？学习数学知识，了解数学历史。数学分析、高等代数、高等几何，概率论怎样学习更有效？基于学科、基于问题、基于经验、基于群体。3. 结合教材分析学习有关数学知识。4. 结合课例点评学习数学知识。5. 结合教学研究学习有关数学知识。有必要指出：充分认识本体性知识对于驾驭教学内容的潜在作用，关注教学的科学性，并不意味对教学语言的苛求！数学教师，最忌讳、最难堪的是被人指出犯有“科学性错误”。在目前的听课、评课活动中，被提升到科学性高度来谈的问题，确有一些是违背了数学规律或逻辑规则的错误，但更多的属于抠字眼、钻牛角尖的问题，属于对自然教学语言的挑剔。如：“三角形的高等于它的面积乘2除以底”。标准答案是叉，理由是什么呢？说缺少相对应。我不认为是错的。后一类批评一再耳闻目睹的结果，迫使教师谨小慎微，听任生动活泼的数学思维被字斟句酌的语言压抑或纂改。“水至清则无鱼”。我们追求课堂教学的“大气”，需要教学评价的“宽容”。