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第五章 大数定理和中心极限定理1一 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现在随机的抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。解:设第i只寿命为Xi,(1i16),故E (Xi )=100,D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 从而3三 计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(0.5,0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少? (2)几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解: (1)设取整误差为Xi(,1500),它们都在(0.5, 0.5)上服从均匀分布。 于是: 8某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8,医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受这一断言,否则就拒绝这一断言。(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少?(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问接受这一断言的概率是多少?解:设X为100人中治愈的人数,则XB (n, p)其中n=100(1) (2)p=0.7由中心极限定理知 7七 一复杂的系统,由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。(2)一个复杂的系统,由n个互相独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作,问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。解:(1)设每个部件为Xi (i=1,2,100)设X是100个相互独立,服从(01)分布的随机变量Xi之和X=X1+ X2+ X100由题设知n=100 P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=0.1E (Xi ) =p=0.9D (Xi ) =p (1p)=0.90.1=0.09nE (Xi ) =1000.9=90, n D (Xi ) =1000.09=9=由中心极限定理知查标准正态分布表=(1.67)=0.9525解:(2)设每个部件为Xi (i=1,2,n)P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.90.1=0.09由问题知求n=?而=1由中心极限定理知=查标准正态分布表得解得n24.35取n=25,即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.八 随机地取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值,各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为5,方差为0.3,以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均:(1)求P 4.915.(3)求概率P min (X1,X2,X3,X4,X5)10.解:(1) =(2)P max (X1,X2,X3,X4,X5)15=1P max (X1,X2,X3,X4,X5)15 =(3)P min (X1,X2,X3,X4,X5)0为已知,1,为未知参数。(2)其中0,为未知参数。(5)为未知参数。解:(1),得(2)(5)E (X) = mp令mp = ,解得3三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。解:(1)似然函数(解唯一故为极大似然估计量)(2)。(解唯一)故为极大似然估计量。(5),解得 ,(解唯一)故为极大似然估计量。4四(2) 设X1,X1,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试求的极大似然估计量及矩估计量。解:(1)矩估计 X ( ),E (X )= ,故=为矩估计量。(2)极大似然估计,为极大似然估计量。(其中5六 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立,并由过去经验知,它们都服从参数为n=10,P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值,该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310解:的极大似然估计值为=0.499四(1) 设总体X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0 D (T2)所以T2较为有效。14.十四 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N (,2),求的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知=0.6(小时)(2)若为未知。解:(1)的置信度为0.95的置信区间为(),计算得(2)的置信度为0.95的置信区间为(),计算得,查表t0.025(8)=2.3060.16.十六 随机地取某种炮弹9发做试验,得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。解:的置信度为0.95的置信区间为其中=0.05, n=9查表知 19.十九 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布,并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立,求两燃烧率总体均值差12的置信度为0.99的置信区间。解:12的置信度为0.99的置信区间为其中=0.01,z0.005=2.58,n1=n2=20, 20.二十 设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定,其测定值的样本方差依次为分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的。设两样本独立,求方差比的置信度为0.95的置信区间。解:的置信度为0.95的置信区间= (0.222, 3.601).其中n1=n2=10,=0.05,F0.025(9,9)=4.03, 。第八章 假设检验1.一某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布,问在 = 0.01下能否接受假设:这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解:设测定值总体XN(, 2), 2均未知步骤:(1)提出假设检验H:=3.25; H1:3.25(2)选取检验统计量为(3)H的拒绝域为| t |(4)n=5, = 0.01,由计算知查表t0.005(4)=4.6041, (5)故在 = 0.01下,接受假设H02二 如果一个矩形的宽度与长度l的比,这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件(如窗架)、工艺品(如图片镜框)、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布,其均值为,试检验假设(取 = 0.05)H0: = 0.618H1:0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.6680.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.解:步骤:(1)H0: = 0.618;H1:0.618(2)选取检验统计量为(3)H0的拒绝域为| t |(4)n=20 = 0.05,计算知,(5)故在 = 0.05下,接受H0,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.三 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时,今从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时,已知这种元件寿命服从标准差为 =100小时的正态分布。试在显著水平 = 0.05下确定这批元件是否合格?设总体均值为。即需检验假设H0:1000,H1:1000。解:步骤:(1)1000;H1:8(2)当n充分大时,近似地服从N(0,1)分布(3)H0的拒绝域近似为z(4)n=100, = 0.05,S=2,由计算知(5)故在 = 0.05下,拒绝H0,即认为校长的看法是不对的。14.十三 某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根,测得s=0.007(欧姆),设总体为正态分布。问在水平 = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大?解:(1)提出H0: 0.005;H1: 0.005(2)H0的拒绝域为(3)n=9, = 0.05,S=0.007,由计算知查表(4)故在 = 0.05下,拒绝H0,认为这批导线的标准差显著地偏大。15.十四 在题2中记总体的标准差为。试检验假设(取 = 0.05)H0: 2 =0.112,H1: 2 0.112。解:步骤(1)H0: 2 =0.112;H1: 2 0.112(2)选取检验统计量为(3)H0的拒绝域为(4)n=20, = 0.05,由计算知S 2=0.0925 2,查表知(5)故在 = 0.05,接受H0,认为总体的标准差为0.11.16.十五 测定某种溶液中的水份,它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布, 2为总体方差。试在水平 = 0.05下检验假设H0: 0.04%;H1: 0.04%。解:(1)H0: 2 (0.04%)2;H1: 2 (0.04%)2(2)H0的拒绝域为(3)n=10, = 0.05,S=0.037%,查表知由计算知(4)故在 = 0.05下,接受H0,认为大于0.04%17.十六 在第6五题中分别记两个总体的方差为。试检验假设(取 = 0.05)H0:以说在第6五题中我们假设是合理的。解:(1)H0:(2)选取检验统计量为(3)H0的拒绝域为(4)n1=8,n2=10, = 0.05,查表知F0.025(7,9)= 4.20F0.975(7,9)F3,将其合并得合并后,K=4,Y=1查表知由计算知(5)故在 = 0.05下,接受H0,认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。
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