第二节对坐标的曲线积分

第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一一.对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质曲线的方向一条曲线有两个方向，任意规定一个方向为正向，另-个方向便是负向L-LL为非封闭曲线一般用从起点到终点的方向表示其正向L为平面封闭曲线正向规定为：沿此方向前进时，闭曲线L所围成的平面域D总在他的左边注意:在对坐标的曲线积分中,曲线的方向尤为重要变力沿曲线所作的功设某质点在xoy平面内受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 的作用沿曲线弧L从点A移动到点B，其中P(x,y)，Q(x,y)在L上连续，求力F所作的功W。如果F是常力，质点作直线运动，位移向量是AB则力F所作的功W=FAB现在F是变力且质点沿曲线L移动极限的方法jyixMMiiii1jQiPFiiiiii),(),(),(AB),(iiF1iMiMiiiiiiiiiiiyQxPMMFW),(),(),(1),(),(11iiiiiiniiniyQxPWW),(),(lim10niiiiiiiyQxPW设maxiS在每个子弧段上任取一点),(ii定义 设P(x,y)是定义在有向曲线L上的有界函数,将L任意分成n个子弧段iiMM1其长度记为is1iiixxxiiniixP),(1作和式 如果当0时，这和式的极限存在,且极限值不依赖于对L的分法,也不依赖于 在子孤段上的取法,则称此极限值为函数P(x,y)在曲线L上对坐标x的曲线积分或第二类曲线积分,记为),(iiLdxyxP),(iiniixP),(lim10LdyyxQ),(iiniiyQ),(lim10同理Q(x,y)在L上对坐标y的曲线积分为1.如果P(x,y),Q(x,y)在L上连续，则曲线积分存在注2.LLLdyyxQdxyxPQdyPdx),(),(LQdyPdx3.W=4.LdxyxP),(LdxyxP),(两类积分的最主要的区别 基本性质与第一类曲线积分类似5.可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法1.设曲线L的参数方程为x=x(t），y=y(t）则dttytytxQtxtytxP)()(),()()(),(2.设曲线L的方程为y=y(x）视为特殊的参数方程:x=x，y=y(x）LdyyxQdxyxP),(),(注意：下限对应于L的起点,上限对应于L的终点LdyyxQdxyxP),(),(dxxyxyxQxyxPba)()(,)(,L:x=x(y)时同理注意：a对应于L的起点,b对应于L的终点3.设空间曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)则dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)()(),(),()()(),(),()()(),(),(dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(注意：下限对应于的起点,上限对应于的终点 例1 计算dxyL2其中L为（1）上按逆时针方向的上半圆；（2）从点A(1,0)沿x轴到B(-1,0)的直线段122 yx解（1）L的参数方程：x=cost，y=sint.t从0变到，ABLdtttdxy022)sin(sin34（2）L的方程：y=0，x从1变到-1，00112Ldtdxy两个曲线积分的被积函数相同,起点和终点也相同,但沿不同路径得出的积分值并不相同例2 计算Ldyxxydx22其中L(1)从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)直线y=x从O(0,0)到B(1,1)直线段；(3)连接O(0,0),A(1,0),B(1,1)的有向折线2xy 解(1)L：,x从0到1，2xy 102221)2(2dxxxdyxxydxL102221)22(2dxxxxxdyxxydxL(2)L：y=x，x从0到1(3)L=OA+AB OA：y=0，x从0到1；AB：x=1，y从0到1.ABOLdyxxydx22OAdyxxydx22ABdyxxydx221101200210102dyyxdxx被积函数与起点、终点相同而路径不同的曲线积分,其值也可能相同,说明有些曲线积分与积分路径无关其中为从点A（1,1,1）到B（2,3,4）的直线段例3 计算dzyxydyxdx)1(解 AB的方程为 312111zyx化成参数方程：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t从0到11013)614(dttdzyxydyxdx)1(.,21d)(d)(d)(.422的方向是顺时针的轴正向看从是曲线其中，计算曲线积分例czzyxyxczyxyzxxyzc,sin,cosyx令.sincos22yxz则czyxyzxxyxddd02d12cos2cossin222sinsincos202解法一面上的投影区域。在为轴正向的夹角为钝角与法向量为边界的有限部分，其上以是平面设xOySDzczyxSxy.2kyxjzxiyzF记kyxzxyzxyxkjiF2rot则利用斯托克斯公式知ScSFlFdrotdSyxdd2xyDyxdd22解法二