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固体(完整word版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对 文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(完整word版)黄昆版固体物 理学课后答案解析答案)的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议 和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以 下为(完整word版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案的全部内容。固体物理学习题解答黄昆原著韩汝琦改编(陈志远解答,仅供参考)第一章晶体结构1。1、 解:实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此,可以把这些原子 或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成.这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作 是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比,即:晶体原胞的空间利用率,nVx =Vc(1)对于简立方结构:(见教材P2图1 1) a=2r,V=- 兀 r3 ,Vc=a3,n=13-兀r3-兀r3x = -3=-3=-=0.52a38r36对于体,心立方:晶胞的体对角线明,膈=心a = xn=2, Vc=a3c 4c 42 x 兀r32 x 兀r3x =3=3=兀 0.68a34 尸=尸+i。 P J vmoc)o.结合能:设想把分散的原子(离子或分子)结合成为晶体,将有一定的能量释放出来,这个能量称为结合能(用w表示)(2)求结合能w (单个原子的)题中标明单个原子是为了使问题简化,说明组成晶体的基本单元是单个原子,而非原子团、离子基团,或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时,晶体的势能,即Umin即:w = -U(r0)= +-A(可代入七值,也可不代入)00(3) 体弹性模量由体弹性模量公式:r2 (d2U ) 0 9V o(4) m = 2, n = 10, r = 3A, w = 4eV,求a、Brio。M r56 丫;r = I=0 I 2a )a )a B4aU (r )=+=r 2r 105r 24an W = U(r0) = 一 = 4eV0将 r0 = 3 A, 1eV = 1.602 x 10-19 J 代入a = 7.209 x 10-38 N - m2 nB = 9.459 x 10-115 N - m2(1)平衡间距r的计算晶体内能U (r)=(一兰 + E)2 rm rn平衡条件竺drr=5单个原子的结合能man。八 ,n。、+ = 0 , r = () n - mrm+1rn+100W = -1 u(r ), u(r )=(-竺 +旦),200rmrnr=r01 m、,nB、iW = a (1- )(a) n - m(3)体弹性模量K =(把)-VdV 2 V0 0晶体的体积v = NAr 3 ,弓为常数,N为原胞数目 晶体内能U (r)=(一地+色)2rmrndU _ dU dr dV dr dVN m以=(2 rm+inP ) 1 rn+i 3NAr2d2U N dr d m以nP1)dV 22 dV drrm+i rn+i,3NAr2d 2Un2 PmadV 22 9V 2rmrnrmrnV=V)由平衡条件dUnpmanPdVr m+1rn+13NAr 2rmrnV=V0d 2UdV 2V=V)d 2UdV 2V=%d 2UdV 2N1N1rmrnmn9V2m 2armrn-mma+nnPnmrmrn2 9V 2rn(-U )V=V0体弹性模量K = U。|器(4)若取 m = 2, n = 10, r = 3A, W = 4 eVr =(业)t,W =1 a (1-竺)(巫);X 0ma2 n map= Wr10,2 0a = r2-L + 2W 0 r100P = 1.2 x 10-95 eV - m10, a = 9.0 x 10-19 eV - m2第三章固格振动与晶体的热学性质3。2、讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N个格波解,当M = m时与一 维单原子链的结果一一对应。解:质量为M的原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3;质量为m的原子位于2n,2n+2, 2n+4KCHdW IS-牛顿运动方程吧广邛(:七一烦1T 篇丁M旦=一。(2四一四一旦)M- 2n+12n+12n+22n2!n-3 2n-l 2n+l 2ri+3N个原胞,有2N个独立的方程设方程的解七=而(2”,代回方程中得到|LX= Beit-(2 n+1) aq J(2P 一m2)A-(2P cosaq)B = 0-(2 p cos aq) A + (2 p - M2)B = 0A、B 有非零解,2P-m2 -2P C0Saq = 0,则 -2p cosaq 2p -M2(m + M)4mM. 2 = p1 土 1-sin2 aq2mM(m + M )22 = p (m + M)1 + 1- 4mM sln2 aq2 两种不同的格波的色散关系+ mM(m + M )2(m + M)4mM12 = p1 -1-sin2 aq2- mM(m + M )2个q对应有两支格波:一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N。当M = m时,两种色散关系如图所示:3询此长波极限情况下q T 0 , sin(丝)牝史,22吃=(Ji )q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3。3、考虑一双子链的晶格振动,链上最近邻原子间的力常数交错地为p和10p,两种原子质 量相等,且最近邻原子间距为a 2。试求在q = 0,q =Za处的o (q),并粗略画出色散关系曲线.此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体.如-42ii-2答:(1)2n-l 2n+l如+3浅色标记的原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3;深色标记原子位于2n, 2n+2, 2n+4第2n个原子和第2n + 1个原子的运动方程:m =(p +p )旦 +P 旦 +P2 n1 2 2 n 2 2 n+1 1 2 n1m =(p +p )旦 +。旦 +P 旦.2n+11 2 2 n+1 1 2 n+2 2 2n方程的解:七=Ael0t(2n)2aq体系N个原胞,有2N个独立的方程,令02 = p. / m, 02 = p / m,将解代入上述方程得: 日 =B.g(2 n+1); aq .1 .(02 +02 0 2) A (02 e 2a +02 el 2a) B = 0A.X(0 2e_ 12aq +0 2el 2a) A (02 +02 02) B = 01212A、B有非零的解,系数行列式满足:.1.1(02 +02 O 2), 一 (02 e 2 的 +O2el 2 a ).1.1(02 e 一 2 aq +02 e 2 a ), (02 +02 O 2).1+ 2 e 2aq)= 02.i.i.i(02 +02 02)2 一(02e2aq +02el2aq)(02el2aq12121z、 z_H、z _c(f .、c I f .、c f .、c c (r、c Xil aq 、 r、c Xi l aq f rc 八 l aq i r、c 八l aq (02 + 02 02 )2 (02e 2 + 02e 2 )(02e 2+ 02e 2 ) 0121212因为 p = p、p2 10 p,令 02 02 = , 02 =皿 = 1002 得到(1102 s2)2 - (101 + 20cos aq)% = 0两种色散关系:s2 =S2(11 :20cos qa +101)s =)22s s = 0=J20ss当q = 0时,当q =-时,aS 2 =S2(11 121),S 2 =O2(11 疝),0XE1IMI& IIOvSl(2)色散关系图:3。7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有s(q) = s0 Aq2求证: f (s) = -V 1_(s _s)/2,s s0os s 时,ss = Aq2 0f (s) = 0,s0ns s = Aq2 n q = A; (s s)2依据七s(q) = 2Aq, f (s)= 右J -,并带入上边结果有qV ds V 1A1/2V 1 /f (s)= r r4K(s s) = r(s 力2(2兀Vs(q)(2兀2A20(ss)/2(2k)2A3203.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格,在德拜近似下计算比热,并论述在低温极限比热正比与T 2 oL2 兀 ndn =kdk =2兀证明:在k到k + dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n + dn间圆环的面积&ndn,且kdk即p(s)=ds 贝U2兀2兀v 2pE = - Js2 丸 v 2 0pT t 0时,E g T 3 ,.cvs 2 d s 广+ Ees/kBT 一 102丸v 2 2-p=(肯)s gT顷ihd=3s(/ * j x, e s / kBT 1 hx 2 dxex 1第四章能带理论4 1、根据k = 生状态简并微扰结果,求出与E及E相应的波函数W及W ?,并说明它们的a+-+特性.说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布帕|2说明能隙的来源(假设匕=* ) V解令k = +-, kf = -,简并微扰波函数为w =刨。+刨。 a a_Eo(k)-EA + V-B = QV A + Eo(k,)-EB = O L-I带入上式,其中E =o() + |y |4-nV (x) 0, V 0,从上式得到B二n-A,于是.皿I Xa.XtZL el a x2A . im =sm xdL a= E , E =Eo(Z:)-|v I |v a = -V B,得到 A = 6 nW =-v疽ax2A nnCOSX4L a由教材可知,中及中均为驻波. 在驻波状态下,电子的平均速度v(k)为零.产生驻波 + -因为电子波矢k=时,电子波的波长人=竺=竺,恰好满足布拉格发射条件,这时电子波发 ak n生全反射,并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同,所以对应不同代入能量。4.2、写出一维近自由电子近似,第n个能带(n=1, 2, 3)中,简约波数心兽的0级波函数。2a,11 2jlv解w *仃)=十eM = Me a mxJl vl1.-n-= el2ax -e4ld a(+4)x第一能带:711 工m-=0, m = 0,|/ - (x)= 。lalak yL第二能带:b = bAb b,m =一,艮 Pm = -1,(a a.正、1 ,3il二e%a).W*=i=el2axk VL第三能带:,271271 Rn 1,、1 c Tc,m=,即m = 1 叩*=e ia ea ak,2jl 1 五I X _XaE la4l4 3、电子在周期场中的势能.m 2 Z?2 -(x-na)2 , na-b xna + b2 LYy(x)=0,当(n-1) a+b x(1)题设势能曲线如下图所示.(2)势能的平均值:由图可见,U(x)是个以为周期的周期函数,所以V(x) = - V(x)=上jw故=-abVx)dxL l a b。b题设a = 4b j故积分上限应为a b = 3b ,但由于在D?,3Z?区I司内V(x) = 0 ,故只需在-Z展区间内积分.这时, =0,于是1 ,mCD2 ,mC021= -m(b2o6V = b V(x)dx =Jb (Z?2-%2)dx = bx b -x ba -b2a -b2a _ b 3(3),势能在-2b, 2b区间是个偶函数,可以展开成傅立叶级数V=V + V cos mx,V = f 2bVcos mxdx -f bV(x)cos m xdx 0m2bm 2b 02bb 02bm =-s第一个禁带宽度E = 2 V,以m = 1代入上式,E = m;2 fb(b2-x2)cosdx利用积分公式f u2 cosmudu =芒m 2(mu sin mu + 2cos mu )- sin mu 得 m3E = 些2b2第二个禁带宽度E = 2|V I,以m = 2代入上式,代入上式 g1冗 3g221Eg =等b(b2 -x2)cos财乂再次利用积分公式有Eg = 票b24.4、解:我们求解面心立方,同学们做体心立方。(1)如只计及最近邻的相互作用,按照紧束缚近似的结果,晶体中S态电子的能量可表示成:Es(k) = - J - z J(R )e-ik(RSRs=近邻在面心立方中,有12个最近邻,若取R广0,则这12个最近邻的坐标是: a (1,1,0), a (1,1,0), a (1,1,0), a (匚了,。)2222_ a (0,1,1),a (0,1,1),a (0,1,1),a (0,T,T)2222 a (1,0,1) a (1,0,1), a (1,0,1), a 口 由于S态波函数是球对称的,在各个方向重叠积分相同,因此J(Rs)有相同的值,简单表示为J1= J(Rs)。又由于s态波函数为偶宇称,即qs(-r) *s(r).在近邻重叠积分-J (R ) = fq *(& - R ) U (&) - V (R )卬(&) d&中,波函数的贡献为正 siss i/Ji0o 4于是,把近邻格矢R代入Es(R )表达式得到: SsEs(k) =e -J -J Z e-ikRsS 01Rs=近邻aaaa=8 - J - Je - i2( kx+k) + e - i2( kx - ky) + e - i2(- kx +ky) + e - i2(y)一a _a _一a _一a_d _一a _d _a 一 一-S -01二 8 J 2 J aaa小 、a,、cos(k + k ) + cos (k - k )+cos (k+ k ) + cos (k k )S01 12 x y2 x y _2 yz2 y zi (k + k ) i (k k ) i (k + k ) i (k k ) i (k + k ) i (k -k ) i (k + k ) i (k -k )i C W 7 ,I C W 7 ,I C w 7 /I Zz C u - Z C Y 7 z I Zx C Y 7 ,I /X C Y 7 7I /X C Y 7 z e 2 yz 丁 e 2 yz 丁 e 2 yz 丁 e 2 y z * e 2 x z e 2 x z e 2 x z e 2 x z、+ cos 2(k + k ) + cos(k - k ) I cos(a + P) + cos(a - 0) = 2cos a cos P,八 a, n,a, n, 一 a, n,-J - 4J cos k cos k + cos k cos k + cos k cos k2 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x对于体心立方:有8个最近邻,这8个最近邻的坐标是:a (1,1,1),? (1,1,1), a (侦),an】)匕匕匕匕a (1,1,1), a (1,1,1,), a (1,1,1), a (1, i,i)匕匕匕匕Es(k) =8 J 8J (cosak cosak cosak ) s 012 x 2 y 2 z4.7、有一一维单原子链,间距为a,总长度为Na。求(1)用紧束缚近似求出原子s态能级对 应的能带E(k)函数。(2)求出其能态密度函数的表达式。(3)如果每个原子s态只有一个电 子,求等于T=0K的费米能级E0及E0处的能态密度。F F解 (1),E(k) = 8s - J0 -J (eika + eika) = 8 - J - 2 J cos ka = E - 2 J cos kaE(k) = E - J -ZJ(p )e-ikrs0s(2) , N (E) = 2x-L x22兀dkdE2 Na *1_ N兀2 J a sin ka 兀 J sin kaii(3),N = j 邓 2p(k)-2dk = 2-N-2k0 = 2N。* . k。=_02兀F 兀 F2aEf = E (=E-2J cos a = E ,N(Eo) = N2a F k J sin 土 a Yi2a第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5。1、设有一维晶体的电子能带可写成E(k) _ 一 (7 - cos ka + cos2ka),其中a为晶格常数, ma 2 88m是电子的质量。试求(1)能带宽度;(2)电子在波矢k状态的速度;(3)带顶和带底的电子有效质量。刀 / 4、271角牛:(1)E(k) _( - cos ka + - cos 2ka)ma 2 88=_L 7 coska+1 (2cos2ka1) ma 288=_(coska2) 21翊。2当 ka= (2n+1) 时,n=0,1, 2Emax( k)当ka=2n 时,_ 2 2ma 2Emii( k) _ 0_ 2 2ma 2(2) u _ E(*)_(sinka- sin2ka)dk ma 4h能带宽度=E - Emax min(3)m* =m(cos- ! cos 2ka)-i当k = 0时,而底,m* = 2m当S 士;时,带顶,rn* = -|m
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