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Department of Mathematics第二章第二章 解析函数解析函数第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念 与与C-R 条件条件第二节第二节 初等解析函数初等解析函数第三节第三节 初等多值函数初等多值函数 Department of Mathematics第二章第二章 解析函数解析函数第一节、解析函数的概念与第一节、解析函数的概念与 柯西柯西黎曼条件黎曼条件1 1、导数与微分、导数与微分、2 2、解析函数极其简单性质、解析函数极其简单性质3 3、柯西、柯西-黎曼条件黎曼条件1、导数与微分、导数与微分于是邻域内任意一点,对的单值函数,的某邻域内有定义在点设函数zzzzfw00)(,存在(为有限的复数),如果极限Azzfzzfzwzfzzfwzz)()(limlim )()(000000 ,)()()(000即,或的导数,记为称为函数处可导,在则称函数zzdzdwzfzfAzzf,zzfzzfzfz)()(lim)(00000)z(|)(|)(:0zozzfw或 )()()()(00000处可微。在处的微分,也称函数在函数为或也称zzzfdzzfzzfzdf导数的分析定义:导数的分析定义:时,有,并且当使得当,可以找到一个整数对任意的|0),(0 0zzDz,|)()(|00Azzzfzf解析函数的概念与求导法则)()(00在处解析;称的邻域内处处可导,则及在如果zfzzzf内解析函数;内解析,我们也说是在内处处解析,则称在区域如果DDzfDzf)()(.)(,)(解析内在闭区域那么称上每一点都属于内处处解析,而闭区域在区域如果DzfGDGzfu注解1、“可微”有时也可以称为“单演”,而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等;u注解2、一个函数在一个点可导,显然它在这个点连续;u注解2、解析性与可导性的关系:在一个点的可导性为一个局部概念,而解析性是一个整体概念;注解:注解:u注解3、函数在一个点解析,是指在这个点的某个邻域内可导,因此在这个点可导,反之,在一个点的可导不能得到在这个点解析;u注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析;u注解5、解析性区域;注解注解:四则运算法则则上解析在区域和如果,)()(Dzgzf上解析,并且有域在区、Dzgzgzfzgzfzgzf)0)()()()()()()()()()()()()()()()()(zgzfzgzfzgzfzgzfzgzf2)()()()()()()(zgzgzfzgzfzgzf复合函数求导法则,内解析,又在区域内解析,函数在区域设函数GDfGgwDzf)()()()()()()(zfzfgzfgzh并且有:在内解析,则复合函数)()(zhzfgw反函数求导法则,又反函数且内解析,在区域设函数0)()(zfDzf)(1)(1)()(wfzfzwz则有:存在且为连续,)()(1wwfzu利用这些法则,我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数,其结果和数学分析的结论基本相同。注解注解:2、Cauchy-Riemann条件:条件是可导的充要在点内确定,那么在区域设函数定理DiyxzzfDyxivyxuzf)(),(),()(1.3处可微,在点和虚部、实部),(),(),(1yxyxvyxu方程):程(简称黎曼方满足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxu 定理3.1的证明(必要性):导数的定义,可得:,则由处可导,把记为在设ibazfiyxzzf)()(|)(|)(|)(|)()()(zoyixibazozibazfzzf实部和虚部整理得:。按,其中yixzviuzfzzf)()(;|)(|),(),(zoybxayxuyyxxu;|)(|),(),(zoybxayxuyyxxuxvyuyvxu 程成立:方处可微,并有在及因此,RCyxyxvyxu),(),(),(程成立,则有方处可微,并有在及设RCyxyxvyxu),(),(),(;|)(|),(),(zoyyxuxyxuuyx;|)(|),(),(zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC;|)(|)(,(),(zoyixyxivyxuviuwxx所以ibayxivyxuxxzwz),(),(lim0处可导。在即iyxzzf)(定理3.1的证明(充分性):解充要条件是内区域函数定理Dyxivyxuzf),(),()(2.3处处可微,内在区域和虚部、实部Dyxvyxu),(),(1方程):程(简称黎曼方满足柯西和、RCyxvyxu-),(),(2xvyuyvxu 复变函数的解析条件注解:w和数学分析中的结论不同,此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的,它们是柯西-黎曼方程的一组解;w柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件(见反例);w解析函数的导数有更简洁的形式:yuyvyuxuxvyvxvxuiiiizf )(反例:u(x,y)、v(x,y)如下:000),(),(222222yxyxyxvyxuyxxy方程:满足,则在点令RCzyxivyxuzf0),(),()(0 0 xvyuyvxu.,0)()0,0(),(),(从而不可导不连续在函数不连续,所以复变在点、但zzfyxvyxu有定义,内区域推论:设函数Dyxivyxuzf),(),()(成立:方程,并且四个偏导数存在且连续的和内在如果RCyxvyxuDzf),(),()(xvyuyvxu 内解析。在则Dzf)(例1 讨论下列函数的可导性和解析性:).sin(cos)(3).;|(2).;Re.12yiyezfzwzwx)(,且,)因为解:(01vxu0 0 0 ,1yvxvyuxu.,Re从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立,方程在整个复平面不成所以zwRC且,所以、,0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。,因此,在整个复平面上不可导。,;可导,在方程成立,所以处只有在点)()(00)(0)()0,0(zfzfzzfzzfR且,所以因为,sincos)sin(cos)(3).yevyeuyiyezfxxxcosy,siny,siny,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整个复平面内解析;方程成立,所以四个偏导数连续,并且)(R-Czf).()sin(cos)(zfyiyexvixuzfx事实上,例为常数:在内下列条件之一,则内解析,而且满足在区域如果DzfDzf)()(为常数)、(常数;、;、|)(|3)(Re)2(0)()1(zfzfzf得,、由证明:0)()1(yvyuxvxuiizf )(内为常数;在均为常数,从而、由数学分析的结论知,Dzfvu,0yvxvyuxu方程知:,由常数,所以、因为RCuyuxu)2(,0yvxvyuxu )(内为常数;在均为常数,从而、由数学分析的结论知,Dzfvu,00yvyuxvxuvuvu导数得:求、常数,分别对、因为yxzf2|)(|)3(,方程得:解析,所以由因为00 )(yuxuyuxuuvvuRCzf。,所以0)(0)(2222yuxuvuvu结论成立。,故时,当0)(00)(22zfvuvu本节结束谢谢!
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