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1.计算 I 二 e-11 1 xnexdx (n=0,1,2,)并估计误差。n0由分部积分可得计算i的递推公式nI = 1 nI , n = 1,2,nn -1I 二 e-订 1 exdx 二 1 e1.1)I 00若计算出I,代入(1)式,可逐次求出I 01算出I就要先算出e-1,若用泰勒多项式展开部分和0的值。要e 一 i -1 + (-1) + 仝 + + 少2!k!并取k=7,用4位小数计算,则得e-10.3679,截断误差R =1 e-1 -0.3679 1丄 -x 10-4.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍78! 4五入原则舍入,由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为I沁0.6321 = I时,用(1)式递推的计算公式为00I = 0.6321n=1 2A)0, n=1,2,。I = 1 - nInn -1计算结果见表1的I歹U。用I近似I产生的误差E = I -1就是初值误n00000差,它对后面计算结果是有影响的.表 1 计算结果nI (用(A)算)nI* (用(A)算)nnI (用(A)算)nI * (用(A)算)n010111212313414515616717818919从表1中看到7出现负值,这与一切I 0相矛盾。实际上,由积分估8ne-in +1值得2)=e-i(mimex)J1 xdx I e-i(max)J1 xdx =n0x100x 2。这就说明I完全不能近似I 了。它表0 2 8 0 8 8 明计算公式(A)是数值不稳定的。我们现在换一种计算方案。由(2)式取n=9,得e-11 I -,109 10我们粗略取I沁丄(丄+ el) = 0.0684 = I*,然后将公式(1)倒过来算,即92 10109由I*算出I*, I*,I*,公式为9870I * = 0.0684(B)彳 11I* = (1-1*),n = 9,8,,1;n-1 nn计算结果见表1的I*列。我们发现I*与I的误差不超过10 -4。记n00E *二I -1 *,则| E*l= 1 I E *1, E*比E*缩小了 n!倍,因此,尽管e*较大,n n n 0 n ! n 0 n 9但由于误差逐步缩小,故可用I*近似i。反之,当用方案(A)计算 nn时,尽管初值I相当准确,由于误差传播是逐步扩大的,因而计算结0果不可靠。此例说明,数值不稳定的算法是不能使用的。
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