43习题课 (2)

4.3 4.3 任意角的三角函数任意角的三角函数 (三三)-)-习题课习题课yyyy年年M月月d日星期日星期W当角当角 的终边不在坐标轴上时，我们把的终边不在坐标轴上时，我们把MP,OM,AT都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线有向线段段由正弦、余弦、正切函数的定义有：由正弦、余弦、正切函数的定义有：MPyyry1sinOMxxrx1cosATOAATOMMPxytanyxoMPAT 的终边的终边一、复一、复 习习 回回 顾顾yxOyxOyxOyxOPPPPTTTTAAAAMMMM当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；变成一个点；xATOMMP、这几条与单位圆有关的有向线段这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线叫做角的正弦线、余弦线、正切线y当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在正切线不存在 深刻理解三角函数线的定义，定义中不仅定义了什深刻理解三角函数线的定义，定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角“的三的三角函数线的画法及角角函数线的画法及角的三角函数的函数值，体现了数的三角函数的函数值，体现了数形结合思想，以形结合思想，以“形形”说说“数数”1.利用三角函数线确定角的范围利用三角函数线确定角的范围yxo.|sin|cos|例例1.利用单位圆中的三角函数线，确定满足条件的利用单位圆中的三角函数线，确定满足条件的的的范围：范围：再利用图形确定再利用图形确定的范围的范围|sin|cos|分析分析:先作出先作出的角的角|sin|cos|解：作出单位圆如图解：作出单位圆如图所示所示的的角角在在0到到2之间有四个之间有四个：|sin|cos|,47,45,43,4(不包括边界不包括边界)的角如图示的角如图示即即,44|Znnn点评点评 (1)由特殊到一由特殊到一般是常见的探讨问题般是常见的探讨问题的方法；的方法；(2)数学美的体现之一：数学美的体现之一：结果简明结果简明21sin例例2：求适合求适合时时的取值范围的取值范围6xOB 12y 解：在图中作直线解：在图中作直线交单位圆于交单位圆于A、B两点，两点，则则过在直线过在直线AB上方的圆弧上任一点上方的圆弧上任一点P作作PMx.sinMP轴于M，则)(67262zkkk21sin由图可知由图可知故故的取值范围是的取值范围是23cos例例3.求适合求适合的的的取值范围的取值范围,23cos23x解解:作作直线直线与单位圆交于与单位圆交于A、B两点，连接两点，连接OA、OB，阴影部分便是角，阴影部分便是角 终边范围终边范围如图所示，终边在如图所示，终边在OA上的最小正角为上的最小正角为,661162终边在终边在OB上的最小正角为上的最小正角为角的集合为角的集合为,261162|zkkk点评点评 解题中，作解题中，作 是作余弦线，利用是作余弦线，利用三角函数线可求形如三角函数线可求形如f()m或或f()m的三角函数的角的的三角函数的角的范围范围32x(1)sincos1;(2)sintan.,20例例4.已知已知求证：求证：分析分析:建立坐标系，作出单位圆及正弦线、余弦线、建立坐标系，作出单位圆及正弦线、余弦线、正切线，根据图形证明正切线，根据图形证明 证明证明:如图所示，设如图所示，设的终边交单位圆的终边交单位圆于于P，作，作PMx轴，垂足为轴，垂足为M，过点，过点A(1，0)作作ATx轴，交轴，交的终边于的终边于T，则则sin=MP，cos=OM，tan=AT(1)在在OMP中，中，OM+MPOP，.1sincos2.利用三角函数线求解三角不等式利用三角函数线求解三角不等式,OPAOTAOPASSS扇形211.22OA MPOAOA AT1即2(2)连接连接PA，则，则.tansin即即.0,0yxsincosyxxyrrr则点评点评 (1)三角函数线是角三角函数线是角的三角函数值的几何意义，利用它来的三角函数值的几何意义，利用它来解决问题就是数形结合；解决问题就是数形结合；不利用图形，问题难以转化，容易出错不利用图形，问题难以转化，容易出错 (2)也可利用坐标定义解决如也可利用坐标定义解决如(1)，设，设终边上一点终边上一点P的坐标为的坐标为(x，y)，其中，其中).22yxr(其中其中22,xyxy即即.1cossin例例5.求函数求函数7tan().sin(360)4lg(2coscos0)xxyx的定义域的定义域7tan()sin(360)tan()sin44lg(2coscos0)lg(2cos1)xxxxyxxtan(),tan()44sin0,sin012cos10cos,22cos11cos1.xxxxxxxx 存在存在解：解：画出单位圆画出单位圆如图所示，如图所示，,21cos,0sinxx),(232Zkkxk由由得得)4tan(x.1cos x).(2zkkx 此时此时存在，由存在，由故定义域为故定义域为,232|Zkkxkx 求定义域问题求定义域问题,一般是解不等式一般是解不等式(组组)，注意利用三角函数线，即利，注意利用三角函数线，即利用单位圆的几何方法用单位圆的几何方法sinsin.coscos.tantan.coscos.tantanABCD 1、已知，那么下列命题成立的是（）若、是第一象限角，则若、是第二象限角，则若、是第三象限角，则若、是第四象限角，则练练 习习解析解析 用排除法利用单位圆中的三角函数线可判断用排除法利用单位圆中的三角函数线可判断答案答案 D0,4.sincoscot.coscotsin.cotsincos.cossincotABCD2、已知则下列各式中正确的是（）sintan.sintan.sintan.sintan.ABCD3、若 是第四象限的角，则和的大小关系是（）不确定2lg(3 4sin)yx 4、函数、函数 的定义域的定义域：