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第三章 函数【命题分析】函数部分的内容主要包括函数的初步、一次函数、反比例函数、二次函数等.函数的初步这一知识点要求我们理解函数的概念，了解常量、变量和函数的关系，确定自变量的取值范围.这一知识点的考查角度比较多，考试的形式多样，选择、填空题，并且近几年将知识综合出现比较多.一次函数的概念、图象及其性质是中考的必考内容，而待定系数法求函数解析式、已知图象求参数的值或取值范围以及与其它函数结合的综合型问题是中考常考题型.一次函数的应用是初中数学中的重点内容之一，这类题目不但格调清新、设计独特，而且紧密结合社会实践和市场经济实际，它在考查同学们对基础知识掌握程度的同时，更能突出对应用数学意识的考查力度反比例函数的概念、图象及其性质是中考的必考内容，而待定系数法求函数解析式、已知图象求参数的值或取值范围以及与其它函数结合的综合型问题是中考常考题型.二次函数的概念、图象及其性质是中考的必考内容，而待定系数法求函数解析式、已知图象求参数的值或取值范围以及与其它函数结合的综合型问题是中考常考题型.通过开口方向、对称轴方程、顶点，并能应用这一知识点解决一些实际问题.二次函数的应用重点考查二次函数与学科内知识的整合，如勾股定理、一次函数、反比例函数、平面几何知识、图形的变化等，这是一种类型；另一种类型是考查二次函数的极值问题，需要学生建立二次函数模型来解决问题.以压轴题的形式出现比较多.【押题成果】1.下列函数中，自变量的取值范围是3的是（ ）A B C D答案：D【解析】根据函数的定义，A中是一个分式，考虑的是分母不等于0，即，所以x3；B是一个分式且分母中含有根号，所以应该满足的条件是：30，即x3；C是一个整式，自变量的取值范围是全体实数；所以正确答应选D.【方法技巧】函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素.求函数自变量的取值范围通常有以下六种方法：1、当函数解析是整式时，自变量的取值范围是一切实数.2、当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数.3、当函数解析式是二次根式时，被开方数为一切非负实数.4、当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零.5、由函数值的变化范围确定自变量的取值范围.6、在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义.102352. 已知是的一次函数，右表列出了部分对应值，则 答案：设y=kx+b，将（1，3），（2，5）代入，可得y=2x+1，所以当x=0时，m的值为1.【解析】本题是一个图表信息题，要求学生能够通过观察图表得到两个变量之间的函数关系.【方法技巧】准确的根据一次函数的定义进行判断是解本类试题的关键.如果ykx+b（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数.如果ykx（k是常数，k0），那么y叫做x的正比例函数.由此可见，一次函数ykx+b（k，b是常数，k0）中，当b0时，就成了正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例.一次函数ykx+b（k，b是常数，k0），的图象是一条直线，作图时通常取两点（0，b）、（，0）即可画出一次函数的图象；正比例函数ykx（k是常数，k0）的图象是过点（0，0）与（1，k）的一条直线.押题3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A12分钟B15分钟C25分钟D27分钟答案：B【解析】本题中实际是三个函数之间的关系，理清了这三个关系，回家用的时间就可以确定了.根据图形我们可以发现，小高在图中平路时，1千米用了3分钟，上坡路1千米用了5分钟，下坡路1千米用了2分钟。回来的时候正好相反，应该是上坡路2千米，计10分钟，下坡路1千米计2分钟，平路还是3分钟，所以一共用了15分钟.【方法技巧】本类题是考查学生应用一次函数解决实际问题的能力.一次函数实际问题与图象结合考查是近年试题中的热点问题，这类问题通常是从函数图象中得出需要的信息，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用解析式解决问题.4. 点A(2，1)在反比例函数的图象上，当1x4时，y的取值范围是 .答案：y 2.【解析】首先根据A点在反比例函数图象上，我们可以确定k的值，根据这个值来判断它的性质. 把点A（2，1）代入到函数解析式中，得到k=2，所以，因为y随着x的增大而减小，所以当1x4时，y的取值范围是y 2.【方法技巧】只要能判断出k 的符号，画出示意图象，数形结合，便可求解须注意的问题是分类讨论，不要漏解；不能简单的按函数性质判断，谨防思维定势5. 反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n的值是 答案：10.【解析】本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入，求k就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求n的值或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得25=1n，所以n=10【方法技巧】由反比例函数解析式经过变形，可以得到，因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果6. 如图，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）A. (0，0) B. C. D. 答案：B.【解析】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一当线段AB最短时ABBO，又由点B在直线上可知AOB=45，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为【方法技巧】部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标.本题解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式7. 抛物线的对称轴是（ ）A. x2B. x2C. x4D. x4答案：D【解析】本题考查二次函数对称轴的公式.对于二次函数对称轴.本题易错点在于一次项系数b的符号一定要注意,另外由于学生粗心会出现类型的错误,这和一元二次方程根与系数关系的问题记混淆了.ABPxyOC（5,4）8. 如图，抛物线与轴相交于点A、B，且过点（1）求的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式答案：解：（1）把点代入抛物线，解得该二次函数的解析式为 顶点坐标为（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为，即【解析】本题第一问的设计只要用待定系数法，将C点坐标代入解析式便可得解；第二问的设计是一个开放性的问题，学生可以对照图象，利用数形结合的方法进行设计.【方法技巧】求二次函数解析式既是初中数学的重点，也是中考中的热点，因此，学会并掌握求二次函数解析式的方法是必要的.二次函数的解析式常见的有：一般式、 顶点式、两根式.确定二次函数的解析式，实质上是要确定上述式子中的三个常数，因此需要三个独立的已知条件建立三个方程组成方程组，才能求解.- 5 -
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