黄昆版固体物理学课后答案解析答案

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m2 nB = 9.459 x 10-115 N - m2(1)平衡间距r的计算晶体内能U (r)=(一兰 + E)2 rm rn平衡条件竺drr=5单个原子的结合能man。八 ，n。、+ = 0 , r = () n - mrm+1rn+100W = -1 u(r ), u(r )=(-竺 +旦),200rmrnr=r01 m、，nB、iW = a (1- )(a) n - m(3)体弹性模量K =(把)-VdV 2 V0 0晶体的体积v = NAr 3 ,弓为常数，N为原胞数目 晶体内能U (r)=(一地+色)2rmrndU _ dU dr dV dr dVN m以=(2 rm+inP ) 1 rn+i 3NAr2d2U N dr d m以nP1)dV 22 dV drrm+i rn+i，3NAr2d 2Un2 PmadV 22 9V 2rmrnrmrnV=V)由平衡条件dUnpmanPdVr m+1rn+13NAr 2rmrnV=V0d 2UdV 2V=V)d 2UdV 2V=%d 2UdV 2N1N1rmrnmn9V2m 2armrn-mma+nnPnmrmrn2 9V 2rn(-U )V=V0体弹性模量K = U。|器(4)若取 m = 2, n = 10, r = 3A, W = 4 eVr =(业)t，W =1 a (1-竺)(巫)；X 0ma2 n map= Wr10，2 0a = r2-L + 2W 0 r100P = 1.2 x 10-95 eV - m10, a = 9.0 x 10-19 eV - m2第三章固格振动与晶体的热学性质3。2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解,当M = m时与一 维单原子链的结果一一对应。解:质量为M的原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3；质量为m的原子位于2n，2n+2, 2n+4KCHdW IS-牛顿运动方程吧广邛（:七一烦1T 篇丁M旦=一。（2四一四一旦）M- 2n+12n+12n+22n2!n-3 2n-l 2n+l 2ri+3N个原胞，有2N个独立的方程设方程的解七=而(2”，代回方程中得到|LX= Beit-(2 n+1) aq J(2P 一m2)A-(2P cosaq)B = 0-(2 p cos aq) A + (2 p - M2)B = 0A、B 有非零解，2P-m2 -2P C0Saq = 0，则 -2p cosaq 2p -M2(m + M)4mM. 2 = p1 土 1-sin2 aq2mM(m + M )22 = p (m + M)1 + 1- 4mM sln2 aq2 两种不同的格波的色散关系+ mM(m + M )2(m + M)4mM12 = p1 -1-sin2 aq2- mM(m + M )2个q对应有两支格波:一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N。当M = m时,两种色散关系如图所示:3询此长波极限情况下q T 0 , sin（丝）牝史,22吃=(Ji )q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3。3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为p和10p，两种原子质 量相等，且最近邻原子间距为a 2。试求在q = 0,q =Za处的o (q)，并粗略画出色散关系曲线.此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体.如-42ii-2答：(1)2n-l 2n+l如+3浅色标记的原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3；深色标记原子位于2n, 2n+2, 2n+4第2n个原子和第2n + 1个原子的运动方程:m =(p +p )旦 +P 旦 +P2 n1 2 2 n 2 2 n+1 1 2 n1m =(p +p )旦 +。旦 +P 旦.2n+11 2 2 n+1 1 2 n+2 2 2n方程的解：七=Ael0t(2n)2aq体系N个原胞，有2N个独立的方程，令02 = p. / m, 02 = p / m，将解代入上述方程得: 日 =B.g(2 n+1)； aq .1 .(02 +02 0 2) A (02 e 2a +02 el 2a) B = 0A.X(0 2e_ 12aq +0 2el 2a) A (02 +02 02) B = 01212A、B有非零的解，系数行列式满足:.1.1(02 +02 O 2), 一 (02 e 2 的 +O2el 2 a ).1.1(02 e 一 2 aq +02 e 2 a ), (02 +02 O 2).1+ 2 e 2aq)= 02.i.i.i(02 +02 02)2 一(02e2aq +02el2aq)(02el2aq12121z、 z_H、z _c(f .、c I f .、c f .、c c (r、c Xil aq 、 r、c Xi l aq f rc 八 l aq i r、c 八l aq (02 + 02 02 )2 (02e 2 + 02e 2 )(02e 2+ 02e 2 ) 0121212因为 p = p、p2 10 p，令 02 02 = , 02 =皿 = 1002 得到(1102 s2)2 - (101 + 20cos aq)% = 0两种色散关系：s2 =S2(11 ：20cos qa +101)s =)22s s = 0=J20ss当q = 0时,当q =-时，aS 2 =S2(11 121),S 2 =O2(11 疝),0XE1IMI& IIOvSl(2)色散关系图:3。7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有s(q) = s0 Aq2求证： f (s) = -V 1_(s _s)/2,s s0os s 时，ss = Aq2 0f (s) = 0,s0ns s = Aq2 n q = A； (s s)2依据七s(q) = 2Aq, f (s)= 右J -，并带入上边结果有qV ds V 1A1/2V 1 /f (s)= r r4K(s s) = r(s 力2(2兀Vs(q)(2兀2A20(ss)/2(2k)2A3203.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T 2 oL2 兀 ndn =kdk =2兀证明：在k到k + dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n + dn间圆环的面积&ndn，且kdk即p(s)=ds 贝U2兀2兀v 2pE = - Js2 丸 v 2 0pT t 0时，E g T 3 ,.cvs 2 d s 广+ Ees/kBT 一 102丸v 2 2-p=(肯)s gT顷ihd=3s(/ * j x, e s / kBT 1 hx 2 dxex 1第四章能带理论4 1、根据k = 生状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数W及W ?,并说明它们的a+-+特性.说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布帕|2说明能隙的来源(假设匕=* ) V解令k = +-, kf = -,简并微扰波函数为w =刨。+刨。 a a_Eo(k)-EA + V-B = QV A + Eo(k,)-EB = O L-I带入上式，其中E =o() + |y |4-nV (x) 0, V 0,从上式得到B二n-A,于是.皿I Xa.XtZL el a x2A . im =sm xdL a= E , E =Eo(Z：)-|v I |v a = -V B,得到 A = 6 nW =-v疽ax2A nnCOSX4L a由教材可知，中及中均为驻波. 在驻波状态下，电子的平均速度v(k)为零.产生驻波 + -因为电子波矢k=时，电子波的波长人=竺=竺，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发 ak n生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1, 2, 3)中，简约波数心兽的0级波函数。2a,11 2jlv解w *仃)=十eM = Me a mxJl vl1.-n-= el2ax -e4ld a(+4)x第一能带:711 工m-=0, m = 0,|/ - (x)= 。lalak yL第二能带:b = bAb b,m =一,艮 Pm = -1,(a a.正、1 ,3il二e%a).W*=i=el2axk VL第三能带:,271271 Rn 1,、1 c Tc,m=，即m = 1 叩*=e ia ea ak,2jl 1 五I X _XaE la4l4 3、电子在周期场中的势能.m 2 Z?2 -(x-na)2 , na-b xna + b2 LYy(x)=0,当(n-1) a+b x(1)题设势能曲线如下图所示.(2)势能的平均值：由图可见，U(x)是个以为周期的周期函数，所以V(x) = - V(x)=上jw故=-abVx)dxL l a b。b题设a = 4b j故积分上限应为a b = 3b ,但由于在D?,3Z?区I司内V(x) = 0 ,故只需在-Z展区间内积分.这时， =0,于是1 ,mCD2 ,mC021= -m(b2o6V = b V(x)dx =Jb (Z?2-%2)dx = bx b -x ba -b2a -b2a _ b 3(3),势能在-2b, 2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V=V + V cos mx,V = f 2bVcos mxdx -f bV(x)cos m xdx 0m2bm 2b 02bb 02bm =-s第一个禁带宽度E = 2 V，以m = 1代入上式,E = m；2 fb(b2-x2)cosdx利用积分公式f u2 cosmudu =芒m 2(mu sin mu + 2cos mu )- sin mu 得 m3E = 些2b2第二个禁带宽度E = 2|V I，以m = 2代入上式，代入上式 g1冗 3g221Eg =等b(b2 -x2)cos财乂再次利用积分公式有Eg = 票b24.4、解:我们求解面心立方，同学们做体心立方。(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：Es(k) = - J - z J(R )e-ik(RSRs=近邻在面心立方中，有12个最近邻，若取R广0，则这12个最近邻的坐标是： a (1,1,0), a (1,1,0), a (1,1,0), a (匚了,。)2222_ a (0,1,1),a (0,1,1),a (0,1,1),a (0,T,T)2222 a (1,0,1) a (1,0,1), a (1,0,1), a 口 由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(Rs)有相同的值，简单表示为J1= J(Rs)。又由于s态波函数为偶宇称，即qs(-r) *s(r).在近邻重叠积分-J (R ) = fq *(& - R ) U (&) - V (R )卬(&) d&中，波函数的贡献为正 siss i/Ji0o 4于是，把近邻格矢R代入Es(R )表达式得到： SsEs(k) =e -J -J Z e-ikRsS 01Rs=近邻aaaa=8 - J - Je - i2( kx+k) + e - i2( kx - ky) + e - i2(- kx +ky) + e - i2(y)一a _a _一a _一a_d _一a _d _a 一 一-S -01二 8 J 2 J aaa小 、a，、cos(k + k ) + cos (k - k )+cos (k+ k ) + cos (k k )S01 12 x y2 x y _2 yz2 y zi (k + k ) i (k k ) i (k + k ) i (k k ) i (k + k ) i (k -k ) i (k + k ) i (k -k )i C W 7 ,I C W 7 ,I C w 7 /I Zz C u - Z C Y 7 z I Zx C Y 7 ,I /X C Y 7 7I /X C Y 7 z e 2 yz 丁 e 2 yz 丁 e 2 yz 丁 e 2 y z * e 2 x z e 2 x z e 2 x z e 2 x z、+ cos 2(k + k ) + cos(k - k ) I cos(a + P) + cos(a - 0) = 2cos a cos P，八 a, n，a， n， 一 a， n，-J - 4J cos k cos k + cos k cos k + cos k cos k2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是:a (1,1,1),? (1,1,1), a (侦),an】)匕匕匕匕a (1,1,1), a (1,1,1,), a (1,1,1), a (1, i,i)匕匕匕匕Es(k) =8 J 8J (cosak cosak cosak ) s 012 x 2 y 2 z4.7、有一一维单原子链,间距为a，总长度为Na。求（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对 应的能带E（k）函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s态只有一个电 子，求等于T=0K的费米能级E0及E0处的能态密度。F F解 (1),E(k) = 8s - J0 -J (eika + eika) = 8 - J - 2 J cos ka = E - 2 J cos kaE(k) = E - J -ZJ(p )e-ikrs0s(2) , N (E) = 2x-L x22兀dkdE2 Na *1_ N兀2 J a sin ka 兀 J sin kaii(3),N = j 邓 2p(k)-2dk = 2-N-2k0 = 2N。* . k。=_02兀F 兀 F2aEf = E (=E-2J cos a = E ,N(Eo) = N2a F k J sin 土 a Yi2a第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5。1、设有一维晶体的电子能带可写成E（k） _ 一 （7 - cos ka + cos2ka），其中a为晶格常数, ma 2 88m是电子的质量。试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。刀 / 4、271角牛：(1)E(k) _( - cos ka + - cos 2ka)ma 2 88=_L 7 coska+1 (2cos2ka1) ma 288=_(coska2) 21翊。2当 ka= (2n+1) 时，n=0,1, 2Emax( k)当ka=2n 时,_ 2 2ma 2Emii( k) _ 0_ 2 2ma 2(2) u _ E(*)_(sinka- sin2ka)dk ma 4h能带宽度=E - Emax min(3)m* =m(cos- ! cos 2ka)-i当k = 0时,而底，m* = 2m当S 士；时,带顶，rn* = -|m