弯曲变形求解方法

课题第六章弯曲变形6-1弯曲变形概论62弯曲变形的求解 6.3提高弯曲变形刚度的措施需4课时教学 目的 要求了解挠度，转角的概念及挠曲线近似微分方程 掌握叠加法求梁的弯曲变形，求解梁挠曲线的挠度和转角教学 重点用叠加法求梁的挠度和转角教学 难点用叠加法求梁的挠度和转角编写日 期年 月 日教学内容与教学过程提示与补充1、工程中弯曲变形的实例2、研究变形的目的3、挠曲线、挠度的概念4、转角5、挠曲线的曲率表示式6、叠加法求挠度和转角例61 ,例62第六章弯曲变形6.1工程中的弯曲变形问题一、工程实例 车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产 生噪声，降低寿命，影响加工精度。 吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。二、研究变形目的 建立刚度条件，解决刚度问题 建立变形协调条件，解决超静定问题 为振动计算奠定基础。6.2挠曲线的微分方程一、概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁 的纵向对称面。挠曲线：在对称弯曲情况下，变形后 梁的轴线为xoy平面内的一条曲 线，此曲线称为挠曲线。 挠度：梁的任一截面形心的竖直位 移称为挠度。 挠曲线的方程式：w=f(x) 转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度9，称为截面 转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。tan 0dwdx=arctandw Idx丿 挠度w和转角e是度量弯曲变形的两个基本量。 挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角 为正。二、挠曲线的曲率表示式:纯弯曲:(a)横力弯曲：对细长梁而言，忽略剪力 Fs的影响1_ M (x)TO _ EI高等数学中对曲率的 定义及表达式|ds| _ p |dO|转化为dOdsdods_ M _ EI(c)(d)ds(dwdx(b)于是式(a)在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，(如图所示)，随着弧长S的增加，e也是增加的，即正增量ds对应的do也是正的，于是考虑符号后，式(c)可写成do_ m_d s _ EIdw tan O _ 一 dxdO dOdsdxdxddsdxdx 2dxI dxarctanI dxds =(dx J2 + (dw)2 = j 1 +注意到dodsdw 丫 Idx丿代入式（d）及:3 2 EI(e)d 2 w dx 2此式为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小 变形的情况下，梁的挠度w 一般都远小于跨度，挠曲线wfx）是一非常平坦的 曲线，转角e也是一个非常小的角度，于是式（e）中0 沁 tan 0 =（1，于是式（e）可写成(g)此式为挠曲线的近似微分方程。 6.3叠加法求梁的变形梁的挠曲线近似微分方程是在小变形，材料服从虎克定律的条件下导出的， 其挠度和转角与外何载成线性关系，因此在求解变形时，也可采用叠加法。当梁 同时作用几种荷载时，可以先分别求出每种简单荷载单独作用下梁的挠度或转角, 然后进行叠加，即得几种荷载共同作用下的挠度或转角，这种方法称为叠加法。各种常见简单荷载作用下梁的挠度和转角见表9 1，可备查用。例6-1悬臂梁同时受到均布荷载q和集中荷载F的作用（图940）, 用叠加法计算梁的最大挠度。设EIz为常数。I-图 9 40解由表91查得，悬臂梁在均布荷载作用下自由端B有最大挠度，其值悬臂梁在集中力F作用下自由端B有最大挠度，其值为因此，在荷载q和P共同作用下，自由端B处有最大挠度，其值为ql 4Fl3y 二 yq + yFmaxB B+C)8EI3EIZZ 6.4梁的刚度条件与提高梁刚度的措施一、梁的刚度条件在工程中，梁除了要满足强度条件外,还要满足刚度条件。梁的刚度条件max 1 -之间2001000 之间。式中许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在例6-2受力情况如图942a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力L _ 170 MPa,，材料的弹性模量为E二210 GPa,试校核梁的强度和刚度。(cJ -冥屮；;i55KN| ：二 WAc.-zZ-X1-iK7.55KN.图 9 42解(1)作梁的弯矩图(图942b)。由图可知：M 二147.55kNmmax(2)校核梁的强度。查型号为45a工字钢知,惯性矩I = 32240 cm4 ,抗弯截面系ZW = 1430cm3。Z梁内最大正应力max_ MmaxWz147.55 x 106、1_)N/mm2=103-18MPa 梁满足强度要求。(3)校核梁的刚度用叠加法计算梁跨中的挠度为5ql 4 Fl 3y _ y + y _+max 爲丿 p 384EI48EIZZ5 x 804 x 104 x 109(384x 210x 103 x 32240 x 10455 x 103 x 1012+48 x 210 x 103 x 32240 x 104)mm=18.5mmy 18.5max 二l 10000二0.00185 I1500 =0.002梁满足刚度要求。此梁安全。二、提高梁刚度的措施要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠提高刚度，可采用以下措施:1.增大梁的抗弯刚度增大抗弯刚度EI,可以减小最大挠度，从而提高梁的刚度，但对于同种材料（如钢材），E值相差不大，只有靠用E值较大的材料代替E值较小的材料，才能提高刚度。另一方面增大截面的惯性矩，可以提高梁的刚度，这就要选择合理截面形状。Iinn-LCciU、 z / zxL图 9 432.减小梁的跨长或改变梁的支座条件梁的跨长对梁的挠度影响很大，要降低挠度，就要设法减小梁的跨长，或跨长不变的情况下，增加梁的支座，例如图943b所示。也可以在条件许可的情况下，移动支座，例如图943c所示。3.改善荷载的分布情况在许可的情况下，适当的调整梁的荷载作用方式，可以降低弯矩，从而减梁的变形。例如，在简支梁跨中作用有集中力f时，最大挠度为ymax48 EI若将集中力改为均布荷载q,且F ql，则最大挠度为y，仅为max 384EI中力作用时的62。5%。