高二函数的单调性与极值

年 级高二学科数学内容标题函数的单调性与极值编稿老师胡居化一、教学目标：1. 理解利用导数判断函数在某一区间单调性及求函数的单调区间的方法.2. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法.3. 体会化归的数学思想、等价转化的数学思想、方程思想的应用.二、知识要点分析：1. 利用导数判断函数的单调性（1）函数单调性与其导函数的正、负关系在区间（a，b）内，若，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递增.若，则函数y=f（x）在区间（a，b）内单调递减，若，则函数y=f（x）是常函数，在区间（a，b）内不具有单调性.（2）导数与函数图像的关系若函数在某一区间（a，b）内的导数绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数图像比较“陡峭”（向上或向下），反之，函数图像就“平缓”一些.2. 求可导函数单调区间的一般步骤与方法（1）确定函数y=f（x）的定义域（2）求，解此方程，求其在定义域内的一切实根.（3）把函数y=f（x）的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.（4）确定在各个小区间的符号，判定函数y=f（x）在每个相应小开区间的单调性.3. 函数极值的概念已知函数y=f（x），设是定义域内任意一点，若对附近所有的点x，都有，则称函数y=f（x）在处取极大值，即，称为函数的一个极大值点.反之若，则函数在处取得极小值，即，称为函数的一个极小值点.注意：（1）函数极值是局部性概念，极值点是定义域内的点，而定义域的端点绝不是极值点.（2）若函数y=f（x）在a，b内有极值，则函数在区间a，b内一定不是单调函数，即给定区间上的单调函数无极值.（3）当函数在区间a，b内连续且有有限个极值点时，函数在区间a，b内的极大值点与极小值点是交替出现的.4. 求函数y=f（x）极值的方法（1）求导数.（2）求方程=0的所有实数根.（3）考察附近的每一个根（从左到右），导函数的符号变化，若的符号由正变负，则是极大值，若的符号由负变正，则是极小值.注意：可导点不一定是极值点，如，则x=0不是极值点.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.不可导点可能是极值点，如，在x=0处不可导，但x=0是函数的极小值点.【典型例题】考点一：判断函数在给定区间上的单调性例1. 已知函数，（1）当时，函数在区间（上的单调性如何？（2）当a0时，判断函数在区间上的单调性.思路分析：（1）当时，根据函数性质可以判断函数在（内单调递增.（2）对函数求导，判断导函数在及上的符号.解：函数的定义域是：（1）当a=0时，函数f（x）=x在区间（内单调递增当a0时，x及在区间内都是递增的故此时函数在区间内单调递增（2）求函数的导函数当或时有x21时，F（x）1时，1x1时，F（x）F（1）所以f（x）1时，函数f（x）的图像总在g（x）的图像的下方.考点二：求函数的单调区间例3. 求函数的单调区间思路分析：函数定义域是（0，+，由求得x值，把定义区间分成若干个小区间，然后判断在各个小区间内的符号.或由求得.解：函数定义域是（0，+，当，当时，故函数的增区间是（，减区间是例4. 已知函数（其中b2），求导函数及函数f（x）的单调区间.思路分析：求导函数：一利用两个函数的商的导数的运算法则求.由=0求得x，结合函数不可导点横坐标x=1及x=b11把定义区间分为（，（b1，1），（1，+，再判断导函数在这些区间内的符号.或利用求得结果是相同的.解：=函数定义域是，由=0，由b2知：x=b10恒成立.此时把不等式的右边看作是关于a的一次函数g（a），由可求x的取值范围.解：（1），由已知得：得：a=1（2）由得：整理得：，（*）令，（g（a）是关于a的一次函数）恒成立即有故所求x的取值范围是2，0【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述了导数在判断函数单调性、求函数的单调区间、求函数的极值等方面的应用.在此过程中充分体现了方程的数学思想、化归的数学思想、等价转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：100分钟，满分100分）一、选择题（本题共6小题，每题6分，共36分）1. 下列结论中，正确的结论有（ ）个（1）单调增函数的导数也是单调增函数（2）单调减函数的导数也是单调减函数（3）单调函数的导数也是单调函数 （4）导函数是单调的，则原函数也是单调的A. 0 B. 2 C. 3 D. 42. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在上是增函数 B. 在上是减函数C. 在（0，上是增函数，在上是减函数D. 在（0，上是减函数，在上是增函数3. 函数的递增区间是（ ）A. B. C. D. 4. “a=1”是“函数在区间上为增函数”的（ ）条件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要5. 函数在x=1处有极值2，则A. b的值分别为（ ）A. 1，3 B. 1， 3 C. 1，3 D. 1，36. 已知函数的图像与x轴切于（1，0）点，则f（x）的极值为（ ）A. 极大值为，极小值为0， B. 极大值是0，极小值是C. 极小值，极大值是0， D. 极大值，极小值是0二、填空题（共4小题，每题6分，共24分）7. 函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_.8. 已知函数在x=2，x=1处取得极值，则a，b的值各为_.9. 函数是其定义域上的增函数，则a的取值范围是_.10. 设在区间1，3上是单调函数，则实数a的取值范围是_.三、计算题（共40分）11. （10分）已知向量，若函数在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.12. （15分）已知函数，f（x）的单调递减区间是（0，4）（1）求k的值；（2）当.13. （15分）设x=1，x=2是函数的两个极值点（1）求a，b的值.（2）求f（x）的单调区间.【试题答案】一、选择题1. A 解析：举反例：如f（x）=2x是定义域内的增函数，但是常数，不具有单调性，故（1）错.同理可举反例判断余下的三个结论都不正确.2. A 解析：1cosx，时，3. C 解析：，但函数的定义域是（0，+，故函数的递增区间是4. A解析：当a=1时，但：当函数f（x）在区间1，+上递增时，有5. A 解析：又x=1时极值是2，故a+b=2，解得：a=1，b=3.6. A. 解析：由已知函数与x轴切于（1，0）点，则当x=1时，过此点的切线的斜率为0.故又f（1）=0，所以1pq=0由解得：p=2，q=1故由二、填空题7. a2或a1解析：由于函数既有极大值又有极小值，故有实根，即.8. 解析：由已知有：，联立解得a，b.9. 1a1时，设u=（3a）xa则函数y=是增函数，此时u=（3a）xa必是增函数，故此时3a0即a3，1a3.（ii）当0a1时，上递增，.13. 解：（1）是函数f（x）的两个极值点由解得：.（2）由（1）知，故函数f(x)的递增区间是（2，+，由，故函数f(x)的递减区间是（2，1），（1，2）.