数值分析第一章实验 误差分析

1.计算 I 二 e-11 1 xnexdx （n=0,1,2,）并估计误差。n0由分部积分可得计算i的递推公式nI = 1 nI , n = 1,2,nn -1I 二 e-订 1 exdx 二 1 e1.1）I 00若计算出I，代入（1）式，可逐次求出I 01算出I就要先算出e-1，若用泰勒多项式展开部分和0的值。要e 一 i -1 + (-1) + 仝 + + 少2!k!并取k=7,用4位小数计算，则得e-10.3679，截断误差R =1 e-1 -0.3679 1丄 -x 10-4.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍78! 4五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为I沁0.6321 = I时，用（1）式递推的计算公式为00I = 0.6321n=1 2A）0， n=1,2，。I = 1 - nInn -1计算结果见表1的I歹U。用I近似I产生的误差E = I -1就是初值误n00000差，它对后面计算结果是有影响的.表 1 计算结果nI （用（A）算）nI* （用（A）算）nnI （用（A）算）nI * （用（A）算）n010111212313414515616717818919从表1中看到7出现负值，这与一切I 0相矛盾。实际上，由积分估8ne-in +1值得2）=e-i(mimex)J1 xdx I e-i(max)J1 xdx =n0x100x 2。这就说明I完全不能近似I 了。它表0 2 8 0 8 8 明计算公式（A）是数值不稳定的。我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得e-11 I -，109 10我们粗略取I沁丄（丄+ el） = 0.0684 = I*，然后将公式（1）倒过来算，即92 10109由I*算出I*， I*，I*，公式为9870I * = 0.0684（B）彳 11I* = （1-1*）,n = 9,8,，1；n-1 nn计算结果见表1的I*列。我们发现I*与I的误差不超过10 -4。记n00E *二I -1 *，则| E*l= 1 I E *1， E*比E*缩小了 n!倍，因此，尽管e*较大，n n n 0 n ! n 0 n 9但由于误差逐步缩小，故可用I*近似i。反之，当用方案（A）计算 nn时，尽管初值I相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结0果不可靠。此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。