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概率论基础本科填空题(含答案)1 设随机变量的密度函数为p(x), 则 p(x) 0; = 1 ;E=。考查第三章2 设A,B,C为三个事件,则A,B,C至少有一个发生可表示为:;A,C发生而B不发生可表示 ;A,B,C恰有一个发生可表示为:。考查第一章3 设随机变量,其概率密度函数为,分布函数为,则等于,等于 0.5 。考查第三章4 设随机变量具有分布P=k= ,k=1,2,3,4,5,则E= 3 ,D= 2 。考查第五章5 已知随机变量X,Y的相关系数为,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac0. 则U,V的相关系数等于 。考查第五章6 设,用车贝晓夫不等式估计:考查第五章7 设随机变量的概率函数为P= 则 0 ;= 1 ;E=。考查第一章8 设A,B,C为三个事件,则A,B,C都发生可表示为:;A发生而B,C不发生可表示为:;A,B,C恰有一个发生可表示为:。考查第一章9 ,则 5 。考查第三章10 设随机变量在1,6上服从均匀分布,则方程有实根的概率为。考查第三章 较难11 若随机变量X,Y的相关系数为,U=2X+1,V=5Y+10 则U,V的相关系数=。 考查第三章12 若 服从的均匀分布, ,则 的密度函数 。 考查第五章13 设,若与互不相容,则 0.3 ;若与相互独立,则 0.5 。 考查第一章14 将数字1,2,3,4,5写在5张卡片上,任意取出三张排列成三位数,这个数是奇数的概率P(A)= 。考查第一章15 若, 8 , 1.6 ,最可能值 8 。 考查第二、五章16 设随机变量X的概率密度为,则= 6 , =考查第四、五章17 任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a,则x,y,z可构成一三角形的概率考查第一章(较难)18 设随机变量X,Y的相关系数为1,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 1 考查第五章19 若, 3 , 0.16 . 考查第五章20.若, 16 , 8.4 . 考查第五章21. 某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品,产量分别占20%,45%和35%三个基地的产品各有30%,20%,25%在北京市场销售则该公司任取此产品一件,它可能在销往北京市场的概率为 0.2475 考查第二章22. 为一维连续型随机变量的概率密度函数,则有 1 ;若离散型随机变量具有分布列则 1 考查第三章23. 若是相互独立的随机变量,均服从二项分布,参数为及,则服从参数为 参数为的二项分布 分布考查第四章24. 设随机变量服从参数为和的正态分布,则=_0_; =_2_考查第五章25设A,B,C为任意三个事件,则其中至少有两个事件发生应表示为 。考查第一章27若二维随机向量()的联合密度函数 P(x,y)= 则E= , D= , E=, D= Cov()=.考查第五章28两人相约7点到8点在某地会面,先到者等另一个人20分钟,过时就可离开,则两人能会面的概率为 5/9 。考查第一三章选择题(含答案)1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球,其中一罐(取名“甲罐”)内的红球数与黑球数之比为2:1,另一罐(取名“乙罐”)内的黑球数与红球数之比为2:1,今任取一罐并从中依次取出50只球,查得其中有30只红球和20只黑球,则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( D )(A)2倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍2.在0,1线段上随机投掷两点,两点间距离大于0.5的概率为( A )(A)0.25 (B)0.5 (C)0.75 (D)13.设独立随机变量X,Y分别服从标准正态分布,则X + Y服从( C )(A)N(2,0) (B)自由度为2的分布 (C)N(0,2) (D)不能确定4.设P(X=n)=a且EX=1,则a为( B )(A)1 (B) (C) (D)5下列论述不正确的是 ( B )(A)若事件A与B独立则与B独立 (B)事件A B不相容则A与B独立 (C)n个事件两两独立不一定相互独立 (D)随机变量和独立则二者不相关6甲乙两人各投掷n枚硬币,理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为( C )(A)0 (B) (C) (D)7.设独立随机变量X,Y分别服从标准正态分布,则X + Y服从( C ) (A)二项分布 (B)分布 (C)N(0,2) (D)不能确定8.对于任意事件与,有( C )。(A) (B) (C) (D)9.在0, 线段上随机投掷两点,两点间距离大于的概率为( D )(A)1 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.2510.设P(X=n)=a,其中a为,则EX= ( B )(A) (B) 1 (C)0.5 (D) 311下列论述不正确的是 ( C )(A)n个事件两两独立不一定相互独立 (B)若事件A与B独立则与B独立 (C)事件A B不相容则A与B独立 (D)随机变量和独立则二者不相关12掷n枚硬币,出现正面的概率为,至少出现一次正面的概率为( A )(A) (B) (C) 1 (D)13.设A,B为两个互斥事件,且P(A)0,P(B)0,则下列结论正确的是( C )。(A) P(B|A)0, (B) P(A|B)=P(A) (C) P(A|B)=0 (D) P(AB)=P(A)P(B)考查 第二章14.事件A,B相互独立,P(A)=( D )。(A) (B) (C)0 (D)15.随机变量服从( D )分布时,。 (A)正态 (B)指数 (C)二项 (D)泊松(Poisson)16.设,记,则( A )。(A)对任何实数,都有 (B)对任何实数,都有 (C)只对的个别值,才有 (D)对任何实数,都有17若有十道选择题,每题有A、B、C、D四个答案,只有一个正确答案,求随机作答恰好答对六道的概率为( B )(A) (B) (C) (D)18某课程考试成绩, 已知96分以上占2.3%,则6084分所占比例为(A)(已知)(A) (B) (C) (D)19. 设独立随机变量X,Y分别服从标准正态分布,则XY服从( C ) (A)泊松分布 (B)分布 (C)N(0,2) (D)不能确定20.对于任意事件,有( A )。(A) (B)0 (C)1 (D)21. 设随机变量的密度函数为 则常数为( B )(A) (B) (C)0 (D)22下列陈述不正确的是(D)(A)两两独立不一定相互独立 (B)若事件A与B独立则与B独立 (C)事件A B独立则 (D)随机变量二者不相关则和独立23. 下列数列可以构成分布列的是(C)(A) (B) (C)0 (D)24下列陈述不正确的是(B)(A)和不相关则 (B)随机变量二者不相关则和独立 (C)和不相关则 (D)随机变量二者不相关则25事件中,发生且与不发生的事件为:( C ) (A); (B);(C) ; (D)26设为相互独立的两事件,则下列式子中不正确的是:( A ) (A) ; (B);(C); (D)27工厂每天从产品中随机地抽查50件产品,已知这种产品的次品率为0.1%,则在这一年内平均每天抽查到的次品数为:( A ) (A)0.05; (B)5.01 ;(C)5; (D)0.5 .28则服从分布:( C )(A) (B)(C) (D)29设随机变量的联合概率密度为则:( B )(A) 不相关;(B) 相互独立; (C) 相关;(D) 不相互独立30事件A,B互不相容,是指( B )(A) P (AB)= P (A) P (B) (B) A B= (C) AB= (D) A=计算题(含答案)一 设随机变量只取非负整数值,其概率为P,a0是常数,试求E及D解:记t=1=+= = =二炮战中,在距离目标250米,200米,150米处射击的概率分别为0.1, 0.7, 0.2, 而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05, 0.1, 0.2。 任射一发炮弹,求目标被击中的概率。若已知目标被击毁,求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解:1) 设分别表示炮弹从250米,200米,150米处射击的事件, B表示目标被击中。则由全概率公式= 2) 由Bayes公式 三某单位招聘2 500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10 000人报名,假设报名者的成绩X服从分布N 已知90分以上有359人,60分以下有1151人,问被录用者中最低分为多少?X的分布函数为标准正态分布表可得到=72和=100的值,然后令录取的最低分为,则从而得到即录取的最低分为79分。四从1到2000这2000个数字中任取一数,求1)该数能被6整除的概率;2)该数能被8整除的概率;3)该数能被6和8整除的概率;4)该数能被6或8整除的概率。解:利用古典概型的公式1);2);3);4)五空战中,从,处射击的概率分别为0.2, 0.7, 0.1, 而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2, 0.1, 0.05。 任射一发炮弹,求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中,求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。解:1) 设B表示目标被击中。则由全概率公式= 2) 由Bayes公式 六一地区农民年均收入服从元,元的正态分布,求:该地区农民年均收入在500元520元间的人数的百分比;如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95,则至少为多大?3个农民中至少有一个年均收入在500元520元间的概率。解:(1)(2),2可得,(3)考虑反面没有一个年收入在范围中的情形,其概率为:,七设随机变量(i=1,2),且满足,则求概率。解:由,得,即再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。 10110000100所以0.八、有一袋麦种,其中一等的占80%,二等的占18%,三等的占2%,已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8,0.2,0.1,现从袋中任取一粒麦种:试求它发芽的概率;若已知取出的麦种未发芽,问它是一等麦种的概率是多少?解:设事件“取出来的种子是一等种子” “取出来的种子是二等种子”“取出来的种子是三等种子” “取出的种子发芽” “取出的种子未发芽” 由题: (1)全概率公式 =67.8% (2)贝叶斯公式 =0.497九、 设随机变量的分布列为P0.20.30.30.2求的分布列。解:p0.20.30.30.2整理得的分布列1P0.30.50.2十、某师院的毕业生,其中优等生,中等生,下等生各占20%,65%,15%. 毕业后十年,这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%,70%,55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解:记B=成为优秀教师十一、将一颗均匀的骰子连掷两次,以表示两次所得点数之和。求1)的分布列;2)E。解:1)234567891011122)十二、设二维离散型随机向量(,)的联合分布列为: 012120301) 求常数C;2) 求,的边缘分布列;3) 求2的条件下,的条件分布列;4) 判断与是否相互独立。解:1)C=1;2) 01210.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.30.30.30.4和的边沿分布列为:123P0.30.40.3012P0.30.30.43)012P00.50.5整理得:12P0.50.54)因为所以与不相互独立十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6,以表示他首次命中时累计的投篮次数。写出的分布律解:分布律为十四、已知连续型随机变量有密度函数求系数k及分布函数,并计算P1.52.5解:由密度函数的性质 当时,, 当时,当时,十五、设随机变量的联合分布为 123400.000.030.050.0210.120.050.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求x, 及的边际分布(直接填写在表中),给出在的条件下的条件分布解:x =0.2在的条件下的条件分布为X|1234十六、设二元连续型随机向量的联合密度函数为求的数学期望、方差和相关系数解:当0x1时, 而或时,当-1y0时, 当 而 , 综合应用题(含答案)1.设二维连续型随机向量()的联合密度函数为其中为常数,求:1) 常数2) 的边沿密度函数3) 的条件密度函数4) 判断与是否相互独立;解:1)由密度函数的性质:2xy11 所以2)由边沿密度的计算公式,及的直观图形:当或时所以当时,所以当或时,此时;当时所以:3)由条件密度的计算公式:当时,此时条件密度存在,且当时,此时条件密度存在,且4)显然:所以与不独立。2.设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布,概率密度为:试求,并讨论X,Y的独立性。解: (X,Y) 关于X的边际密度为: 当 | x | 1时,有 即 当 | x| 1时, 有, X,Y不独立。 3.设二维随机变量的概率密度为(1) 求常数;(2) 求和的边际密度; (3) 和是否相互独立?(4) 求概率。解: (1) 所以。(2)(3)和不相互独立。(4)4 某人有10万元资金决定进行投资,现有两个投资项目可供选择,设投资项目1的收益为(万元),投资项目2的收益为(万元),其分布列为分别为-2 1 40.2 0.3 0.4-4 1 50.2 0.3 0.5若同期银行利率为5%,问应如何选择投资项目?解:10万元存入银行的无风险收益为(万元)若投资项目1,则平均收益和方差为(万元)若投资项目2,则平均收益和方左为(万元)因为两个投资项目的平均收益都大于0.5(万元),所以两个投资项目都是可取的选择,由计算结果,对于赌徒可选择投资项目2,对保守者可选择投资项目1,对理智的投资者来说,因为应选择投资项目15 . 设二元连续型随机向量的联合概率密度函数为证明:不相关但不相互独立证明: 所以即与不独立。但同理从而得与的相关系数为0。
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