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概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数.解: 假设=1对应于正面朝上,=0对应于反面朝上. 则P(=0)=P(=1)=0.5 .其分布函数为2. 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出的分布律和分布函数.解: 根据题意有P(=1)=2P(=0)(1)并由概率分布的性质知P(=0)+P(=1)=1(2)将(1)代入(2)得3P(=0)=1, 即P(=0)=1/3再由(1)式得P(=1)=2/3因此分布律由下表所示01P1/32/3而分布函数为3. 如果的概率函数为P=a=1, 则称服从退化分布. 写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形.解: , 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数.解 设取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有P(=1)=2P(=2)(1)P(=3)=P(=2)/2(2)由概率论性质可知P(=1)+P(=2)+P(=3)=1(3)(1),(2)代入(3)得:2P(=2)+P(=2)+P(=2)/2=1解得P(=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得P(=1)=4/7, P(=3)=1/7则概率函数为或列表如下:123P4/72/71/75. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数的分布律.解: 基本事件总数为, 有利于事件=i(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为, 则01234P0.28170.46960.21670.0310.0016. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则服从相应的几何分布, 即有7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样的取值为1,2,3,4.不难算出,的分布律如下表所示:1234P0.76920.19530.03280.00278. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率函数.解: 事件=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品, 这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生, 因此有P(=i)=p(1-p)i, (i=0,1,2,)9. 已知随机变量只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为, 确定常数c并计算P1|0.解: 根据概率函数的性质有即得设事件A为1, B为0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.解: 第4题:第9题:当x-1时: F(x)=P(x)=0当-1x0时: F(x)=P(x)=P(=-1)=当0x1时: F(x)=P(x)=P(=-1)+P(=0)=当1x2时: F(x)=P(x)=P(=-1)+P(=0)+P(=1)=当x2时: F(x)=P(x)=1综上所述, 最后得:11. 已知, 求的分布函数F(x), 画出F(x)的图形.解: 当x0时: F(x)=0;当0x1时: 当x1时: F(x)=1综上所述, 最后得 图形为 12. 已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).解: ,因为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P=0.5=0,求F(x): 当x0时, F(x)=0当0x1时, 当x1时, F(x)=1综上所述, 最后得:13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P(150)为:则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为14. 设连续型随机变量的分布函数为:求系数A; P(0.30.7); 概率密度(x).解: 因是连续型随机变量, 因此F(x)也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+)的曲线接上, 则必有A12=1, 即A=1. 则分布函数为P(0.30.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度(x)为15. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+B arctgx, 求常数A,B;P|1以及概率密度(x).解: 由F(-)=0, 得A+Barctg(-)=(1)再由F(+)=1, 得(2)综和(1),(2)两式解得即16. 服从拉普拉斯分布的随机变量的概率密度, 求系数A及分布函数F(x).解: 这实际上是一个分段函数, (x)可重新写为根据性质, 又因(x)为偶函数, 因此有, 则有A=1/2因此. 求分布函数F(x).当x0时, 有当x0时, 有综上所述, 最后得17. 已知, 计算P0.2|0.10.5解: 设事件A=0.2, B=0.10.5, 则要计算的是条件概率P(A|B), 而, 而事件AB=0.20.10.5=0.10.2因此有最后得18. 已知, 确定常数c.解: 首先证明普阿松广义积分, 因为函数并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令, 则作极坐标代换, 令, 则积分区间为全平面, 即从0积到2, r从0积到+, 且, 因此有, 所以I=.现确定常数c, 由性质,得19. 已知, 求常数c及Pa-1a+1.解: 由性质得解得 , 因此有则20. 二元离散型随机变量(,)有如下表所示的联合概率分布: 012345600.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004100.0990.0640.0400.0310.0200.0062000.0310.0250.0180.0130.00830000.0010.0020.0040.011求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算与的边缘分布: 0123456pi(1)00.2020.1740.1130.0620.0490.0230.0040.627100.0990.0640.0400.0310.0200.0060.2602000.0310.0250.0180.0130.0080.09530000.0010.0020.0040.0110.018pj(2)0.2020.2730.2080.1280.1000.0600.029得的边缘分布如下表所示:0123P0.6270.2600.0950.018以及的边缘分布如下表所示:0123456P0.2020.2730.2080.1280.10.060.029当i=1及j=0时,因因此与相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令,分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若与的联合分布如下表所示: 01234500.010.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.010.040.060.060.05试计算在规定时间内下列事件的概率:(1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个;(2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数.则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件的概率, 然后用1减去它. 而的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以, 分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(,)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P(=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P(=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P(=1|=2)=P(=2|=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P(=1|=1)=0, P(=2|=1)=1.综上所述并用乘法法则可得(,)的分布律如下表所示: 12101/321/31/323. ( , )只取下列数组中的值:且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(,)的概率分布表, 写出关于的边缘分布.解: 从上面数组可知只取-1,0,2这三个值, 而只取0,1这三个值, 因此总共可构成九个数对, 其中只有四个数对的概率不为零. 概率分布表及的边缘分布计算如下 01/31-101/121/301/60025/1200pj(2)7/121/121/3即的边缘分布率如下表所示01/31P7/121/121/324. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以, 分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(,)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P=1=P(=3)=1/4P=2=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P=1|=1=P=3|=3=0P=2|=1=P=2|=3=2/3P=3|=1=P=1|=3=1/3P=1|=2=P=3|=2=1/3P=2|=2=1/3则p11=P=1,=1=P=1P=1|=1=0p12=P=1,=2=P=1P=2|=1=1/6p13=P=1,=3=P=1P=3|=1=1/12p21=P=2,=1=P=2P=1|=2=1/6p22=P=2,=2=P=2P=2|=2=1/6p23=P=2,=3=P=2P=3|=2=1/6p31=P=3,=1=P=3P=1|=3=1/12p32=P=3,=2=P=3P=2|=3=1/6p33=P=3,=3=P=3P=3|=3=0即联合概率分布表如下表所示 123101/61/1221/61/61/631/121/6025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数,表示在1-中随机地取出的一个整数值,求(,)的联合概率分布.解: 因取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P=i=1/4, (i=1,2,3,4)而在=i的条件下, (i=1,2,3,4), 取1到i的概率也相同,为1/i, 即P=j|=i=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有pij=P=i,=j=P=iP=j|=i=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示: 123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/1626. 已知(,),试确定常数c并求的边缘概率密度.解: 根据性质, 有解得,因此,求的边缘概率密度:当时:上式后一等式利用了三角函数公式, 而计算三角函数的值, 又是在已知的前提下,利用半角公式得当y取区间之外的值时, .因此最后得:27. 已知服从参数p=0.6的0-1分布, 在=0及=1条件下, 关于的条件分布分别如下二表所示:123P|=01/41/21/4123P|=11/21/61/3求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在1时关于的条件分布.解: 根据题意已知P=0=1-p=1-0.6=0.4, P=1=p=0.6则根据乘法法则有:p01=P=0,=1=P=0P=1|=0=0.4(1/4)=0.1p02=P=0,=2=P=0P=2|=0=0.4(1/2)=0.2p03=P=0,=3=P=0P=3|=0=0.4(1/4)=0.1p11=P=1,=1=P=1P=1|=1=0.6(1/2)=0.3p12=P=1,=2=P=1P=2|=1=0.6(1/6)=0.1p13=P=1,=3=P=1P=3|=1=0.6(1/3)=0.2列出联合分布律如下表所示: 12300.10.20.110.30.10.2由表中可以算出P1=1-P=1=1-(p01+p11)=1-0.4=0.6P=0,1=p02+p03=0.2+0.1=0.3P=1,1=p12+p13=0.1+0.2=0.3因此有则在1时关于的条件分布律如下表所示:01P|00.50.528. 第22题中的两个随机变量与是否独立?当=1时的条件分布是什么?解: 第22题中的分布律已经计算出如下表所示: 12101/321/31/3从表中看出是明显不独立的, 因为P=1=1/3, P=1=1/3而P=1,=1=0P=1P=1在=1条件下, 因因此在此条件下服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.29与相互独立, 其概率分布如下二表所示-2-101/2P1/41/31/121/3-1/213P1/21/41/4求(,)的联合分布, P(+=1), P(+0).解: 因与相互独立, 因此有pij=pi(1)pj(2), 算得联合分布律如下表所示 -1/213-21/81/161/16-11/61/121/1201/241/481/481/21/61/121/12根据此联合分布律可算出30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周长的分布.长度293031P0.30.50.2宽度192021P0.30.40.3解: 因=2+2, 可知的取值为96,98,100,102,104, 又因与独立, 因此有P=96=P=29P=19=0.30.3=0.09P=98=P=29P=20+P=30P=19=0.30.4+0.50.3=0.27P=100=P=29P=21+P=30P=20+P=31P=19=0.30.3+0.50.4+0.20.3=0.35P=102=P=30P=21+P=31P=20=0.30.5+0.20.4=0.23P=104=P=31P=21=0.20.3=0.06因此的分布律如下表所示:周长9698100102104P0.090.270.350.230.0631. 测量一圆形物件的半径R, 其分布如下表所示, 求圆周长与圆面积的分布.R10111213P0.10.40.30.2解: 因周长=2R, 面积=R2, 因此当半径R取值10,11,12,13时, 的取值为62.83, 69.12, 75.4, 81.68, 的取值为314.16,380.13,452.39,530.93, 相应的分布律如下二表所示62.8369.1275.481.68P0.10.40.30.2314.16380.13452.39530.93P0.10.40.30.232. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数1,2,3彼此独立, 且有如下表所示分布:1101112P0.20.70.12131415P0.30.60.13171819P0.10.80.1问三天销售总量这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因的取值为1,2,3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46.因此, 如进货15件, 不够卖的概率在取值为46时出现, 即P=46=P1=12P2=15P3=19=0.10.10.1=0.001如进货40件, 够卖的概率发生在取值为40时出现, 即P=40=P1=10P2=13P3=17=0.20.30.1=0.00633. 求出第22题中+的分布律.解: 因第22题已经算出的与的联合分布律如下表: 12101/321/31/3则P+=2=P=1,=1=0P+=3=P=1,=2+P=2,=1=2/3P+=4=P=2,=2=1/3即+的分布律如下表所示:+34P2/31/334. 求出第23题中-的分布律解: 因( , )只取下列数组中的值:且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 因此-也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 即分布律如下表所示-2-4/302P1/31/121/65/1235. 已知P=k=a/k, P=-k=b/k2(k=1,2,3), 与独立, 确定a,b的值; 求出(,)的联合概率分布以及+的概率分布.解: 由概率分布的性质有, 解得 解得 因此有P=1=0.5455, P=2=0.5455/2=0.2727, P=3=0.1818P=-1=0.7347, P=-2=0.1837, P=-3=0.0816因与独立, 则有p11=P=1,=-1=P=1P=-1=0.54550.7347=0.4008p12=P=1,=-2=P=1P=-2=0.54550.1837=0.1002p13=P=1,=-3=P=1P=-3=0.54550.0816=0.0445p21=P=2,=-1=P=2P=-1=0.27270.7347=0.2004p22=P=2,=-2=P=2P=-2=0.27270.1837=0.0501p23=P=2,=-3=P=2P=-3=0.27270.0816=0.0223p31=P=3,=-1=P=3P=-1=0.18180.7347=0.1336p32=P=3,=-2=P=3P=-2=0.18180.1837=0.0333p33=P=3,=-3=P=3P=-3=0.18180.0816=0.0148即联合分布表如下表所示: -1-2-310.40080.10020.044520.20040.05010.022330.13360.03330.0148计算+的概率分布:P+=-2=p13=0.0445P+=-1=p12+p23=0.1002+0.0223=0.1225P+=0=p11+p22+p33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657P+=1=p21+p32=0.2004+0.0333=0.2337P+=2=p31=0.1336即+的概率分布率如下表所示+-2-1012P0.04450.12250.46570.23370.133636. 已知服从区间0,1上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布.解: 根据题意知的概率密度(x)为则的分布函数为对其求导得的概率密度与的概率密度间的关系为即服从在区间1,4上的均匀分布.37. 已知, , 求的概率密度.解: 求的分布函数F(x)为因ex总大于0, 而当x大于0时F(x)为因此有则的概率密度为其分布函数的求导:18 / 18
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