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习题11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为其中为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1) 由，知： ，消去t可得轨道方程：质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；（2）由，有速度：而，有速率：。1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。解：（1）由，可知 ， 消去t得轨道方程为：，质点的轨道为抛物线。（2）由，有速度：从到秒的位移为：（3）和秒两时刻的速度为：， 。1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为m，的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，有：；（2）而，有速率：，利用有： 。1-4一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为，升降机上升的高度为，运动方程分别为 （1） （2） （3）（注意到为负值，有）联立求解，有：。解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为，利用，有：。1-5一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的，。解：（1）如图，可建立平抛运动学方程： ， ，；（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：（为抛物线方程）；（3），即：，在落地瞬时，有：， 又 ， 。1-6路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为，足的坐标为，由相似三角形关系可得：，两边对时间求导有： ，考虑到：，知人影中头的速度：（常数）。1-7一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在03s的时间间隔内，质点速度为0的位置： 若 解得 ，。1-8一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。解：小球落地时速度为，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示， （1） （2）第二次落地时：，代入（2）式得：，所以：。1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为。解：由向心力公式：，赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：，而现在赤道上物体的向心力为：1-10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0，法向加速度为。因此有：，；（2）在落地点时子弹的，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：，有： 则： 。1-11一飞行火箭的运动学方程为，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：一维运动，直接利用公式：，有：（1） ， （2）1-12飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为有：，联立方程解得：，。1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为：故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间t可以得到第二秒末物体速度：，（向上）第三秒末物体速度：第四秒末物体速度：（向下）。思考题11-1质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（A）；（B）；（C）；（D）答：（C）1-2沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。答：B1-3如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的图像，由图可知（A）两个质点一定从同一位置出发（B）两个质点都始终作匀加速运动（C）在末两个质点相遇（D）在时间内质点B可能领先质点A答：D1-4质点的关系如图，图中，三条线表示三个速度不同的运动问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；。1-5如图所示，两船和相距，分别以速度和匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离图中和为已知。答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度。是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度就是两船相靠最近的距离 作FD/AB,构成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：两船在任一时刻的位置矢量分别为： 任一时刻两船的距离为：令：。1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （A），；（B），；（C），答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。1-7如图所示，质点在t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度，回到x轴的时刻为t，则（A） （B）（C） （D）答：A （注意：题目中各处的v 应为矢量！须加上箭头。）1-8一质点作斜抛运动，用代表落地时，（1）说明下面三个积分的意义：；（2）用和代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：。答： 表示物体落地时x方向的距离， 表示物体落地时y方向的距离， 表示物体在时间内走过的几何路程， 抛出点到落地点的位移， 抛出点到落地点位移的大小， 抛出点到落地点位移的大小。习题22-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，当时，。当时，求：(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有：，（1），。于是质点在时的速度：（2）2-2 质量为2kg的质点在xy平面上运动，受到外力的作用，t=0时，它的初速度为，求t=1s时质点的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，考虑到，有由于在自然坐标系中，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，。2-3如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？ 解：分别对A，B进行受力分析，可知：则可计算得到： 。2-4如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：可得：解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：联立得：，有：。2-5如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的，所以：。解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：方向：考虑到，有：，解得：。的取值范围：。2-6质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，则分离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：考虑到，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-7质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：利用隔离体方法，设方形物相对于劈形物沿斜面下滑的加速度为，劈形物水平向左的加速度为，分析受力有：方形物受力：，（惯性力）；劈形物受力：，如图；对于，有沿斜面平行和垂直的方程为： 对于，有： 将代入有：，代入，有：再将在水平和竖直两方向上分解，有： 而相互作用力：2-8在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。 解：利用自然坐标系，法向：，而： 切向：，则： ，得： 2-9如图，一质点在几个力作用下沿半径为的圆周运动，其中有一恒力N，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力所做的功。解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（，），再利用：，有：（焦耳）2-10质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：，题意：，。2-11一质量为的物体，在力的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻此力所做功的功率为多少。解：由，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：所以功率为：。2-12一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中和单位分别为和。（1）计算当将弹簧由拉伸至过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知：（2），按保守力的定义：该弹力为保守力。2-13如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。分析：直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。解：求在B点的速度：，可得：由动能定理： 2-14在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：，即 ，则：。利用功能原理：，有：可解得：（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度时，速度为零，设： ，由能量守恒有：， 即：。2-15一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为，质量为，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：2-16在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体、边上再放一物体，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为用力推，使弹簧压缩，然后释放。求：（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，还能往前移动多远? 解：（1）当与开始分离时，两者具有相同的速度，但的加速度为零，此时弹簧和都不对产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：，有：，；（2）分离之后，的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： ，则： 。2-17已知地球对一个质量为的质点的引力为（为地球的质量和半径)。（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能比较两种情况下的势能差解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为： ；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：两种情况下势能差是完全一样的。2-18如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量；（2）质点所受张力T的冲量。解：（1）设周期为，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，由，旋转一周的冲量；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且，张力T旋转一周的冲量：所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。2-19质量为的质点在平面内运动，运动学方程为，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从到的时间内质点受到的冲量。解：（1）根据动量的定义：，而， ；（2）由 ，所以冲量为零。2-20质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小=30m/s，设穿透时间极短。求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：根据圆周运动的规律：，有：；（2）根据冲量定理可得：。2-21一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为，中微子的动量为，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为，求其反冲动能。解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1） 又， ，所以 ， ；（2）反冲的动能为：。2-22有质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为。，而， ， 。2-23如图，光滑斜面与水平面的夹角为，轻质弹簧上端固定今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动当木块向下滑时，恰好有一质量的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得： (碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向动量守恒定律，可得： 。2-24以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩；（2）质点的角动量。解：（1）（2）2-25人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：（1）卫星在近地点及远地点处的速率和（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径。解：（1）利用角动量守恒：，得 ，同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：，所以：，考虑到：，有： ，；（2）利用万有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。解：第二宇宙速度时，由机械能守恒：再由动量守恒：，代入：。2-27如图，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程： ，联立，解得：， 。2-28如图所示，一均匀细杆长为，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过中心且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考虑对称性，有摩擦力矩：；（2）根据转动定律，有：，。或利用：，考虑到， 有：。2-29如图所示，滑轮转动惯量为，半径为；物体的质量为，用一细绳与劲度系数的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为，下落最大距离为。由机械能守恒：，有：；（2）当物体下落时，由机械能守恒：，考虑到，有：，欲求速度最大值，将上式两边对求导，且令，有：，将代入，有：，当m时物体速度达最大值，有：，代入数值可算出： 。2-30如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为和的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解：根据角动量守恒，有：有：思考题2-1质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示设木板和墙壁之间的夹角为a，当a逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1，方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于木板，小球受重力为mg，建立平衡方程： ，所以当增大，小球对木板的压力N2将减小；小球对墙壁的压力也减小。2-2质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动，对A进行受力分析，知：，对B进行受力分析，知：突然撤消拉力时，对A有：，所以，对B有：，所以。2-3如图所示，用一斜向上的力 (与水平成30角)，将一重为的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数m的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知： 整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即：（此式中F无论为多大，总成立），则可得：。2-4如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B) 它的速率均匀增加。(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。(D) 它的合外力大小不变。(E) 轨道支持力的大小不断增加。解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。下滑过程中的和v都在增大，所以N也在增大，则E的说法正确。2-5和两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力一样，位移也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?答：根据功的定义：所以当它们受到的水平恒力一样，位移也一样时，两个功是相等的；但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。2-6按质点动能定理，下列式子：是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。2-7在劲度系数为的弹簧下，如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?答：如将质量为的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为，所以；如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：，所以。2-8一粒子初时沿轴负向以速度运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与轴成的方向运动(速度大小不变)试用矢量在图上表出粒子所受到的冲量的大小和方向。解：由：，考虑到，见右图示。2-9试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，表示这块空气的质量，和分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，必然对帆有一个反作用力，此力的方向偏向船前进的方向，将分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。2-10当质量为的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：，试分析上述三个方程各在什么条件下成立。解：（1）机械能守恒； （2）角动量守恒； （3）万有引力提供向心力。2-11在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。2-12体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁在用力，谁不在用力无关。选择C。2-13一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？ 答：增大2-14一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）习题33-1原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：，在本题中，所以； 。取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。所以： 即：。3-2有一单摆，摆长，小球质量，时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，频率： ，周期：；（2）振动方程可表示为：，根据初始条件，时：，可解得：，所以得到振动方程： 。3-3一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时，位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0时，由旋转矢量图，可知：故振动方程为：； （2）将t=0.5 s代入得：，方向指向坐标原点，即沿x轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动，如图示，质点从位置回到平衡位置处需要走，建立比例式：，有： 。3-4两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在 处，且向左运动时，相位为，而质点2在 处，且向右运动，相位为。所以它们的相位差为。3-5当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由，有：，（1）当时，由，有：，；（2）当时，有：，。3-6两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且初相：，初相：，表明两者处于反相状态，（反相，），合成振动的振幅： ；合成振动的相位： ；合成振动的方程： 。3-7两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知 =0.01 mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有：，。说明A与A间夹角为/2，即两振动的位相差为/2 。3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1） ；（2） ；（3） 。试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。对于，的叠加，可推得：（1）将，代入有：，则方程化为：，轨迹为一般的椭圆；（2）将，代入有：则方程化为：，即，轨迹为一直线；（3）将，代入有：则方程化为：，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。3-9沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，而相位和波长之间满足关系：，代入数据，可得：波长=24m。又T=2s，所以波速。3-10已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿轴负向传播，波动式又如何?解：（1）设平面波的波动式为，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：；（2）若波沿轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则点的振动式为：，与题设点的振动式比较，有：，平面波的波动式为：。3-11一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（2）点的振动表达式（点位于点右方处）。解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以点为原点平面简谐波的表达式为：，则点的振动式：题设点的振动式比较，有：，该平面简谐波的表达式为：（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程：3-12已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为。（1）写出点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出点的振动表达式；（4）写出点离点的距离。解：由图可知：，而，则：，波动方程为：点的振动方程可写成：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（舍去）那么：（1）点的振动表达式：；（2）波动方程为：；（3）设点的振动表达式为：由图形可知：时：，有：考虑到此时，（或）A点的振动表达式：，或；（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：，所以： 。3-13一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。解：这是一个振动 图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：。（1）当时，考虑到：，有：，当时，考虑到：，有：，原点的振动表达式：；（2）沿轴负方向传播，设波动表达式：而，；（3）位相差： 。3-14一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为，频率为，波速为。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为：，由 有：；（2）由， 。3-15一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率。若该媒质的密度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积的总能量。解：（1）由：，有：；（2）1分钟为60秒，通过面积的总能量为： 。3-16设与为两个相干波源，相距波长，比的位相超前。若两波在在、连线方向上的强度相同且不随距离变化，问、连线上在外侧各点的合成波的强度如何？又在外侧各点的强度如何？解：（1）如图，、连线上在外侧，两波反相，合成波强度为0；（2）如图，、连线上在外侧，两波同相，合成波的振幅为，合成波的强度为： 。3-17图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。为声源，为声音探测器，如耳或话筒。路径的长度可以变化，但路径是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在的第一位置时为极小值100单位，而渐增至距第一位置为的第二位置时，有极大值单位。求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，相邻波节与波腹的间距：，可得：。（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：（2），依题意有： ，那么 。3-18蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多少？解：根据多普勒效应，3-19一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求：（1）声源在空气中发出声音的波长；（2）每秒钟到达反射面的波数；（3）反射波的波速；（4）反射波的波长。解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率 声音的波长（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 （3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 （4）反射波的波长为 3-20试计算：一波源振动的频率为，以速度向墙壁接近（如图所示），观察者在点听得拍音的频率为，求波源移动的速度，设声速为。解：根据观察者不动，波源运动，即：，观察者认为接受到的波数变了：，其中，分别代入，可得： 。思考题3-1试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量； 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用描述时，其所作的运动就是谐振动。那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用描述时，其所作的运动就是谐振动。 （2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为。题中所述，故，所以回复力为。（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR，令，则有：。3-2简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答： 简谐振动的速度： ；加速度：；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。3-3分析下列表述是否正确，为什么?（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。3-4用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1：使其从平衡位置压缩，由静止开始释放。方法2：使其从平衡位置压缩2，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用和表示，则它们满足下面那个关系？（A） （B） （C） （D） 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。3-5一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从运动到处所需要的最短时间为多少？答：质点从运动到处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：。3-6一弹簧振子，沿轴作振幅为的简谐振动，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，问振子处于处时；其势能的瞬时值为多少？答：由题意，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，所以该振子的总能量为，当振子处于处时；其势能的瞬时值为：。3-7.图（a）表示沿轴正向传播的平面简谐波在时刻的波形图，则图（b）表示的是：（A）质点的振动曲线； （B）质点的振动曲线；（C）质点的振动曲线； （D）质点的振动曲线。答：图（b）在t=0时刻的相位为，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。3-8从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。3-9. 当两列波干涉时，是否会有能量损失？答：否。当两列波干涉时，波的能量只是进行了重新分布，并不会有损失。3-10. 一卫星发射恒定频率的无线电波。地面上的探测器测到了这些无线电波，并使它们与某一标准频率形成拍，然后将拍频输入扬声器，人们就“听”到了卫星的信号。试描述当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时声音的变化情况。答：由于多普勒效应，当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时，地面上探测器测到的来自卫星的无线电波频率将大于、等于和小于其发射频率（n1），它们与标准频率(n2)形成拍的拍频将随着增大（若n2n1）或减小（若n1n2），扬声器发出的拍音也随之变短或变长。习题44-1在容积的容器中盛有理想气体，气体密度为=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。解：根据题意，可知：，。由于温度不变，有：，那么，逃出的气体在下体积为：，这部分气体在下体积为：则排除的气体的质量为： 。根据题意，可得：，4-2有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用，知两气体摩尔数相同，即：，代入数据有： 。4-3如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央，则体积和压强相同，如图。由：，有：，而：，可得： 。4-4高压氧瓶：，每天用，为保证瓶内，能用几天？解：由，可得：，；而：，有：，那么：能用的天数为天 。4-5氢分子的质量为，如果每秒有个氢分子沿着与容器器壁的法线成角的方向以的速率撞击在面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？解：由：，再根据气体压强公式：，有： 。4-6一容器内储有氧气，其压强，温度，求容器内氧气的（1）分子数密度；（2）分子间的平均距离；（3）分子的平均平动动能；（4）分子的方均根速度。解：（1）由气体状态方程得：；（2）分子间的平均距离可近似计算：；（3）分子的平均平动动能：；（4）分子的方均根速度： 。4-7已知某种理想气体，其分子方均根率为，当其压强为时，求气体的密度。解： ，由气体方程：，又，。4-8金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有个自由电子，其中电子的最大速率为 ，电子速率在之间的概率为：，式中为常数则电子的平均速率为多少？解：由平均速率的定义：，考虑到：，有： 。4-9大量粒子（个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于的分子数约为多少？（2）速率处在到之间的分子数约为多少？（3）所有个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于的那些分子的平均速率为多少？解：根据图像信息，注意到。图形所围的面积为分子的全部数目，有：，所以，利用，有：，。（1）速率小于的分子数：个；（2）速率处在到之间的分子数：个；【或：】（3）所有个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： 由平均速率定义：，有：；（4）速率大于的那些分子的平均速率：。4-10在麦克斯韦分布下，（1）计算温度和时氧气分子最可几速率和；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。解：根据最可几速率的定义： （1）温度：， ： ；（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦分布函数：，代入：，代入：；（3）计算时氧分子在处单位速率区间内分子数占总分子的比率。将，代入：得： 。4-11在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比，则其内能之比为多少？解：根据，有：，因题设条件为，可得：，又氦气是单原子分子，知：，那么内能之比为： 。4-12水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2OH2+0.5O2，内能增加了多少？解：水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了1.5份的双原子的内能，而水分子的自由度为6，氢气和氧气作为刚性双原子分子，其自由度均为5，利用气体内能公式：，所以内能的变化为： 。4-13体积为的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为，此时氧气的内能为多少？解：由理想气体状态方程：，以及双原子气体内能公式：，可得到： 。思考题4-1气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？答：平衡态的特征：（1）系统与外界在宏观上无能量和物质的交换（2）系统的宏观性质不随时间改变。热平衡态是指：在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。1平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。2平衡态是一种理想状态。4-2对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别?答：有区别。从微观上看：当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。4-3在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么?答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。4-4容器内有质量为，摩尔质量为的理想气体，设容器以速度作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？单原子分子；双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么?答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。（2），所以：，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的增加。（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能温度与系统的整体运动无关所以当容器再从静止加速到原来速度，那么容器内理想气体的温度不会改变。4-5叙述下列式的物理意义：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.答：（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为；（2）在平衡态下，分子平均平动动能；（3）在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量；（4）1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为；（5）由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为。（6）由质量为m，摩尔质量为M，自由度为i的分子组成的系统的内能的变化为。4-6氦气、氧气分子数均为，速率分布曲线如图，且阴影面积为，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？（2）；（3）的意义？（4）为多少？对应的物理意义是什么？答：（1）由可知，对于氧气和氦气，即使，氦气的还是大于氧气，所以图形中，大的曲线是氦气，即B图是氦气的；（2）；（3）的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相同；（4）为在v0右边的两曲线的面积差乘以N，对应的物理意义是v0的速率区间内氦气分子比氧气分子
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