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第五章 大数定理和中心极限定理1一 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1i16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 从而3三 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（0.5，0.5）上服从均匀分布， （1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解： （1）设取整误差为Xi（，1500），它们都在（0.5, 0.5）上服从均匀分布。 于是： 8某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：设X为100人中治愈的人数，则XB (n, p)其中n=100（1） （2）p=0.7由中心极限定理知 7七 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。解：（1）设每个部件为Xi (i=1,2,100)设X是100个相互独立，服从（01）分布的随机变量Xi之和X=X1+ X2+ X100由题设知n=100 P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=0.1E (Xi ) =p=0.9D (Xi ) =p (1p)=0.90.1=0.09nE (Xi ) =1000.9=90, n D (Xi ) =1000.09=9=由中心极限定理知查标准正态分布表=(1.67)=0.9525解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,n)P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.90.1=0.09由问题知求n=?而=1由中心极限定理知=查标准正态分布表得解得n24.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.八 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P 4.915.（3）求概率P min (X1，X2，X3，X4，X5)10.解：（1） =（2）P max (X1，X2，X3，X4，X5)15=1P max (X1，X2，X3，X4，X5)15 =（3）P min (X1，X2，X3，X4，X5)0为已知，1，为未知参数。（2）其中0，为未知参数。（5）为未知参数。解：（1），得（2）（5）E (X) = mp令mp = ，解得3三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解：（1）似然函数（解唯一故为极大似然估计量）（2）。(解唯一)故为极大似然估计量。（5），解得 ，（解唯一）故为极大似然估计量。4四(2) 设X1，X1，Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计 X ( )，E (X )= ，故=为矩估计量。（2）极大似然估计，为极大似然估计量。（其中5六 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解：的极大似然估计值为=0.499四(1) 设总体X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0 D (T2)所以T2较为有效。14.十四 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N （，2），求的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以往经验知=0.6（小时）（2）若为未知。解：（1）的置信度为0.95的置信区间为（），计算得（2）的置信度为0.95的置信区间为（），计算得，查表t0.025(8)=2.3060.16.十六 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。解：的置信度为0.95的置信区间为其中=0.05, n=9查表知 19.十九 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差12的置信度为0.99的置信区间。解：12的置信度为0.99的置信区间为其中=0.01，z0.005=2.58,n1=n2=20, 20.二十 设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比的置信度为0.95的置信区间。解：的置信度为0.95的置信区间= (0.222, 3.601).其中n1=n2=10，=0.05，F0.025(9,9)=4.03, 。第八章 假设检验1.一某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在 = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体XN（， 2）， 2均未知步骤：（1）提出假设检验H：=3.25; H1：3.25（2）选取检验统计量为（3）H的拒绝域为| t |（4）n=5, = 0.01，由计算知查表t0.005(4)=4.6041, （5）故在 = 0.01下，接受假设H02二 如果一个矩形的宽度与长度l的比，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为，试检验假设（取 = 0.05）H0： = 0.618H1：0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.6680.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.解：步骤：（1）H0： = 0.618；H1：0.618（2）选取检验统计量为（3）H0的拒绝域为| t |（4）n=20 = 0.05，计算知，（5）故在 = 0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.三 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为 =100小时的正态分布。试在显著水平 = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为。即需检验假设H0：1000，H1：1000。解：步骤：（1）1000；H1：8（2）当n充分大时，近似地服从N（0，1）分布（3）H0的拒绝域近似为z（4）n=100， = 0.05，S=2，由计算知（5）故在 = 0.05下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。14.十三 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平 = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：（1）提出H0： 0.005；H1： 0.005（2）H0的拒绝域为（3）n=9， = 0.05，S=0.007，由计算知查表（4）故在 = 0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。15.十四 在题2中记总体的标准差为。试检验假设（取 = 0.05）H0： 2 =0.112，H1： 2 0.112。解：步骤（1）H0： 2 =0.112；H1： 2 0.112（2）选取检验统计量为（3）H0的拒绝域为（4）n=20， = 0.05，由计算知S 2=0.0925 2，查表知（5）故在 = 0.05，接受H0，认为总体的标准差为0.11.16.十五 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%，设测定值总体为正态分布， 2为总体方差。试在水平 = 0.05下检验假设H0： 0.04%；H1： 0.04%。解：（1）H0： 2 (0.04%)2；H1： 2 (0.04%)2（2）H0的拒绝域为（3）n=10， = 0.05，S=0.037%，查表知由计算知（4）故在 = 0.05下，接受H0，认为大于0.04%17.十六 在第6五题中分别记两个总体的方差为。试检验假设（取 = 0.05）H0：以说在第6五题中我们假设是合理的。解：（1）H0：（2）选取检验统计量为（3）H0的拒绝域为（4）n1=8，n2=10， = 0.05，查表知F0.025(7,9)= 4.20F0.975(7,9)F3，将其合并得合并后，K=4，Y=1查表知由计算知（5）故在 = 0.05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。