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离心率的五种求法椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率一、直接求出、,求解已知圆锥曲线的标准方程或、易求时,可利用率心率公式来解决。例1:已知双曲线()的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 解:抛物线的准线是,即双曲线的右准线,则,解得,故选D变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为、,则其离心率为( )A. B. C. D. 解:由、知 ,又椭圆过原点,所以离心率.故选C.变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D 解:由题设,则,因此选C变式练习3:点P(-3,1)在椭圆()的左准线上,过点且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )A B C D 解:由题意知,入射光线为,关于的反射光线(对称关系)为,则解得,则,故选A二、构造、的齐次式,解出根据题设条件,借助、之间的关系,构造、的关系(特别是齐二次式),进而得到关于的一元方程,从而解得离心率。例2:已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 解:如图,设的中点为,则的横坐标为,由焦半径公式, 即,得,解得(舍去),故选D变式练习1:设双曲线()的半焦距为,直线过,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 解:由已知,直线的方程为,由点到直线的距离公式,得,又, ,两边平方,得,整理得,得或,又 ,故选A变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为,两个焦点为、,则双曲线的离心率为( )A B C D 解:如图所示,不妨设,则,又,在中, 由余弦定理,得,即, ,故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3:设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是_。解:四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4:设椭圆()的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离,则椭圆的离心率是.解:如图所示,是过且垂直于轴的弦,于,为到准线的距离,根据椭圆的第二定义, 变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该椭圆的离心率为( )A B C D 解:五、构建关于的不等式,求的取值范围例5:设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 另:由,得,,,,,故选D例6:如图,已知梯形中,点分有向线段所成的比为,双曲线过、三点,且以、为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。解:以的垂直平分线为轴,直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则轴.因为双曲线经过点、,且以、为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称依题意,记,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高由定比分点坐标公式得,设双曲线的方程为,则离心率,由点、在双曲线上,所以,将点的坐标代入双曲线方程得将点的坐标代入双曲线方程得再将、得,将式代入式,整理得,由题设得:,解得,所以双曲线的离心率的取值范围为配套练习1. 设双曲线()的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为( )A. B. C. D. 2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A BCD3已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )A B C D 4在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为A B C D 5在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为( )A B C D 6如图,和分别是双曲线()的两个焦点,和是以为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为( )A B C D 7. 设、分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是( )A B C D 8设、分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使,且,则双曲线离心率为( )A B C D 9已知双曲线()的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A B C D 10椭圆()的焦点为、,两条准线与轴的交点分别为、,若,则该椭圆离心率的取值范围是()AB CD答案:1.由可得故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, ,椭圆的离心率,选D。3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A4.不妨设椭圆方程为(ab0),则有,据此求出e5.不妨设双曲线方程为(a0,b0),则有,据此解得e,选C6.解析:如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,连接AF1,AF2F1=30,|AF1|=c,|AF2|=c, ,双曲线的离心率为,选D。7.由已知P(),所以化简得8.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中, 离心率,选B。9.双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率, ,离心率e2=, e2,选C10.椭圆的焦点为,两条准线与轴的交点分别为,若,则,该椭圆离心率e,选D
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