资源描述
第三章 随机变量与分布函数1、 解:令表在n次移动中向右移动的次数,则服从二项分布,以表时刻时质点的位置,则。的分布列为。的分布列为。2、 解:,所以的概率分布为。3、 解: (1), 。 (2), 。4、 证:,且是一个密度函数。5、 解:(1)(2)(3) 6、 解:7+24+38+24+7=100, ,查表得。由题设得令,解得,即。由对称性得 。再令,解得,即。由对称性得。7、 解:(1),而,令解得。(2)由得,从而 =0.995,而所以。8、 证:(1)设,所以,非降。(2)设,由概率的可加性得。由此得 ,右连续。(3)。由单调性得与均存在且有穷,由及上式得。9、 证: .不等式成立。10、证法一:定义则是的分布函数。由题设得,对任意有,即有。由此得。逐一类推可得,若,则,或者。从而对有理数,若与都属于0,1,则有。再由的左连续性可得,对任意无理数,若与都属于0,1,则。因为区间与0,1的长度相等,由题设得.由此及上段证明得,对任意有,即为 服从0,1上均匀分布。 证法二:如同证法一中定义的分布函数,由单调知它对0,1上的L测试几乎处处可微。设,当时,由题设得等式两端都除以,再令可得,由存在可推得也存在,而且。从而对任意有。当时显然有。一点的长度为0,由题设得。由上所述可知是连续型随机变量,是其密度函数,从而定出。至此得证服从0,1均匀分布。11、证:(1)若令, ,则有这就证明了正态分布是单参数的指数族。(2) 若令,则所以正态分布是单参数的指数族。(3)。若令,则,所以是单参数的指数族。(4)关于上的均匀分布,其密度函数为是定义在的函数,由于它是的分段表示的函数,所以无法写成形式 ,故关于不是一个单参数的指数族。12、证:分别对固定的和有。由上式显然可得对每个变元非降,左连续,而且满足(2.6)及(2.7),即,但有,这说明当取时(2.5)式不成立。所以不是分布函数。13、证:必要性:令,得。设要积分收敛,必须,由此得应有以及。利用可得 从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推,充分性显然。14、解:设是密度函数,则由得。又,所以应有。反之,若,可积且,显然有且,即是密度函数。所以为使是密度函数,必须而且只需满足且。15、解:(1)(2)。(3)的边际分布,当时,当时有.(4).(5)当时;当时有.(6),利用(2)的结果可得.16、解:作变换,令,则椭圆区域为记 则,且当时,由此得。17、证:设多项分布为, (1)。 (2)利用(2)可以把(1)改写成 (3)由边际分布的定义并把(3)代入得 由二项式定理得 (4)把(4)与(3)比较知,边际分布仍服从多项分布。多次类推可得从而知任意边际分布均服从多项分布(包括二项分布)。18、解:(1)的密度函数为,当时;当时,注意积分取胜有选取,得 .(2)的密度函数为,当时;当时,令,当时,当时,所以 其中用到函数与函数的关系式。19、证:我们有,代入的表达式得 (1)又有 (2)由(1),(2)知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为,.20、解:(1)为求的联合概率分布,分别考虑下列三种情况:其中利用到独立性。(a) ;(b);(c)(2)因为,所以 (3)21、解:(1)边际分布的密度函数为,当时;当时,同理,当时;当时。,所以与独立。(2)边际密度函数为,当时;当时当时;当时在区域中均有,所以与不独立。22、证:当时 ,与的联合分布密度为;其余。当时,;其余。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同,故得当时,;当时,;当时,;当时,;在其余区域内,诸边际密度函数均取0值。由于故两两独立;但当时有,故不相互独立。23、证:当时,其余。同理当时,其余当 时有,所以与不独立。现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为,则当时,;同理可求得的分布函数,得联合分布函数记为,则当时同理得当时;当时 =合起来写得 不难验证对所有都成立,所以与独立。24、证:(1)由褶积公式及独立性得 这就证明了具有普阿松分布,且参数为(2) 证毕。25、证:由题设得,。,同理可证 ,.所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但,所以只两两独立而不相互独立。26、解:,由此得(1), (2)。27、解:(1)由知,以概率1取有限值。当时,;当时,;当时,。(2) (3)当时,;当时,。28、解:设直径为随机变量d,则。圆面积。当时,;当时;当时。由此对求导(利用对参数积分求导法则)得圆面积的分布密度为,当或时;当时 。29、解:与的密度函数为 (1)由卷积公式及独立性得的分布密度函数为 y (2) 2 C把(2)与(1)比较知,在(2)中应有,满足此不等式组的解 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD,当时 1 B ,当时。所以当时(2)中积分为 A 0 1 x当时,(2)中积分为 ;对其余的y有。30、解:, 由求商的密度函数的公式得, 服从柯西分布。31、解:作变换,令,得。由与独立知,它们的联合密度应是它们单个密度的乘积,由此得U,V的联合密度函数为 所以U,V两随机变量也相互独立,且均服从N(0,2)。32、解:当时由独立性得当时。求导得的密度函数为,当时;当时33、解:设在内任意投两点,其坐标分别为,则的联合分布密度为。设,则的分布函数为,当时;当时;当时,积分S为平面区域ABCDEF的面积,其值为 y,所以 E D.34、证:由独立性得,的概率密度为 Fz C 0 A Bz a x 的分布函数为,当时,作球面坐标变换,则, 由此式对s求导可得,当时,S的密度函数为35、证:(3.14)式为。令,则,由得,的密度函数为,当时与仍独立。记,则由商的密度函数公式得T的密度函数为 ,令,则,得 36、解:U的分布函数为,当时;当时有 对求导可得U的密度函数为,当时;当时。37、证:(U,V)联合分布函数为当时作变换,反函数有两支,考虑到反函数有两支,分别利用两组对求导,得(U,V)的联合密度为(其余为0)若令,则U服从指数分布,V服从柯西分布,且,所以U,V两随机变量独立。38、证:当时,与的密度函数分别为当时,。设。当或时,(U,V)联合密度为;当时,作变换,得,而,所以由此知U服从分布服从分布,且U与V相互独立。39、解:令,当或时,U,V联合密度;当且时作变换,则,由此得U服从分布,V服从(0,1)分布,且U与V相互独立。40、解:(2.22)式为 设。作变换,则,, 。U,V的联合密度函数为设U,V的边际分布密度函数分别为,欲U与V独立,必须且只需,由的表达式可知,这当且仅当时成立。U,V相互独立与相互独立显然是等价的,所以相互独立的充要条件是。当时,得,。41、解:(1)因为指数中二次项的系数分别为,所以与(2.22)式(见上题解答)比较知,可设其配方后的形式为。比较系数得 此方程组有唯一解,由此得 (2)与(2.22)式比较得,。(3) , 。(4),它服从。42、解:. .的边际密度函数为(积分时在指数中对z配方)令,利用得。43、证:以f记的密度函数,则的联合密度为。作变换,令,得。若改记s为x,t为y,则由此可得的联合密度为。另一方面,由卷积公式得和的密度分别为, .故由与独立得。令(此处用了),则有。由假定知有二阶导数,上式对x求导得再对y求一次导数得.对任意u,v,选择x,y使则由上式得.由u,v的任意性得常数,因而,即有.所以,从而,均匀正态分布。44、解:(1)将弦的一端A固定,另一端B在圆周上等可能分布,记表示沿逆时针方向弧长,则在上服从均匀分布,(2)假定弦垂直于某直径,取该直径为x轴,圆心为坐标原点,记表示弦的中点坐标,则在-1,1上服从均匀分布,(3)以圆心为原点建立直角坐标系XOY,记弦中点的坐标为,则在圆内2服从均匀分布,记,则三种解法的随机变量虽都服从均匀分布,但由于随机变量不同,所以就得出了不同的结论。45、证:(1)若,则,必存在某个使,亦有,从而, (1)反之,若,必存在某个使亦有,即,从而,。 (2) 由(1),(2)式即得(和集的逆像等于每个集逆像的和)。(2)若,则,即属于每个,得(对任一),从而,。 (3)反之,若,则属于每个,亦有属于每个,即,从而,。 (4)由(3),(4)式即得(交集的逆像等于每个集逆像的交)。(3)若,则,亦有,从而,所以。反之,若,则,亦有,即,从而,所以。由以上证明可得,即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。46、证:必要性。设是随机变量,则对有,又,.充分性。记,现证M是中域。(1),故。(2)若,由上题得,故对余集运算封闭。(3)设,由上题(1)中结论得,关于可列并集运算封闭。由(1)(3)知,M是域的集类。由条件知,,其中SA表示由集类A产生的域。由此得证是一随机变量。 19
展开阅读全文