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第三章 随机变量与分布函数1、 解：令表在n次移动中向右移动的次数，则服从二项分布，以表时刻时质点的位置，则。的分布列为。的分布列为。2、 解：，所以的概率分布为。3、 解： （1）， 。 （2）， 。4、 证：，且是一个密度函数。5、 解：（1）（2）（3） 6、 解：7+24+38+24+7=100， ，查表得。由题设得令，解得，即。由对称性得 。再令，解得，即。由对称性得。7、 解：（1），而，令解得。（2）由得，从而 =0.995，而所以。8、 证：（1）设，所以，非降。（2）设，由概率的可加性得。由此得 ，右连续。（3）。由单调性得与均存在且有穷，由及上式得。9、 证： .不等式成立。10、证法一：定义则是的分布函数。由题设得，对任意有，即有。由此得。逐一类推可得，若，则，或者。从而对有理数，若与都属于0,1，则有。再由的左连续性可得，对任意无理数，若与都属于0,1，则。因为区间与0,1的长度相等，由题设得.由此及上段证明得，对任意有，即为 服从0,1上均匀分布。 证法二：如同证法一中定义的分布函数，由单调知它对0,1上的L测试几乎处处可微。设，当时，由题设得等式两端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。从而对任意有。当时显然有。一点的长度为0，由题设得。由上所述可知是连续型随机变量，是其密度函数，从而定出。至此得证服从0,1均匀分布。11、证：（1）若令， ，则有这就证明了正态分布是单参数的指数族。（2） 若令，则所以正态分布是单参数的指数族。（3）。若令，则，所以是单参数的指数族。（4）关于上的均匀分布，其密度函数为是定义在的函数，由于它是的分段表示的函数，所以无法写成形式 ，故关于不是一个单参数的指数族。12、证：分别对固定的和有。由上式显然可得对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即，但有,这说明当取时(2.5)式不成立。所以不是分布函数。13、证：必要性：令，得。设要积分收敛，必须，由此得应有以及。利用可得 从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。14、解：设是密度函数，则由得。又，所以应有。反之，若，可积且，显然有且，即是密度函数。所以为使是密度函数，必须而且只需满足且。15、解：（1）（2）。（3）的边际分布，当时，当时有.（4）.（5）当时；当时有.（6）,利用（2）的结果可得.16、解：作变换，令，则椭圆区域为记 则，且当时，由此得。17、证：设多项分布为， （1）。 （2）利用（2）可以把（1）改写成 （3）由边际分布的定义并把（3）代入得 由二项式定理得 （4）把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。18、解：（1）的密度函数为，当时；当时，注意积分取胜有选取，得 .（2）的密度函数为，当时；当时，令，当时，当时，所以 其中用到函数与函数的关系式。19、证：我们有,代入的表达式得 (1)又有 (2)由（1），（2）知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为,.20、解：（1）为求的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：其中利用到独立性。（a） ；(b)；(c)(2)因为，所以 （3）21、解：（1）边际分布的密度函数为，当时；当时，同理，当时；当时。，所以与独立。（2）边际密度函数为，当时；当时当时；当时在区域中均有，所以与不独立。22、证：当时 ，与的联合分布密度为；其余。当时，；其余。由于三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当时，；当时，；当时，；当时，；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于故两两独立；但当时有，故不相互独立。23、证：当时，其余。同理当时，其余当 时有，所以与不独立。现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为，则当时，；同理可求得的分布函数，得联合分布函数记为，则当时同理得当时；当时 =合起来写得 不难验证对所有都成立，所以与独立。24、证：（1）由褶积公式及独立性得 这就证明了具有普阿松分布，且参数为（2） 证毕。25、证：由题设得，。，同理可证 ，.所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但，所以只两两独立而不相互独立。26、解：，由此得（1）， （2）。27、解：（1）由知，以概率1取有限值。当时，；当时，；当时，。（2） （3）当时，；当时，。28、解：设直径为随机变量d，则。圆面积。当时，；当时；当时。由此对求导（利用对参数积分求导法则）得圆面积的分布密度为，当或时；当时 。29、解：与的密度函数为 （1）由卷积公式及独立性得的分布密度函数为 y （2） 2 C把（2）与（1）比较知，在（2）中应有，满足此不等式组的解 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD，当时 1 B ,当时。所以当时（2）中积分为 A 0 1 x当时，（2）中积分为 ;对其余的y有。30、解：， 由求商的密度函数的公式得, 服从柯西分布。31、解：作变换，令，得。由与独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为 所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。32、解：当时由独立性得当时。求导得的密度函数为，当时；当时33、解：设在内任意投两点，其坐标分别为，则的联合分布密度为。设，则的分布函数为，当时；当时；当时，积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 y，所以 E D.34、证：由独立性得，的概率密度为 Fz C 0 A Bz a x 的分布函数为，当时，作球面坐标变换，则， 由此式对s求导可得，当时，S的密度函数为35、证：（3.14）式为。令，则，由得，的密度函数为，当时与仍独立。记，则由商的密度函数公式得T的密度函数为 ，令，则，得 36、解：U的分布函数为，当时；当时有 对求导可得U的密度函数为，当时；当时。37、证：（U，V）联合分布函数为当时作变换，反函数有两支，考虑到反函数有两支，分别利用两组对求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）若令，则U服从指数分布，V服从柯西分布，且，所以U，V两随机变量独立。38、证：当时，与的密度函数分别为当时，。设。当或时，（U，V）联合密度为；当时，作变换，得，而，所以由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。39、解：令，当或时，U，V联合密度；当且时作变换，则，由此得U服从分布，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。40、解:（2.22）式为 设。作变换，则，, 。U，V的联合密度函数为设U，V的边际分布密度函数分别为，欲U与V独立，必须且只需，由的表达式可知，这当且仅当时成立。U，V相互独立与相互独立显然是等价的，所以相互独立的充要条件是。当时，得，。41、解：（1）因为指数中二次项的系数分别为，所以与(2.22)式（见上题解答）比较知，可设其配方后的形式为。比较系数得 此方程组有唯一解，由此得 （2）与（2.22）式比较得，。（3） ， 。（4），它服从。42、解：. .的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）令，利用得。43、证：以f记的密度函数，则的联合密度为。作变换，令，得。若改记s为x，t为y，则由此可得的联合密度为。另一方面，由卷积公式得和的密度分别为, .故由与独立得。令（此处用了），则有。由假定知有二阶导数，上式对x求导得再对y求一次导数得.对任意u,v，选择x,y使则由上式得.由u,v的任意性得常数，因而，即有.所以，从而,均匀正态分布。44、解：（1）将弦的一端A固定，另一端B在圆周上等可能分布，记表示沿逆时针方向弧长，则在上服从均匀分布，（2）假定弦垂直于某直径，取该直径为x轴，圆心为坐标原点，记表示弦的中点坐标，则在-1,1上服从均匀分布，（3）以圆心为原点建立直角坐标系XOY，记弦中点的坐标为，则在圆内2服从均匀分布，记，则三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由于随机变量不同，所以就得出了不同的结论。45、证：（1）若，则，必存在某个使，亦有，从而， （1）反之，若，必存在某个使亦有，即，从而，。 （2） 由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）。（2）若，则，即属于每个，得（对任一），从而，。 （3）反之，若，则属于每个，亦有属于每个，即，从而，。 （4）由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）。（3）若，则，亦有，从而，所以。反之，若，则，亦有，即，从而，所以。由以上证明可得，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。46、证：必要性。设是随机变量，则对有，又，.充分性。记，现证M是中域。（1），故。（2）若,由上题得,故对余集运算封闭。（3）设，由上题（1）中结论得，关于可列并集运算封闭。由(1)(3)知，M是域的集类。由条件知，,其中SA表示由集类A产生的域。由此得证是一随机变量。 19
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