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第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；数量积（是个数）、向量积（是个向量）；几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点向量积（方向）、混合积（计算）；掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；空间曲线在坐标面上的投影；特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）平面方程的几种表示方式之间的转化；直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算向量的基本概念：向量: 既有大小, 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、F或、；向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、的模分别记为|a|、. 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a / b. 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的. 共面向量： 设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面；两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过p的夹角称为向量a与b的夹角, 记作或. 如果向量a与b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与p之间任意取值.； 向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b . :平行四边形法则: 向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的加法的运算规律: (1)交换律a+b=b+a; (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c). 负向量: 设a为一向量, 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 向量的减法: 把向量a与b移到同一起点O, 则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b-a .向量与数的乘法： 向量a与实数l的乘积记作规定la是一个向量, 它的模|la|=|l|a|, 它的方向当l0时与a相同, 当l0时与a相反. 当l=0时, |la|=0, 即la为零向量, 这时它的方向可以是任意的.运算规律: (1)结合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb. 向量的单位化: 设a0, 则向量是与a同方向的单位向量, 记为ea. ，于是a=|a|ea. 定理1 设向量a 0, 那么, 向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数l, 使 b = la. 空间直角坐标系 在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系. 注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位; (2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上, 而z轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面: 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面, 另两个坐标面是yOz面和zOx面. 卦限: 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限, 它位于xOy面的上方. 在xOy面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐标分解式: 任给向量r, 对应有点M, 使. 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有 , 设 , , , 则 . 上式称为向量r的坐标分解式, xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量. 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 . 有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标, 记作r=(x, y, z); 向量称为点M关于原点O的向径.利用坐标作向量的线性运算 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz).a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz). la=(lax, lay, laz). 利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 向量b/ab=la , 即b/a(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 向量的模、方向角、投影设向量r=(x, y, z), 作, 则 向量的模长公式 . 设有点A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), A、 B两点间的距离公式为：. 方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角a、b、g称为向量r的方向角. 设r=(x, y, z), 则 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 称为向量r的方向余弦. , , . 从而 . cos2a+cos2b+cos2g=1.投影的性质: 性质1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j为向量与u轴的夹角; 性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub); 性质3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua);2、数量积、向量积、混合积两向量的数量积数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 数量积的性质: (1) aa = |a| 2. (2) 对于两个非零向量 a、b, 如果 ab =0, 则 ab; 反之, 如果ab, 则ab =0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则ab ab =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示: 设q=(a, b), 则当a0、b0时, 有 . 数量积的坐标表示: 设a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 则 ab=axbx+ayby+azbz .数量积的运算律: (1)交换律: ab = ba; (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m为数. 两向量的向量积 向量积: 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q , 其中q 为a与b间的夹角; c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作ab, 即c = ab. 向量积的性质: (1) aa = 0 ; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab = 0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则ab = 0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a/b ab = 0. 数量积的运算律: (1) 交换律ab = -ba; (2) 分配律: (a+b)c = ac + bc. (3) (la)b = a(lb) = l(ab) (l为数). 数量积的坐标表示: 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)ab = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. 为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成 =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi = ( ay bz - az by) i + ( az bx - ax bz) j + ( ax by - ay bx) k. . 三向量的混合积 混合积：先作两向量a和b的向量积,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作abcabc= =混合积的几何意义：混合积abc是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积abc=0即=03、曲面及其方程曲面方程的概念如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0有下述关系: (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0; (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0, 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)=0的图形. 例如：方程 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 表示球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设在yO z 坐标面上有一已知曲线C, 它的方程为f (y, z) =0, 把这曲线绕z轴旋转一周, 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面. 它的方程为 , 这就是所求旋转曲面的方程. 在曲线C的方程f(y, z)=0中将y改成, 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程. 同理, 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为. 柱面柱面: 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线. 例如方程x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z轴, 它的准线是xOy 面上的圆x2+y2=R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C: F(x, y)=0. 类似地, 只含x、z而缺y的方程G(x, z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y, z)=0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面.二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面. (1)椭圆锥面 由方程所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面 由方程所表示的曲面称为椭球面. (3)单叶双曲面 由方程所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面 由方程所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面.(6)双曲抛物面. 由方程所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面又称马鞍面. 方程 , , , 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面. 4 空间曲线及其方程空间曲线的一般方程 设F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是两个曲面方程, 它们的交线为C所以C应满足方程组上述方程组叫做空间曲线C的一般方程. 空间曲线的参数方程空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: .(2)当给定t=t1时, 就得到C上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.空间曲线在坐标面上的投影 以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影). 设空间曲线C的一般方程为. 设方程组消去变量z后所得的方程 H(x, y)=0 , 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面. 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为: 5 平面及其方程平面的点法式方程 法线向量: 如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量.已知平面P上的一点M0(x0, y0, z0)及它的一个法线向量n =(A, B, C)，平面的点法式方程.为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0平面的一般方程平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0， 其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标, 即 n=(A, B, C). 特殊位置的平面方程：D=0, 平面过原点. n=(0, B, C), 法线向量垂直于x轴, 平面平行于x轴. n=(A, 0, C), 法线向量垂直于y轴, 平面平行于y轴.n=(A, B, 0), 法线向量垂直于z轴, 平面平行于z轴.n=(0, 0, C), 法线向量垂直于x轴和y轴, 平面平行于xOy平面.n=(A, 0, 0), 法线向量垂直于y轴和z轴, 平面平行于yOz平面.n=(0, B, 0), 法线向量垂直于x轴和z轴, 平面平行于zOx平面.求这平面的方程平面的截距式方程为： .(其中a0, b0, c0).该平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距. 平面的三点式方程为：=0其中M()，N()P()是平面上的三点。两平面的夹角 两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面P1和P2的法线向量分别为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夹角q 应是和两者中的锐角, 平面P1和P2垂直相当于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0; 也即 平面P 1和P 2平行或重合相当于.也即设P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点, P0到这平面的距离公式为.d 6 空间直线及其方程空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面P1和P2的交线.如果两个相交平面P1和P2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L满足方程组. (1)上述方程组叫做空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 已知直线L通过点M0(x0, y0, x0), 且直线的方向向量为s = (m, n, p), 则直线L的方程为： 叫做直线的对称式方程或点向式方程. 注: 当m, n, p中有一个为零, 例如m=0, 而n, p0时, 这方程组应理解为 ; 当m, n, p中有两个为零, 例如m=n=0, 而p0时, 这方程组应理解为 . 设, 得方程组 . 此方程组就是直线L的参数方程. 两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j就是和两者中的锐角, 因此 设有两直线L1:, L2:, 则 L 1L 2m1m2+n1n2+p1p2=0; l/ IIL2直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为.设直线的方向向量s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 直线与平面的夹角为j , 那么, 因此. 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行, 所以, 直线与平面垂直相当于 . 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直, 所以, 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+Bn+Cp=0. 设直线L的方向向量为(m, n, p), 平面P的法线向量为(A, B, C) , 则 LP ; L/ / P Am+Bn+Cp=0. 三、疑难点解析（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量构成的平面，且满足右手法则。混合积也是个常数。数量积：ab=|a| |b| cosq . =axbx+ayby+azbz .向量积c = ab. ， |c|=|a|b|sin q , =aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi混合积： abc= =（2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：“绕谁（如x）旋转谁不变，另外一个字母变成”。（3）同一个方程在空间和在平面中表示的图形为何不一样？答：例如：，在平面上只有两个坐标，所以表示的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当满足上述方程，则对任意的z, 也满足这个方程。（4）求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量，也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解与直线和平面相关的题时如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。然后在根据具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。四、考点分析（一）向量的的基本概念的相关知识例1、平行于向量的单位向量为_.解： 例2、 设已知两点，计算向量的模，方向余弦和方向角.解、=（-1，-，1）=2, 例3、 设，求向量在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.解 ：a=13i+7j+15k, 所以在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j例4、 在空间直角坐标系O;下，求M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.解：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,b, c)，M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,b,c)，M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(a, b,c)，M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(a,b, c).M (a, b, c)关于原点对称的对称点的坐标为(a,b, c).（二）向量的数量积、向量积、混合积的计算例5、设，求(1)(3)a、b的夹角的余弦.解：（1） （2）， （3）例6、知，求与同时垂直的单位向量.解：即为所求单位向量。例7、已知，求的面积解：思路：=答案：其中，|OA|=例8、求单位向量，使且轴，其中.解：取，则。 =8j-6k,| |=10,=,答案：例9、解：=,。tan,答案：例10已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算： 解：例11、已知平行四边形以1，2，-1，1，-2，1为两边 求它的边长和内角 求它的两对角线的长和夹角 解： 或，. 例12、已知,试求: 解: 4.原式= .原式=9例13、已知直角坐标系内矢量的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. , , . , , . 解: 共面 = 向量共面不共面 = 向量不共面以其为邻边作成的平行六面体体积 （三）求平面的曲线与曲面例14.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半，求此动点的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点在轨迹上的充要条件是。设的坐标有 化简得 故此动点的轨迹方程为 此轨迹为椭圆 例15、 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.; ; .解:令,代入方程得参数方程为.令代入方程得当时,当时,故参数方程为.(四)空间的曲线与曲面方程及投影例15、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为例16、 求下列各球面的方程：（1）中心，半径为；（2）中心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是（4）通过原点与（5）求中心在且与平面相切的球面方程。.解：（1）所求的球面方程为：（2）球面半径所以类似上题，得球面方程为（3）球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为： （4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 （1）解（1）有所求的球面方程为（5）球面的半径为C到平面：的距离，它为：，所以，要求的球面的方程为：.即：例17、（1)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 _，曲面名称为_.2)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程 _，曲面名称为_.3)将xOy坐标面上的绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为_，曲面名称为_. 4）在平面解析几何中表示_图形。在空间解析几何中表示_图形.解：求旋转曲面方程的口诀：“绕谁（如x）旋转谁不变，另外一个字母变成”（1) ,旋转抛物面 （,球面（3)绕x轴：旋转双叶双曲面绕y轴：旋转单叶双曲面（4）、抛物线，抛物柱面 5）画出下列方程所表示的曲面 (1)解： (2)解 例18、（1）、指出方程组在平面解析几何中表示_图形，在空间=析几何中表示_图形.（2）、求球面与平面的交线在xOy面上的投影方程.（3）、求上半球与圆柱体的公共部分在xOy面及xOz面上的投影. （4）、求曲线在坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？解：（1）、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。 （2）、（3）、在xoy面的投影为：，在xOz面的投影为（？）：(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲线在面上的投影曲线方程为。原曲线是由旋转抛物面被平面所截的抛物线。例19、已知柱面的准线为：母线平行于轴，求该柱面方程；解：从方程中消去，得到：即：此即为要求的柱面方程。例20、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和，求这个椭圆抛物面的方程。解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：令确定与和均在该曲面上。有：从而所以要求的椭圆抛物面的方程为：即：（五）求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找到平面过的点和平面的法向量）注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。例21（1）、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.解：平面过点为（3,0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量为,再由平面方程的点法式方程知所求方程为： （2）、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.解：因为所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根据向量的叉乘知，在由点法式方程知所求平面为：。（3）、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y轴，所以可以用z轴上的单位向量（0,1,0）为法向量，再由点法式方程知所求平面为： （4）、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.解：因为平面过两点M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以过向量=（1,1，9）,由因为所求平面平行于x轴，所以平面平行于x轴上的单位向量i=（1,0,0），从而,再由点法式方程知所求平面方程为：（5）、求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程. 解：直线的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以，在由平面的点法式方程知所求平面为：（6）、求过点(3,1,-2)且通过直线的平面方程.解：因为平面过直线，所以过直线上的点A（4，-3,0），已知过点B(3,1,-2),从而过向量及直线的方向向量因此平面的法向量可求出，再由平面的点法式方程知所求平面为：。（7）、求过点且与直线垂直的平面方程。解：所求平面方程为 即（8）、求过点，且垂直于的平面.解：法一：，所求平面法向量，且取又平面过点，则平面方程为解法2. 在平面上任取一点，则和共面，由三向量共面的充要条件得，整理得所求平面方程（9）、求过直线，且与直线：平行的平面.解：用平面束。设过直线的平面束方程为 因为所求平面与直线：平行，则所求平面的法向量()与直线的方向向量(1,-1,2),从而，因此所求平面方程为。（10）、求通过轴其与点相距8个单位的平面方程。解：设通过轴的平面为它与点相距8个单位，从而因此从而得或于是有或所求平面为或(11)求过A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三点的平面方程（12）、已知直线，直线，求过且平行的平面方程。解： 在上任取一点，故所求平面方程为 即（13）、求过轴，且与平面的夹角为的平面方程.解：平面过轴，不妨设平面方程为，则，且（不全为），已知平面的法向量为，两平面的夹角为，根据两法向量与两平面的关系有,所以所求的平面方程为：或（六）求直线方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找出直线所过的点与直线方向向量）例22（1）、求过点(1,2,3)且平行于直线的直线方程.解：因为所求直线平行于直线，所以可取所求直线的方向向量为（2,1,5），又因为过点（1,2,3），由直线的对称式方程知所求直线方程为：（2）、求过点(0,2,4)且与两平面,平行的直线方程.解：所求直线与两平面,平行，所以该直线垂直于这两平面的法向量，所以也垂直于这两法向量构成的平面，有两向量的叉乘知可去所求直线的方向向量为，再由直线的对称式方程知所求直线方程为： （3）求过且平行于平面又与直线相交的直线方程。解：设所求直线方程为所求直线与已知平面平行，则所求直线的方向向量与已知平面的法向量垂直即有 （1）又所求直线与已知直线（相交）共面，在已知直线上任取一点，则在平面上。三向量(所求直线，已知直线，)共面，得，即 （2）由（1）（2），得 所求直线方程：程.（4）、求在平面:上，且与直线垂直相交的直线方程.解：所求直线与已知直线L的交点，过交点且垂直于已知直线的平面为。答案：（5）通过点和点的直线；解：所求直线的方向向量为（5，-5,0）由直线的对称式方程知所求直线方程为：，亦即。（6）通过点且与三轴分别成的直线；解：欲求的直线的方向矢量为：，故由直线的对称式方程知所求直线方程为：。（7）通过点且与两直线和垂直的直线；。解：欲求直线的方向矢量为：，所以，直线方程为：。（8）用对称式方程及参数式方程表示直线解：，取 得 故直线的对称式方程为 直线参数式方程为 （七）利用平面与直线的位置关系找出法向量与方向向量，求平面与直线的夹角、距离、位置关系、直线与平面的交点计算等相关知识点的各类题型例23、 判别下列各直线之间的位置关系：（1）与解：， 所以 （2）与解：，所以 （）求点到直线的距离例24、求原点到的距离。解：方法（1）化为参数方程 点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数为的点） 方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为 将直线化为参数式方程为代入直线的垂面方程，得 所以（0，0，0）在直线上的垂足为 所求距离为（）求直线与平面的交点例25、求直线与平面的交点。解：（1）令 代入平面得 ， 所求交点为 （）已知点在已知平面的投影计算。例26 求点在平面上的投影。解：过且与垂直的直线方程为代入得，故在平面上的投影为（）涉及线面关系的综合计算。例23 (1)、求直线与平面的夹角.解：设平面与直线的夹角为，直线的方向向量为，平面的法向量，=0，所以夹角为0。（2)直线与直线的位置关系;解: 直线的方向向量为直线的方向向量为，所以两直线垂直。（3)直线和平面x+y+z=3的位置关系解：直线的方向向量（3,1，-4）与平面的法向量（1,1,1）垂直，从而知该直线平行于平面或在平面内，有因为直线上一点（2，-2,3）在平面内，所以知直线在平面x+y+z=3内。（4）、求点A(3,-1,2)到直线的距离.解：直线的方向向量为，求直线上的一点（可令y=0）,所以直线过点B（1，0，2）,点AB之间的距离为,向量的夹角的余弦为，所以A点到直线的距离为 (6)、求两直线：与直线：的最短距离.解：已知两直线的方向向量为，故垂直于两方向向量的向量可取为，又点在直线上过直线且平行于的平面为，即，又点在直线上，该点到平面的距离为所求两直线间的最短距离。（7）求两平行平面，间的距离：；解：（1）将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1=1。（8）求两平面，所成的角；解：（1）设：，： （9）.求下列各对直线间的角解 直线 例24、.分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示两平行平面；（3）使与表示两互相垂直的平面。解：（1）欲使所给的两方程表示同一平面，则：即：从而：，。（2）欲使所给的两方程表示两平行平面，则：所以：，。（3）欲使所给的两方程表示两垂直平面，则：所以： 。例25、求关于直线与点对称的点。解：已知直线的方向矢量为：，或为，求直线上的一点（令z=0, ）,从而直线方程为过垂直于已知直线的平面为：，即代入平面方程解出t=该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则：， 即。（八）用平面束求解题；求过直线的平面可设为例26、.求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点； （2）与轴平行；（3）与平面垂直。解：（1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为：即：。（2）同（1）中所设，可求出。故所求的平面方程为：即：。（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而：，所以所求平面方程为：。五、章节基础训练向量及其线性运算一、选择题1. 点关于轴的对称点坐标为-（ ）（A） （B） （C） （D）2. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角-（ ）（A） （B） （C） （D）3. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ ）A ） B） C） 6 D）94. 设a=1,-1,3, b=2,-1,2，求c=3a-2b是：（ ）A ）-1,1,5. B） -1,-1,5. C） 1,-1,5. D）-1,-1,6. 5、 已知向量的终点为则起点的坐标为 （ ）；、 、 、 、6、已知向量则垂直与及轴的单位向量 （ ）；、 、 、 、7、零向量的方向（ ）；、是一定的； 、是任意的； 、与坐标轴间的夹角相等； 、以上结论都不对。8、单位向量的方向 （ ）；、必相等； 、不相等； 、不一定相等； 、向量的方向必相同。9、两个单位向量（ ）；、是一定的； 、是任意的； 、与坐标轴间的夹角相等； 、以上结论都不对。二、填空题1（4）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1) 第_卦限 (2) 第_卦限 (3) 第_卦限 (4) 第_卦限2、 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。3、若，则中点坐标为， 4、若为向量的方向角，则 _ _ .5、与的位置关系_ .6、已知，且，则（1）=_；（2）线段的中点坐标为_。7、已知点的向径为单位向量，且与轴的夹角为，另外两个方向角相等，则点的坐标为_。三、计算题2、已知，求，和3、 设求5、化简 6、已知向量与各坐标轴成相等的锐角，若，求的坐标。7、试证明以三点A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形。数量积、向量积、混合积一、选择题1、 设求是：（ ） A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k2、设的顶点为，求三角形的面积是：A ） B） C） D）33、下列关系式错误的是-（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题1、已知，且，则 2、与的位置关系为_3、设，则 =_=_三、计算题1、设，求 2、试找出一个与同时垂直的向量。3、已知，试在轴上求一点，使的面积最小。4、设。5、设已知向量，计算曲面及其方程一、选择题1、设球面方程为则下列点在球面内部的是（ ）；、 、 、 、2、列曲面中经过原点的曲面是（ ）；、 、 、3、 曲面的图形关于（ ）；、平面对称； 、平面对称；、平面对称； 、原点对称。4、在空间直角坐标系里表示（ ）；、一个点； 、平面； 、椭圆 、椭圆面。5母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是( )(A) (B) (C) (D) 6、将曲线绕轴旋转一周，所得的曲面为（ ）（A）圆锥面 （B）旋转抛物面 （C）椭球面 （D）抛物柱面7、在空间直角坐标系中，是（ ）（A）圆 （B）球 （C）一点 （D）圆柱面二、计算题3、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。4、坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是： 空间曲线及其方程1、求出平面与椭球面的交线方程。2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1）； （2）；（3）； （4）平面及其方程1、在空间直角坐标系下，方程的图形表示为（ ）；、通过原点的直线； 、垂直于轴的直线；、垂直于轴的平面； 、通过轴的平面。2、直线与平面的位置关系为-（ ）（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）在平面上3. 平面与面夹角为-（ ） （A） （B） （C） （D）4、 通过点且平行与平面的平面方程为（ ）；、 、 、 、5、在轴上的截距分别为（ ）；、 、 、 、6、平面（ ）；、平行于轴； 、平行于轴； 、平行于轴； 、过原点。7. 求两平面和的夹角是：（ ）A ） B） C） D）8、已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求AMB是（ ）A ） B） C） D）9、平面与平面的位置关系是( )(A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合10. 求平行于轴，且过点和的平面方程是（ ）A）2x+3y-5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）11、设平面方程为，且，则平面( )（A）平行于轴 （B）平行于轴 （C）经过轴 （D）垂直二、填空题1、通过原点且垂直于直线的平面方程为 2、 过点且与坐标面平行的平面方程为_ 3、 点到平面的距离为 _4、判定下列两平面之间的位置关系：（1）平面与平面 _ （2）平面与平面_5、点到平面的距离d=_6、过点且平行于平面的平面方程为_-7、指出下面各平面的特殊位置：（1）x=0;(2)3y-1=0;(3)2x-3y-6=0;(4)x-3y=0;(5)y+z=1;(6)x-2z=0(7)6x-z+5=0三、计算题1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；（3）已知四点，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。2、求下列各平面的方程：（）通过点，且又通过直线的平面；（）通过直线且与直线平行的平面；（）通过直线且与平面垂直的平面；（4）平行轴，且过点和的平面（5）过点和且垂直于平面3、 求下列平面的一般方程.通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面;过点且在轴和轴上截距分别为和的平面;与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;已知两点,求通过且垂直于的平面;4、求两平行平面，间的距离：5、求过三点的平面方程。（）二平面夹角的计算（夹角规定为0,）。6、求两平面和的夹角。7、求与之间的距离。9、求过点（1,2,1）而与两直线和平行的平面的方程。10、求证：直线包含在平面之内。空间直线及其方程一、选择题1、 设空间直线方程则此直线经过的点是（ ）；、 、 、 、2、在空间直角坐标系里表示（ ）；、一个点； 、两条直线； 、两个平面的交线，即直线 、两个点。3、空间直线 与平面的相互位置关系是（ ）（A）互相平行但不相交 （B）互相垂直（C）不平行也不垂直 （D）直线在平面内4、设直线方程为，且，则直线( )（A）过原点 （B）平行于轴 （C）垂直于轴 （D）平行于轴5、 求点到直线L：的距离是：（ ）A ） B C） D）二、填空题1、过点且垂直于平面的直线方程_；2、过点且平行于直线的直线方程_；3、过点和点的直线方程_;4、直线通过原点的条件是什么？5、.确定的值，使：（1）直线与平面平行则=_；
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