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Department of Mathematics第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念 与与C-R 条件条件第二节第二节 初等解析函数初等解析函数第三节第三节 初等多值函数初等多值函数 Department of Mathematics第二章第二章 解析函数解析函数第一节、解析函数的概念与第一节、解析函数的概念与 柯西柯西黎曼条件黎曼条件1 1、导数与微分、导数与微分、2 2、解析函数极其简单性质、解析函数极其简单性质3 3、柯西、柯西-黎曼条件黎曼条件1、导数与微分、导数与微分于是邻域内任意一点，对的单值函数，的某邻域内有定义在点设函数zzzzfw00)(，存在（为有限的复数），如果极限Azzfzzfzwzfzzfwzz)()(limlim )()(000000 ,)()()(000即，或的导数，记为称为函数处可导，在则称函数zzdzdwzfzfAzzf，zzfzzfzfz)()(lim)(00000)z(|)(|)(:0zozzfw或 )()()()(00000处可微。在处的微分，也称函数在函数为或也称zzzfdzzfzzfzdf导数的分析定义：导数的分析定义：时，有，并且当使得当，可以找到一个整数对任意的|0),(0 0zzDz,|)()(|00Azzzfzf解析函数的概念与求导法则)()(00在处解析；称的邻域内处处可导，则及在如果zfzzzf内解析函数；内解析，我们也说是在内处处解析，则称在区域如果DDzfDzf)()(.)(,)(解析内在闭区域那么称上每一点都属于内处处解析，而闭区域在区域如果DzfGDGzfu注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；u注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；u注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：注解：u注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；u注解5、解析性区域；注解注解：四则运算法则则上解析在区域和如果,)()(Dzgzf上解析，并且有域在区、Dzgzgzfzgzfzgzf)0)()()()()()()()()()()()()()()()()(zgzfzgzfzgzfzgzfzgzf2)()()()()()()(zgzgzfzgzfzgzf复合函数求导法则，内解析，又在区域内解析，函数在区域设函数GDfGgwDzf)()()()()()()(zfzfgzfgzh并且有：在内解析，则复合函数)()(zhzfgw反函数求导法则，又反函数且内解析，在区域设函数0)()(zfDzf)(1)(1)()(wfzfzwz则有：存在且为连续，)()(1wwfzu利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。注解注解：2、Cauchy-Riemann条件：条件是可导的充要在点内确定，那么在区域设函数定理DiyxzzfDyxivyxuzf)(),(),()(1.3处可微，在点和虚部、实部),(),(),(1yxyxvyxu方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxu 定理3.1的证明（必要性）：导数的定义，可得：，则由处可导，把记为在设ibazfiyxzzf)()(|)(|)(|)(|)()()(zoyixibazozibazfzzf实部和虚部整理得：。按，其中yixzviuzfzzf)()(；|)(|),(),(zoybxayxuyyxxu；|)(|),(),(zoybxayxuyyxxuxvyuyvxu 程成立：方处可微，并有在及因此，RCyxyxvyxu),(),(),(程成立，则有方处可微，并有在及设RCyxyxvyxu),(),(),(；|)(|),(),(zoyyxuxyxuuyx；|)(|),(),(zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC；|)(|)(,(),(zoyixyxivyxuviuwxx所以ibayxivyxuxxzwz),(),(lim0处可导。在即iyxzzf)(定理3.1的证明（充分性）：解充要条件是内区域函数定理Dyxivyxuzf),(),()(2.3处处可微，内在区域和虚部、实部Dyxvyxu),(),(1方程）：程（简称黎曼方满足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxu 复变函数的解析条件注解:w和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；w柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；w解析函数的导数有更简洁的形式：yuyvyuxuxvyvxvxuiiiizf )(反例：u(x,y)、v(x,y)如下：000),(),(222222yxyxyxvyxuyxxy方程：满足，则在点令RCzyxivyxuzf0),(),()(0 0 xvyuyvxu.,0)()0,0(),(),(从而不可导不连续在函数不连续，所以复变在点、但zzfyxvyxu有定义，内区域推论：设函数Dyxivyxuzf),(),()(成立：方程，并且四个偏导数存在且连续的和内在如果RCyxvyxuDzf),(),()(xvyuyvxu 内解析。在则Dzf)(例1 讨论下列函数的可导性和解析性：).sin(cos)(3).;|(2).;Re.12yiyezfzwzwx）（，且，）因为解：（01vxu0 0 0 ,1yvxvyuxu.,Re从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以zwRC且，所以、,0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，在方程成立，所以处只有在点)()(00)(0)()0,0(zfzfzzfzzfR且，所以因为,sincos)sin(cos)(3).yevyeuyiyezfxxxcosy,siny,siny,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整个复平面内解析；方程成立，所以四个偏导数连续，并且)(R-Czf).()sin(cos)(zfyiyexvixuzfx事实上，例为常数：在内下列条件之一，则内解析，而且满足在区域如果DzfDzf)()(为常数）、（常数；、；、|)(|3)(Re)2(0)()1(zfzfzf得，、由证明：0)()1(yvyuxvxuiizf )(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，0yvxvyuxu方程知：，由常数，所以、因为RCuyuxu)2(，0yvxvyuxu )(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，00yvyuxvxuvuvu导数得：求、常数，分别对、因为yxzf2|)(|)3(，方程得：解析，所以由因为00 )(yuxuyuxuuvvuRCzf。，所以0)(0)(2222yuxuvuvu结论成立。，故时，当0)(00)(22zfvuvu本节结束谢谢！
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