IIR高通滤波器

1 数字滤波器的介绍1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的种类很多，根据冲击响应特性，可分为有限区间冲击响应滤波器FIR和无限区间冲击响应滤波器IIR两大类。根据滤波器的功能，又可以将它们分为：图 1-1 各种理想滤波器的幅频特性低通滤波器（LPF） 高通滤波器（ HPF） 带通滤波器（ BPF） 带阻滤波器（ BSF）|h (jQ)|a低通0QH|h (jQ)|a高通7数字滤波器的数学运算通常有两种实现方式。一种是频域法，即利用F FT快 速运算办法对输入信号进行离散傅立叶变换，分析其频谱，然后根据所希望的频 率特性进行滤波，再利用傅立叶反变换恢复出时域信号。这种方法具有较好的频 域选择特性和灵活性，并且由于信号频率与所希望的频谱特性是简单的相乘关 系，所以它比计算等价的时域卷积要快得多。另一种方法是时域法，这种方法是 通过对离散抽样数据做差分数学运算来达到滤波的目的的。数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近 法和Chebyshev逼近法等等。随着M ATLAB软件尤其是M ATLAB的信号处理工作箱的 不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到 最优化。1.2数字滤波器IIR的介绍及设计数字IIR滤波器具有良好的幅频响应特性，被广泛应用于通信、控制、生物 医学、振动分析、雷达和声纳等领域。从滤波器实现来看，数字IIR滤波器的主 要结构有直接I型、直接II型、级联型以及并联型几种等基本网络结构类型，如 下：1) 直接I型IIR滤波器的系统函数:艺bz -H (z)二 1 + a z - kk=1 k对应的差分方程为：b x(n-i)-a y(n-i)iii=1i=0其信号流程图：图1-2直接I型流图2)直接II型IIR滤波器的系统函数又可以写成：H( z) = XI =册=3 bz - r )第一个子系统H i( z)实现零点，时域为1=H (z) H (z)1+ N a z-kk=1 ky(z) = b w(n- r) r=0 r。第二个子系统H2(z) 实现极点，时域为w(z) = x( z) + akk =1w(n - k )其信号流程图为：X (n)toy (n)弋丨* I图1-3直接II型流图3)级联型将IIR滤波器的系统函数的分子分母表达为因子的形式，即FI(1 - g z-i)F!(1 - h z-1)(1 - h*z-i)i i iH ( z) =i-1FI(1 一p z-1 )n (1 - q z-1)(1-q*z-1)iiii=1i=1由于系统函数的系数都是实系数，故零、极点只有两种情况：或者是实根 或者是共轭复根。4)并联型将IIR滤波器的系统函数展开成部分分式之和，即H (z)=艮Ak +艺Bk(1一 分-1)+ 艺Gz - kk=11 - gkz-1 k=1(1 一dkz-1)(1一dz-1) k=o k总系统为个部分系统函数之和，则表示其为各响应子系统的并联。在各种数字滤波器结构中，级联型滤波器结构一方面由于各级之间相互不影 响，便于准确实现滤波器零、极点和调整滤波器频率响应性能；另一方面由于各 级极点密集度小，滤波器性能受滤波器系数量化的影响小，因此倍受关注。图 1-4 级联结构偶数阶级联型数字IIR滤波器由若干二阶实系数子滤波器以级联形式组成， 奇数阶级联型IIR滤波器通常由一个一阶实系数子滤波器和若干二阶实系数子滤 波器以级联形式组成，具体如图1所示。一阶和二阶数字IIR子滤波器采用如图2 所示的直接型网络结构，这样可以保证所需的存储器数量最少。图1-5 一二阶数字滤波器结构图IIR滤波器主要有以下几种模拟滤波器逼近：巴特沃斯Butt erwo th,切贝雪 夫I型Cheby I,切贝雪夫型Chebyll,椭圆函数型(或称考尔型)Elliptic，以 及 Bessel 型。1.3 从实现的网络结构划分数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性,可分为两种,即无限长冲激响 应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。它们的系统函数分别表 示为：迓 b Z - rrH (z) =-ik=1H (z) = lh(k) z-kk=0式1-1中，一般满足MWN,这类系统称为N阶IIR系统；当MN时，系统函数可 视为一个N阶IIR子系统与一个(M-N)的FIR子系统的级联。式1-2所示系统称为 (N-1)阶FIR系统。1.4 数字滤波器的技术要求H (ej) =1H (ej )1 ejQ ()| H(ej) |是幅频特性,它表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况,一般选频滤波器的技术要求由它给出。Q ( ) 是相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况，如果对输出波形有要求，就要考虑相频特性的技术指标。IIR 数字滤波器的设计方法频率变换法2.1 设计的框图图2-1 设计框图2.2 设计的方法1、直接设计法：直接在频域或时域上进行设计2、数字化的方法：1）冲激响应不变法：将模拟滤波器的单位冲击响应加以等间隔抽样，可以 用数字滤波器的单位冲击响应来模仿。2）双线性变换法：数字频率与模拟频率之间非线性，需要在设计之前进行 预期。2.3 双线性变换的映射规则脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面 到Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率 压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-n/Tn/T之间，再用z=esT转换 到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-n/Tn /T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。 这样就使S平面与Z平面建立了 对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消 除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。S平平而而第F次賈;焕：井贞率圧縮燥：敬瞬代图2-2 双线性变换流图3 设计过程及结果3.1 设计思路IIR数字滤波器的设计借助模拟滤波器原型，再将模拟滤波器转换成数字滤 波器，这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。模拟滤波器的设计已经有了一 套相当成熟的方法，它不但有完整的公式，而且还有较为完整的图表查询，因此， 充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。已知数字低通滤波器的设计要求wp, ws, Rp和As,首先设计一个等效的模拟 滤波器，然后再将它映射为所期望的数字滤波器来确定H(z)。对这个过程所要求 的步骤是：1)选取T并确定模拟频率:2) 利用设计参数Q p，Q s，Rp和As，设计一个模拟滤波器Ha(s)；这可以利 用模拟滤波器的原型来完成；3) 再将(1)代入Ha(s)，求出H(z)。3.2 理论设计的参数计算咼通滤波器的性能指标通带截止频率：廡卿)又称 为通带下限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fe(瞬)又称 阻带上限截止频率。阻带衰减：As图3-1 高通滤波器性能指标求对应数字的频率w = 2pcf =2p 仓 3 103f _10 103s= 0.6pw = 2pst2p仓仓10310 103= 0.4p求常数cl采用归一化(W=】)原型低通滤波器作为变换的低通原型，则低 通到高通的变换所需的c1c1=Wtanw=?tan(譽)曲8192求低通原型W。设W为满足数字高通滤波器的归一化原型模拟低通滤波器的阻带起始截止频率，则可按12的预畸变换关系来求，得wW = c cot = 1.3763819? 1.3763819 1.8944272st 1 2求阶次N。按阻带衰减求原型归一化模拟低通滤波器的阶次N。有巴特沃斯低通滤波器频率响应公式去对数，即20log |h ( jW)|=a stlog101+2n?14其中W =】解得= 2.4990314取 N=3。logtlO14-!)21og(l.S944272)求归一化巴特沃斯低通原型的Ha (s)。取N=3,查表可得HLP ( s)为:HLP(s)=1s3 +2s2 +2s +1求数字滤波器的系统函数：H (z) =H (s)|HPLPs=c4+z-l1- z- 1最终求得：(1- 3z-1 +3z-2 - z-3)H (z )=HP3c 3+2c2- 2c - 31+11c 3 +3c 2 +2c +1111c 3 +2c 2 +2c +1ii i3c 3 - 2c 2 - 2cc 3 - 2c 2 +2c -11z-1 + 1丄丄 z-2 +T丄丄 z-3c 3 +2c 2 +2c +1c 3 +2c 2 +2c +11 1 1 1 1 1将1代入，可求得:H (z )=0.09907984(1-3)_ hp1+0.5717848 z -1 +0.4201167 z-2 +0.5569325z-33.3 源程序%通带最大衰减 Rp=1dB%阻带最小衰减 Rs=20dB%把数字域滤波器特征换成模拟滤波器特征%预畸变求滤波器通带临界频率%预畸变求滤波器阻带临界频率fp = 300 ; fs = 200;Rp = 1;Rs = 20;wp =fp*2*pi;ws =fs*2*pi;FS=1000;T=1/FS%归一化数字频率 Wp=wp/(FS);Ws=ws/(FS);%频率预畸变：数字域频率 wp2=2*tan(Wp/2)/T; ws2=2*tan(Ws/2)/T;%设计模拟滤波器 N,Wn = buttord(wp2,ws2,Rp,Rs,s)z,p,k=buttap(N);%创建 Buttord 低通滤波器原型Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);%由零极点转换为传递函数的形式figure(1)freqs(Bap,Aap);%模拟低通滤波器的频率响应title(模拟滤波器(低通原型)的频率响应)Bbs,Abs=lp2hp(Bap,Aap,Wn);%模拟低通变高通figure(2)freqs(Bbs,Abs);title (模拟滤波器的频率响应) %用双线性不变法变换成数字滤波器Bbz,Abz=bilinear(Bbs,Abs,FS);%双线性变换%求其频率响应 figure(3)freqz(Bbz,Abz,512,FS); title(数字滤波器的频率响应) %详细显示数字滤波器的幅频响应hw,w=freqz(Bbz,Abz,512); figure(4) plot(w/pi,20*log10(abs(hw); grid axis(0,1,-200,10) title( Butterworth Type Highpass Digital Filter) xlabel(w/pi);ylabel(幅度(dB);3.4 实验波形模拟滤波器（低通原型）的频率响应ITIpnl 一L o 51 o002HI00HIno002-10 101Frequency (rad/s)图3-2 模拟低通频率响应模拟滤波器的频率响应102 10 102 104 Frequency (rad/s)no2o o o o o o o 1 J 显 (sHpjsd-202410 10 10 10FEquency (rad/s)图3-3 模拟高通频率响应图3-4 数字高通频率响应图3-5 模拟高通归一频率响应4 设计的心得和体会此次课程设计使我对数字信号处理原理这门课程的基础知识和基本理论 有了更深的理解和掌握，锻炼了我们综合运用所学知识的能力，并在理论分析设 计、计算制图运用标准和规范查阅设计手册与资料以及计算机应用能了等方面得 到了初步的训练和提高，培养了我们严谨求实的科学态度。另外，我进一步熟悉了计算工具软件一-MATLAB.并进一步掌握了MATLAB的使 用方法。对MATLAB语言的发展和特点有了更深的了解，熟悉其工作环境，并掌握 了MATLAB的基本语法，在其应用方面也有了更深的了解，了解了MATLAB程序书写 的一般思路及一般步骤，学会了用MATLAB解决复杂信号处理等问题的方法，使我 对MATLAB信号处理工具箱内的模型函数有了深刻的体会和应用。在课程设计的这段时间里收获还是很多的，不但进一步掌握了数字信号处理 的基础知识及一门专业仿真软件的基本操作，还提高了自己的设计能力及动手能 力。更多的是让我看清了自己，明白了凡事需要耐心，理论知识的不足在这次课 设中表现的很明显。这将有助于我今后的学习，端正自己的学习态度，从而更加 努力的学习。总之，通过本次课程设计不但让我又学到了一些知识，而且也提高了我的综 合能力，使我在各方面都得到了锻炼。参考文献1 刘泉 阙大顺 数字信号处理 电子工业出版社 20092 郭天祥51单片机C语言教程电子工业出版社20093 丁玉美 高西全 数字信号处理 西安电子科技大学出版社 20094 马昌风最优化方法及其matlab程序设计科学出版社20105 楼顺天基于ma tlab的系统分析和设计西安电子科技大学出版社 2001