空间向量的坐标运算课件

空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc.定理定理 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i,j,k这个基底叫做单位正交基单位正交基底底,单位向量i,j,k都叫做坐标向量.一、空间向量的直角坐标运算一、空间向量的直角坐标运算1.空间直角坐标系与原点:O-xyz2.坐标向量:3.坐标平面通过每两个坐标轴的平面，分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.4.右手直角坐标系i,j,k 建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k.空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标横坐标a1，纵坐标a2，竖坐标a3.a=a1i+a2j+a3k在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一数组(a1,a2,a3),使a1i,a2j,a3k分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序数组(a1,a2,a3)，叫作向量a在此直角坐标系中的坐标.记作 a=(a1,a2,a3)设设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)，a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)，a=(a1，a2，a3)(为实数为实数)，ab=a1 b1+a2 b2+a3 b3.则则(x，y，z)就是就是P的坐标的坐标,即即P(x，y，z).在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中中,对空间任一点对空间任一点P,相对与原点确定了一个向量相对与原点确定了一个向量OP，设设OP=xi+yj+zk设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)AB=OB-OA =(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标终点的坐标减去减去起点的坐标起点的坐标.中点坐标公式中点坐标公式 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)设设M为为AB中点，中点，M点坐标为点坐标为M(x0,yo,zo)，其中其中x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2，z0=(z1+z2)/2.ab a1 a2 a3b1 b2 b3二、空间向量平行和垂直的条件二、空间向量平行和垂直的条件ab(b0)a=b 即ab(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3,ab=0 共线共线垂直垂直ab a1 b1+a2 b2+a3 b3=0ab例1 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,求:p,q,pq.解:p=a-b =(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1)，q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1)，pq=(1,0,-1)(0,3,1)=10+03+(-1)1 =-1.例题例题例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2),求向量n使na,且nb.解:设n=(x,y,z,)则na=(x,y,z,)(-2,2,0)=-2x+2y=0nb=(x,y,z,)(-2,0,2)=-2x+2z=0所以y=x,z=x于是n=(x,x,x)=x(1,1,1),显然当显然当x取任意实数时取任意实数时,可以得到无数个可以得到无数个向量都满足题意向量都满足题意.三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式|,cosbababa2322212|aaaaaa2322212|bbbbbb;232221232221332211bbbaaabababa;332211babababa设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式;)z(z)y(y)x(xABAB|AB|),z,y,B(x),z,y,A(x212212212222111则则已已知知例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求线段 AB的中点坐标和长度.zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M解：设M(x,y,z)是AB的中点，则OM=(OA+OB)21AM=MB29153031222,BAd 例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.解：设点P到A，B的距离相等，则 22222250113)3(zyxzyx化简，得 4x+6y-8z+7=0.即到A,B距离相等的点的坐标（x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0.例例5 5 在正方体在正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,B B1 1E E1 1=D D1 1F F1 1=求求BEBE1 1与与DFDF1 1所成的角的余弦值所成的角的余弦值.411BAABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1xyz解析：解析：不妨设不妨设正方体的棱长正方体的棱长为为1；以；以D为原为原点点O建立空间直建立空间直角坐标系角坐标系O-xyz.OB(1，1，0）（1，1）43E E1 1D(0，0，0）F F1 1（O O，1 1）41111o11111111,1902(1)(2)cos,(3)ABCABCABCCACBBCAAAMNAB AABNBA CBABC M 思考题：直三棱柱底面中，棱，,分别为,的中点.求的长；求的值；求证：.BCC1A1B1ANM课本：课本：P94 练习练习 P97 练习练习 课后作业课后作业