间接证明反证法上课青松教学

2.2.2 间接证明反证法反证法1学堂B直接证明：直接证明：(1)综合法综合法(2)分析法分析法由因导果由因导果执果索因执果索因已知条件已知条件结论结论已知条件已知条件结论结论pq条件结论2学堂B 反证法：反证法：假设假设命题结论的命题结论的反面成立反面成立，经过正确的，经过正确的推理推理,引出引出矛盾矛盾，因此说明假设错误，因此说明假设错误,从从而证明原命题成立而证明原命题成立,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 3学堂BABC三角形内角和等于三角形内角和等于假设假设4学堂B反思反思1 1：用用反证法证题反证法证题的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？（1 1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。5学堂B1 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；）与原命题的条件矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。）与假设矛盾。（1 1）难于直接难于直接使用已知条件使用已知条件导出结论导出结论的命题；的命题；（2 2）唯一性唯一性命题；命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性否定性或肯定性命题。命题。2 2、你认为反证法的使用情形有那些？、你认为反证法的使用情形有那些？反思反思2 2：（4 4）与客观事实矛盾）与客观事实矛盾.6学堂B说明：说明：常用的正面叙述词语及其否定：常用的正面叙述词语及其否定：正面正面词语词语等于等于大于（大于（）小于小于(b0ab0，那么，那么a a b b证证：假假设设 a a b b不不成成立立，则则 a a b b若 a=b，则a=b,若 a=b，则a=b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。我试试我试试8学堂B/2abababa求证：，且，如果，和平面，已知直线例apb9学堂B例例2 2 求证：求证：是无理数是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2=，n n m=2n m=2n2222 m=2n m=2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m=2 2k k（k kN N）22222222从而有4k=2n，即n=2k从而有4k=2n，即n=2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！假设不成立，故假设不成立，故 是无理数。是无理数。210学堂B反馈练习反馈练习1 1、写出用、写出用“反证法反证法”证明下列命题的第证明下列命题的第一步一步“假设假设”.(1)(1)互补的两个角不能都大于互补的两个角不能都大于9090.(2)(2)ABCABC中中,最多有一个钝角最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于假设互补的两个角都大于90.假设假设ABC中中,至少有两个钝角至少有两个钝角11学堂B2 2、“已知已知:ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.求证求证:B90:B180B+C+A180.这与三角形内角和这与三角形内角和定理相矛盾定理相矛盾.(2)(2)所以所以B90B90.(3).(3)假设假设B90B90.(4)(4)那么那么,由由AB=AC,AB=AC,得得B=C90B=C90.即即B+C180B+C180.这四个步骤正确的顺序应是这四个步骤正确的顺序应是()()A.(1)(2)(3)(4)A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1)D.(4)(3)(2)(1)反馈练习反馈练习C12学堂B用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ADBC是平行四边形是平行四边形所以所以CBDCADADBACB,因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以180,180CBDCADADBACB因此因此90,90CADACB所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。13学堂B用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，14学堂B2.2.已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一有且只有一个根。个根。证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x，x x 且且x x x x1212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01 12 2 a a（x x-x x）=0 012121212 x x，x-x 0 x x，x-x 0 a=0 a=0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。演练反馈演练反馈15学堂B 16学堂B41)1(,)1(,)1(,)1,0(,2不能同时大于不能同时大于求证：求证：已知已知】【例【例accbbacba 17学堂B恒恒成成立立。使使得得在在整整个个定定义义域域内内，找找不不到到正正数数对对于于函函数数】【例例AxfAxxf|)(|,1)(3【方法总结方法总结】推出矛盾，可通过特殊推出矛盾，可通过特殊 值进行说明。值进行说明。18学堂B 例4已知0 x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)，又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾，若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾 综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0.20学堂B 已知p3q32，求证：pq2.证明假设pq2，那么p2q，p3(2q)3812q6q2q3.将p3q32代入得，6q212q60，即6(q1)20.由此得出矛盾pq2.21学堂B22学堂B1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。面外一点，则此直线与平面相交。【试一试试一试】2、证明：、证明：1ba,03b4a2ba22 则则若若3、已知方程、已知方程 2x=3，求证方程有且只有一根，求证方程有且只有一根【作业作业】P54 练习练习1、2 A组组 323学堂B演练反馈演练反馈24学堂B