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清华大学2017年暑期学校测试真题1. 已知,其中a,b,c为已知参数,且a0,c0。则以下判断中正确的有_。f(x)关于点(0,b)成中心对称;f(x)可能在(0,+)上单调递增;f(x)有界;g(x)=0的解可能为1,2【解答】 函数f(x)的定义域为R,且,于是函数f(x)关于(0,b)中心对称,命题正确。 当x 0时,有,于是函数f(x)在两侧的单调性必然不同,命题错误。由于,于是f(x) 的值域为,进而f(x)为有界函数,命题正确。方程即,它的解集关于原点对称,于是b=0,若g(x)=0的解为x=1,2,则关于x的方程的解集为1,2或-1,-2,从而满足要求,命题正确。772和f(x)=x+2满足要求,命题正确,如图2. 已知无穷数列满足,则的取值范围是_。【解答】情形一=0,则=0(nN*),符合题意。情形二 0,则0(nN*),根据题意,于是,因此,于是,。综上所述,的取值范围是3. 已知,若存在,使得,则a的取值范围是_。【解答】根据题意,关于x的方程的两根之差的绝对值不小于2,也即,解得a的取值范围是-1,1【解答】-1,14. 黑板上写有1,2,2017这2017个数,每次操作任意擦去其中的某三数a,b,c,写上a+b+c除以11的余数,则黑板上最后剩下一个数的所有可能为_。【解答】由于1+2+2017模11的余数为10,于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必然为10,必然在集合中,容易构造最后一个数为10,21,32,2012中的任意一个数的例子5. 已知双曲线,为其右焦点,O为坐标原点,若左支上存在一点P使得中点M满足,则双曲线的离心率e的取值范围是_。【解答】设为双曲线的左焦点,则根据中位线定理,于是解得因此双曲线的离心率的取值范围是,6. 曲线C:,以下判断中正确的有_。曲线C过点(0,0);曲线C上的点的纵坐标的取值范围是-2,2曲线C关于x轴对称;P为曲线C上的动点,A,B的坐标为(0,1)和(0,-1),则PAB的面积的最大值为【解答】记。由于f(0,0)=13,于是点(0,0)不在曲线C上,命题错误;根据题意,于是,等号当x = 0时取得,结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是-2,2,命题正确;由于,于是C关于x轴对称,命题正确;根据,点P位于(0,2)时,PAB的边AB上的高取得最大值为2,此时PAB面积取得最大值为2,命题错误。7. 已知空间一球,SC为其直径且|SC|=4,A,B为球上两点,满足|AB|=,且ASC=BSC=30,则四面体S-ABC的体积为_。【解答】由于SC为球的直径,于是SAC=SBC=90于是SAC与SBC全等,进而SA=SB, CA=CB设AB的中点为M,则SMAB,CMAB推出AB平面SMC,所以ABSC。在SAC中作AHSC于点H,连结BH,则SC平面ABH。因此8. 已知一个四棱锥的三视图如下,该四棱锥的四个侧面中,则直角三角形的个数为_。【解答】 3如图,直角三角形有PAD,PDC,PAB9. 已知整数a,b,c为三角形的三边长,其中abc,且b=10,则符合条件的(a,b,c)的个数为_。【解答】55根据题意a 10 c a+10,于是符合条件的(a,b,c)的个数为。10. 在一个的表格中填入8个1,使得任意每行以及每列都有2个1,则不同的填法数为_。【解答】把每行的填法记为第一类:A:1100,:0011第二类:B:1010,:0101第三类:C:1001,:0110情形一:4行的填法均为间一类,则必然为,有种填法。情形二:4行的填法为两类,则必然为,有种填法;情形三:4行的填法为三类,则必然有某列中有3(或以上)个1或者1(或以下)个1,不可能因此不同的填法总数为9011. 已知ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且,求3b-a的最大值_。【解答】根据余弦定理于是,根据正弦定理, 等号当时取得,因此求最大值为2.12. 投掷一枚均匀的硬币,若出现两次正面朝上的情况即停止投掷,问总投掷次数的数学期望_。【解答】设所求数学期望为x,考虑前两次投出的结果可得解得。13. 已知曲线,试证明:对上的任意直径AB,均存在上的动点P,使得PA,PB均与相切_。【解答】欲证命题即过为曲线上任意一点作的两条切线,这两条切线互相垂直。设过点的椭圆的切线为其中,则根据直线与椭圆位置关系的等效判别式,有,即,于是根据韦达定理以及可得两条切线互相垂直,命题得证。14. 已知O为坐标原点,其中。(1) 求的最大值;(2) 求的最小值。【解答】(1) 根据题意,于是等号当时取得,因此所求最大值为9。(2)注意到而于是又取以及,则有于是的最小值为115. 已知罗尔中值定理:若函数f(x)满足:f(x)在a,b上连续;f(x)在(a,b)上可导;f(a)=f(b),则存在:(a,b),使得。(1) 试证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)满足: f(x)在a,b上连续;f(x)在(a,b)上可导,则存在(a,b),使得f(a)-f(b)=(a-b);(2) 设f(x)的定义域与值域均为0,1,f(0)=0,f(1)=1且f(x)在其定义域上连续且可导。求证:对任意正整数,存在互不相同,使得。对该函数应用罗尔中值定理即得。(3) 把区间0,1划分为n个区间,对f(x)在每个区间应用拉格朗日中值定理,可得存在,使得,其中,把这n个等式相加即得。16. 记 |A| 表示集合A中的元素个数,A+B=a+b | aA,bB,若,则称集合A有性质T。(1) 设A=,为等比数列且各项为正有理数,证明A有性质T。(2) 已知A,B均有性质T,且|A|=|B|=n,求 |A+B| 的最小值。【解答】(1) 设等比数列的公比为q,且,其中s,tN*,(s,t)=1只需要证明若,则,也即也即也即由于左边是t的倍数而右边不是t的倍数,因此命题得证。(3) 集合A有性质T等价于集合A中任意两个元素(可以相同)的和均不同,也即集合A中任意两个不同元素的差的绝对值均不相同。这是因为若abcd,则定义则对于n元集合A,有,考虑A+B,有,于是等号当时取得(取A=B即可),因此所求最小值为.本文档由华夏园教育提供
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