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七年级下期末复习讲义第六章 实 数一、知识总结（一）平方根与立方根1、平方根（1）定义：一般地，如果一种数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。（2）表达：非负数a的平方根记作 ，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 、平方根是开平方的成果；、 开平方与平方互为逆运算。2、算术平方根 （1）定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 （2）性质：（1）一种数a的算术平方根具有非负性； 即：0恒成立。 （2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数的没有算术平方根。 3、 立方根：（1）定义：一般地，如果一种数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。（2）表达：a的立方根记作，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。（二）实数1、无理数：无限不循环的小数。（一种无理数与若干有理数之间的运算成果还是无理数）2、实数：有理数和无理数统称为实数。3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按正负性分（略）4、实数与数轴上的点一一相应。5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）6、实数的运算：实数与有理数同样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一种实数可以进行开立方运算，并且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然合用。7、实数大小：（1）正数 0 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表达的数，右边点表达的数总比左边的点表达的数大。 实数比较大小的措施：作差法、平措施、作商法、倒数法、估值法 二、解题实用 1、 2、 3、 三、 典题练习1、的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 。2、如果一种有理数的算术平方根与立方根相似，那么这个数是 ；如果一种 有理数的平方根与立方根相似，那么这个数是 。3、一种自然数的算术平方根是x，则与她相邻的下一种自然数的算术平方根是 。4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） x 5、当x-1时，-x,和的大小关系 。6、比较下列各组数的大小 7、的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。8、已知，y为4的平方根，求x+y的值。9、已知，求x2+y的平方根。10、如果一种非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是 。11、a为的整数部分，b为的小数部分，则a+2b的值为 。12、若，试求的值。（提示：找出题中的隐含条件）第七章 一元一次不等式与不等式组一、 知识总结（一）不等式及其性质1、不等式：（1）定义用“”(或“”)，“”(或“”)等不等号表达大小关系的式子，叫做不等式.用“”表达不等关系的式子也是不等式.（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（3）不等式的解集：一般地，一种具有未知数的不等式的所有解，构成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范畴,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。两者的关系是：解集涉及解,所有的解构成理解集。 （4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2、不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一种整式，不等号的方向不变。即：如果，那么.性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一种正数，不等号的方向不变。即：如果，并且，那么；.性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一种负数，不等号的方向变化。即：如果，并且，那么；.性质4：如果，那么.（对称性）性质5：如果,那么.（传递性）（二）一元一次不等式1、定义：具有一种未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式， 叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：根据是不等式的基本性质；一般环节为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)系数化为1.解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一种数，特别不要漏乘常数项；移项时不要忘掉变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘(或除以)同一种负数时，不等号的方向要变化。 3.不等式的解集在数轴上表达：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左（三）一元一次不等式组 1、定义：有几种具有同一种未知数的一元一次不等式构成的不等式组，叫做一元一次不等式组 2、（一元一次）不等式组的解集：这几种不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。 3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 4、一元一次不等式组的解法 1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 2）运用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。由两个一元一次不等式构成的不等式组的解集可归纳为下面四种状况： 不等式组解集口诀记忆同大取大同小取小大小小大中间找无解大大小小则无解（四）一元一次不等式（组）解决实际问题 解题的环节： 审题，找出不等关系 设未知数 列出不等式（组） 求出不等式的解集 找出符合题意的值 作答。二、解题技巧一、 有解无解问题：（1）（2） （3） 2、 特性解问题： 解题环节：把原式中的规定的量（如下简记为) 当作已知数，去解原式得到原式的解（含)根据解的特性列出式子（有关的式子)解出的值。 例：已知的解集为，求的值。 解：解不等式 把当作已知数，去解原式 得 得到原式的解（含) 则 根据解的特性列出式子 解得 解出的值 三、典题练习1、 若有关的不等式有解，则的取值范畴是？若无解呢？2、已知有关，的方程组的解满足，求的取值范畴。3、合适选择a的取值范畴，使1.7xa的整数解： （1）x只有一种整数解； （2）x一种整数解也没有。4、解不等式（组）（1） （2） （3）（4）562x3 （5）5、若m、n为有理数，解有关x的不等式(m21)xn6、已知有关x，y的方程组的解满足xy，求p的取值范畴。7、已知有关的不等式组的整数解共有3个，求的取值范畴。8、已知A2x23x2，B2x24x5，试比较A与B的大小。9、已知a是自然数，有关x的不等式组的解集是x2，求a的值。10、某种商品进价为150元，发售时标价为225元，由于销售状况不好，商品准备降价发售，但要保证利润不低于10，那么商店最多降价多少元发售商品?11、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件 5个，且每制造一种甲种零件可获利150元，每制造一种乙种零件可获利260元。在这 20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其他工人制造乙种零件。 （1）若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表达y。 （2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?12、某学校筹划组织385名师生租车旅游，现懂得出租公司有42座和60座客车，42座 客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。 （1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱? （2）若学校同步租用这两种客车8辆(可以坐不满)，并且比单独租用一种车辆节省 租金，请选择最节省的租车方案。第八章 整式乘除与因式分解一、知识总结（一）幂的运算：1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。注：（1）任何一种不等于零的数的零指数幂都等于1； （2）任何一种不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。 （3）科学记数法：或 绝对值不不小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原 数中第一种有效数字前面的零的个数（涉及小数点前面的一种零）。（二）整式乘法：1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于 只在一种单项式里具有的字母，则连同它的指数作为积的一种因式。2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别 相乘，再把所得的积相加。3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一种多项式的每一项与另一 个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。（三）、完全平方公式与平法差公式1、完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。2、平法差公式： 两个数的平方之差等于这两个数的和 与这两个数的差之积。（四）、整式除法（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对 于只在被除式里具有的字母，则连同它的指数作为商的一种因式。 （2）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这 个单项式再把所得的商相加。（五）、因式分解1、定义：把一种多项式化为几种因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项 式分解因式。2、分解因式的基本措施： （1）提公因式法 （2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式 （3）对于二次三项式的因式分解的措施： 1）配措施，2）十字相乘法：公式 例：将因式分解。 措施一：配措施：原式= = 措施二：十字相乘法：= （4）分组分解法3、分解因式的技巧： (1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其她措施；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法与否更简洁 (3)变形技巧： 符号变形 、 、当n为奇数时， 、当n为偶数时， 增项变形： 例： 拆项变形：例二、 典题练习1、计算题(1) （2) (3) (4) (5) (6)2、迅速计算：（1） （2） （3）3、，求的值。 4、如果成立，那么 , 。5、在括号内填上指数和底数（1） （2） 6、化简求值：已知，求的值。7、已知，再求的值。8、已知，求代数式的值：（1） （2）9、因式分解：1） 2） 3）10、比较的大小。11、不解不等式组，求的值。 第九章 分 式一、 知识总结（一） 分式及其性质 1、分式 （1）定义：一般的，如果a，b表达两个整式，并且b中具有字母，那么式子叫做分式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。 （2）有理式：整式和分式统称为有理式。 （3）分式=0分子=0，且分母0 （分式故意义，则分母0） （4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。 2、分式的性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一种不等于零的整式，分式的值不变 即： （a，b，m都是整式，且） 分式的性质是分式化简和运算的根据。 3、约分：把一种式子的分子分母的公因式约去叫做约分。 注：约分的成果应为最简分式或整式。 约分的措施： 1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相似字母最低次幂； 2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。 （二）分式运算 1、分式的乘除 1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即： 2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 即： 3）分式乘措施则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即： ， 2、分式的加减 1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即： 2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减， 即： （三）分式方程1、定义：分母中具有未知数的方程叫做分式方程。2、解法： 1）基本思路：分式方程整式方程 2）转化措施：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。 3）一般环节：分式方程整式方程解整式方程检查 注： 检查的是必不可缺的核心环节，检查的目的是看与否有增根存在。（四）分式应用列分式方程解决实际问题的一般环节：审题设未知数，找等量关系列方程 检查（与否有增根，与否符合题意）得出答案二、分式解题中常用的数学思想和技巧1、已知，求的值。 （整体思想、构造法）2、已知，求的值。 （整体思想、构造法）3、已知，求的值。4、已知，求。 （先得到的值，然后按第1题措施做）5、已知，求的值。 （提示：）6、已知，求的值。 （提示：参数法）7、已知，求的值。 （倒数求值法）8、已知，求的值。 （提示：由得）9、已知，求的值。（提示：消元代入法，把其中一种未知数当作常数，用它表达其他的未知数）10、计算：1） （提示：用字母替代数） 2） （提示：局部通分） 3） (提示：假分式可先变形）三、典题练习1、如果分式的值为0，那么x的值是 。2、在比例式9:5=4:3x中，x=_ 。3、计算:=_ 。4、当分式的值相等时，x须满足 。5、把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值 。（填扩大或缩小的倍数）6、下列分式中，最简分式有 个。7、分式方程的解是 。8、若2x+y=0，则的值为 。9、当为什么值时，分式故意义？10、当为什么值时，分式的值为零？11、已知分式:当x= 时，分式没故意义；当x= _时，分式的值为0；当x=2时，分式的值为_。12、当a=_时，有关x的方程=的解是x=1。13、一辆汽车来回于相距a km的甲、乙两地，去时每小时行m km，返回时每小时行n km，则来回一次所用的时间是_。14、某班a名同窗参与植树活动，其中男生b名(ba)若只由男生完毕，每人需植树15棵；若只由女生完毕，则每人需植树 棵。15、当 时，分式的值与分式的值互为倒数。16、若方程有增根，则增根是 。17、若，则的值是 。18、已知，求的值。19、已知x+=3，则x2+= _ 。20、已知=3，则分式= 。 21、化简求值 （1）（1+）（1），其中x=； （2），其中x=。22、解方程: （1）=2； （2）。23、已知方程，与否存在的值使得方程无解？若存在，求出满 足条件的的值；若不存在，请阐明理由。24、若，且，求、的值。25、小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但她在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元因此当她第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多，问她第一次在购物中心买了几盒饼干？ 第十章 相交线、平行线与平移一、 知识总结（一） 相交线1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。 对顶角性质：对顶角相等2、 垂直： （1）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一种角是直角，就阐明两条直线 互相垂直。记作；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的 垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。 注：1）垂直是相交的一种特殊的状况； 2）两条线段垂直，垂足也许在线段上，也也许在延长线上。 （2）性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 4、垂线的画法： 略（二） 平行线 1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作ABCD。 在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其她。 2、有关概念：同位角，内错角，同旁内角。 3、性质： 基本性质：通过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。 其她性质： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线位置关系角的关系 两直线平行，同旁内角互补。 4、平行鉴定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 角的关系两直线位置关系 同旁内角互补，两直线平行。 5、平行线的画法： 略（三） 平移1、定义：在平面内，一种图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。2、性质：1）一种图形和它通过平移后所得到的图形中，两组相应点连接的线段平行 （或在同始终线上）且相等； 2）平移只变化图形的位置，不变化图形的大小和形状。3、拟定平移的要素： 1）方向； 2）距离。 二、典题练习1、如图所示，下列判断对的的是( )1212 121 2 A、图中1和2是一组对顶角 B、图中1和2是一组对顶角C、图中1和2是一对邻补角 D、图中1和2互为邻补角2、下列说法中对的的是（ ） A、有且只有一条直线垂直于已知直线； B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； C、互相垂直的两条直线一定相交； D、直线外一点A与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点 A到直线的距离是3cm。3、如图，下列说法错误的是（ ） A.A与C是同旁内角 B.1与3是同位角 C.2与3是内错角 D.3与B是同旁内角第7题图第6题图第3题图4、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( ) A B C D5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在本来的方向上平行迈进，那么两次拐弯的角度是（ ） A第一次右拐50，第二次左拐130 B第一次左拐50，第二次右拐50 C第一次左拐50，第二次左拐130 D第一次右拐50，第二次右拐505、6、如图，已知1=60，如果CDBE，那么B的度数为 。7、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：12；36；47180；58180.其中能判断ab的条件是 。（填序号）8、如图，当剪刀口AOB增大21时，COD增大 。9、吸管吸易拉罐的饮料时，如图，则 。10、 如图，由三角形ABC平移得到的三角形共有 个。 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 11、如图，一种宽度相等的纸条按如图所示措施折叠一下，则_ 。12、 已知：如图，。试阐明。 13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M近来，行驶到Q点位置时，离村庄N近来，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置。 14、如图所示，已知ABCD，分别摸索下列四个图形中P与A、C之间的关系，请你从所得的四个关系中任选一种加以阐明。 (1) (2) (3) (4)15、如图所示，一种四边形纸片，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕。 （1）试判断与的位置关系；（2）如果，求的度第十一章 频数分布一、知识总结（一） 频数与频率1、概念：一般地，如果一组数据共有n个，而其中一类数据浮现m次，那么m就叫做 该类数据在该组数据中浮现的频数；而则称为该类数据在该组数据中浮现的频率。2、频数分布：频数分布表，频数分布图（频数分布直方图，频数分布折线图） （1）整顿数据的环节：1）计算这批数据的极差（极差=最大值-最小值）2）决定组距和组数（当数据个数在100以内，一般分为512组，数据多分组多， 数据少分组少，若有的组内的频数为0时，则应放宽组距） 组距= 组数= 3）决定分点（为了避免浮现某一数据所在组不能拟定的状况，应使分点比已知数据 多一位小数，且把第一组的起点稍微放小） 4）画频数分布表。3、 注意： （1）频率概率 （2） 三种记录图的特点： 条形记录图 ：能清晰地表达出事物的绝对数量； 折线记录图 ：能清晰地反映事物的变化趋势； 扇形记录图 ：能清晰地表达各部分占总体的百分率。 二、典题练习1、对某班的一次数学测验成绩进行记录分析，各分数段的人数如图所示（分数取正整数 满分为100分）请根据图形回答问题：404950596069707980899099成绩/分学生人数20151050 该班有名学生； 7079分这一组的频数是，频率是。2、频数分布直方图（如图22-2-9所示）显示了学生半分钟心跳数状况，总共记录了_ 名学生的心跳数状况；_次人数段的学生数最多，约占_；如果半 分钟心跳数3039属于正常范畴，心跳次数属于正常范畴的学生约占_。 3、校课外活动小组为了理解本校九年级学生的睡眠时间状况，对学校若干名九年级学生 的睡眠时间进行了抽查，将所得数据整顿后画出了频数分布直方图的一部分，如图所 示，已知图中从左到右前5个小组的频率分别是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二 小组的频数为4，请回答：（1）这次被抽查的学生人数是多少？补全频率分布直方图；（2）被抽查的学生中，睡眠时间在哪个范畴内的人数最多？这一范畴的人数是多少？（3）如果该学校有900名九年级学生，若合理的睡眠时间值为，那么请你估计 一下这个学校九年级学生中睡眠时间在此范畴的人数是多少？4、校八年级（2）班40个学生某次数学测验成绩如下：63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。数学教师按10分的组距分段，算出每个分数段学生成绩浮现的频数，填写频数分布表：（1）请把频数分布表、频数分布直方图(如图22-2-19)补充完整并画出频数分布折线图；（2）请你帮教师记录一下这次数学测验的及格率（60分以上为及格，含60分） 及优秀率（90分以上为优秀，含90分）；（3）请阐明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生至少？成绩段来源:学科网49.559.559.569.569.579.579.589.589.599.5频数记录频数295频率0.250
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