直线的点斜式方程

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程斜率斜率k k截距截距b b纵坐标纵坐标b b提示提示:(1)(1)正确正确.当直线的倾斜角为当直线的倾斜角为0 0时时,此时此时tan0tan0=0,=0,即即k=0,k=0,这时直线这时直线l与与x x轴平行或重合轴平行或重合,l的方程就是的方程就是y-yy-y0 0=0=0或或y=yy=y0 0.(2)(2)错误错误.距离和截距是两个不同的概念距离和截距是两个不同的概念,距离非负距离非负,而截距是而截距是一个数值一个数值,可正、可负、可为零可正、可负、可为零.(3)(3)正确正确.只能表示斜率存在的直线只能表示斜率存在的直线.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)【】00yyxx【解题探究】【解题探究】1.1.写直线的点斜式方程的两个前提条件是什么写直线的点斜式方程的两个前提条件是什么?2.2.垂直于垂直于y y轴的直线的斜率存在吗轴的直线的斜率存在吗?3.3.一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系?探究提示探究提示:1.(1)1.(1)已知一点已知一点P(xP(x0 0,y,y0 0).(2).(2)斜率必须存在斜率必须存在.2.2.垂直于垂直于y y轴的直线轴的直线,即与即与x x轴平行或重合的直线的斜率等于轴平行或重合的直线的斜率等于0.0.3.3.当直线的倾斜角当直线的倾斜角9090时时,直线的斜率直线的斜率k=tan.k=tan.【解析】【解析】1.1.由直线的点斜式方程得由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2),y-3=2(x+2),即即2x-y+7=0.2x-y+7=0.答案答案:2x-y+7=02x-y+7=02.2.直线垂直于直线垂直于y y轴轴,故其斜率为故其斜率为0,0,所以此直线方程为所以此直线方程为y=1.y=1.答案答案:y=1y=13.3.因为倾斜角为因为倾斜角为4545,所以直线斜率为所以直线斜率为tan45tan45=1,=1,由点斜式方由点斜式方程得程得y-5=x-2,y-5=x-2,即即y=x+3.y=x+3.【解析】【解析】斜率改为斜率改为k,k,则直线方程为则直线方程为y-3=k(x+2),y-3=k(x+2),直线直线y-3=y-3=k(x-5)k(x-5)中不论中不论k k取何实数取何实数,当当x-5=0,x-5=0,即即x=5x=5时时,y-3=0,y-3=0,故故y=3.y=3.所以所以y-3=k(x-5)y-3=k(x-5)一定过点一定过点(5,3).(5,3).【拓展提升】【拓展提升】求直线的点斜式方程的方法步骤求直线的点斜式方程的方法步骤 【】【解题指南】【解题指南】根据直线根据直线l与直线与直线y-3=-(x+2)y-3=-(x+2)平行平行,可得直线可得直线l的斜率的斜率,由点斜式可得直线由点斜式可得直线l的方程的方程.4343【解析】【解析】由于直线由于直线l与直线与直线y-3=-(x+2)y-3=-(x+2)平行平行,可得直线可得直线l的的斜率为斜率为-,-,又直线又直线l过点过点(6,4),(6,4),由直线的点斜式方程可得由直线的点斜式方程可得,直线直线l的方程为的方程为:y-4=-(x-6).:y-4=-(x-6).434343【解题探究】【解题探究】1.1.斜截式方程有怎样的基本形式斜截式方程有怎样的基本形式?2.2.已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角,如何求其斜率如何求其斜率?3.3.距离与截距有何区别距离与截距有何区别?探究提示探究提示:1.1.若直线的斜率为若直线的斜率为k,k,且在且在y y轴上的截距为轴上的截距为b,b,则直线的斜截式方则直线的斜截式方程为程为y=kx+b.y=kx+b.2.2.直线的斜率直线的斜率k=tan(k=tan(其中其中9090).).3.3.截距为直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标截距为直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标,截距可正截距可正,可负可负,也可以为零也可以为零,而距离为非负而距离为非负.距离指的是线段的长度距离指的是线段的长度.【解析】【解析】1.1.由直线的斜截式可知，所求直线的方程为由直线的斜截式可知，所求直线的方程为y=-x+1.y=-x+1.答案答案:y=-x+1y=-x+12.2.直线的倾斜角为直线的倾斜角为6060，所以斜率为，所以斜率为 ，直线方程为，直线方程为y=y=x-2.x-2.答案答案:y=x-2y=x-23.3.直线的倾斜角为直线的倾斜角为150150，所以斜率为，所以斜率为-，因为直线与，因为直线与y y轴的交点到原点的距离为轴的交点到原点的距离为3 3，所以在，所以在y y轴上的截距轴上的截距b=3b=3或或b=b=-3-3，故所求的直线方程为，故所求的直线方程为y=-x+3y=-x+3或或y=-x-3.y=-x-3.333333333【拓展提升】【拓展提升】直线的斜截式方程的求解策略直线的斜截式方程的求解策略(1)(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别同时要特别注意截距和距离的区别.(2)(2)直线的斜截式方程直线的斜截式方程y=kx+by=kx+b不仅形式简单，而且特点明显，不仅形式简单，而且特点明显，k k是直线的斜率，是直线的斜率，b b是直线在是直线在y y轴上的截距，只要确定了轴上的截距，只要确定了k k和和b b的的值，直线的图象就一目了然值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k k，b b的几何意义进的几何意义进行判断行判断.【】【解析】【解析】因为因为l1 1l,故直线故直线l的斜率为的斜率为-2,-2,又又l与直线与直线l2 2在在y y轴上的截距轴上的截距相同相同,故故l在在y y轴上的截距为轴上的截距为-3,-3,所以直线所以直线l的方程为的方程为y=-2x-3.y=-2x-3.【解题探究】【解题探究】1.1.题题1 1中的直线方程的形式是什么形式中的直线方程的形式是什么形式?2.2.利用该形式如何判断两直线垂直利用该形式如何判断两直线垂直?探究提示探究提示:1.1.斜截式方程斜截式方程.2.2.由斜截式方程中由斜截式方程中k,bk,b的几何意义及直线垂直的条件的几何意义及直线垂直的条件,建立关建立关于于a a的方程的方程(组组),),求出求出a a的值的值.【解析】【解析】1.1.因为因为l1 1l2 2,所以所以a a2 2-2=-1,-2=-1,且且2a2,2a2,解得解得a=-1,a=-1,所以所以a=-1a=-1时两直线平行时两直线平行.答案：答案：-1-12.2.由题意知，由题意知，k k1 1=2a-1=2a-1，k k2 2=4=4，因为，因为l1 1l2 2，所以，所以4(2a-1)=4(2a-1)=-1-1，解得，解得a=a=，所以，所以a=a=时，直线时，直线l1 1：y=(2a-1)x-5y=(2a-1)x-5与直线与直线l2 2：y=4x+8y=4x+8垂直垂直.3838【拓展提升】【拓展提升】两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定(1)(1)平行的判定平行的判定(2)(2)垂直的判定垂直的判定【】【解题指南】【解题指南】由两直线垂直，两直线的斜率之积等于由两直线垂直，两直线的斜率之积等于-1-1，可，可求得求得l的斜率，由斜截式方程得出在的斜率，由斜截式方程得出在y y轴上的截距，根据与直轴上的截距，根据与直线线y=3x+5y=3x+5在在y y轴上的截距相同，求出轴上的截距相同，求出a.a.12【解析】【解析】直线直线l与与y=-x+1y=-x+1垂直，所以直线垂直，所以直线l的斜率为的斜率为2 2；直线；直线l与直线与直线y=3x+5y=3x+5在在y y轴上的截距相同，所以直线轴上的截距相同，所以直线l在在y y轴上的截轴上的截距为距为5 5，故，故 解得解得a=-2.a=-2.122a222a95，【】【解析】【解析】因为因为l1 1l2 2，所以，所以a a2 2+1=2,a+1=2,a2 2=1=1，所以，所以a=a=1 1，又由于又由于l1 1l2 2，两直线，两直线l1 1与与l2 2不能重合，不能重合，则则3a33a3，即，即a1a1，故，故a=-1.a=-1.答案答案:-1-1【误区警示】【误区警示】【防范措施】【防范措施】1.1.等价条件的转化等价条件的转化一些题目中的等价转化是解决问题的关键一些题目中的等价转化是解决问题的关键,如本例中由两直线如本例中由两直线平行可转化为两直线的斜率相等平行可转化为两直线的斜率相等.2.2.特殊情况的处理特殊情况的处理在处理两直线平行问题时在处理两直线平行问题时,要注意两直线是否重合的情况要注意两直线是否重合的情况,如如本例中若忽略重合情况本例中若忽略重合情况,则会得则会得a=a=1 1的错误答案的错误答案.【】12【解析】【解析】选选C.C.因为因为l1 1l2 2,所以所以a a2 2-3=1,a-3=1,a2 2=4,=4,所以所以a=a=2 2，又由于又由于l1 1l2 2,两直线两直线l1 1与与l2 2不能重合，不能重合，则则 a1a1，即，即a2a2，故，故a=-2.a=-2.121.1.斜率为斜率为-2,-2,过点过点(3,-2)(3,-2)的直线方程是的直线方程是()A.y-2=-2(x-3)A.y-2=-2(x-3)B.y+2=-2(x-3)B.y+2=-2(x-3)C.y+2=-2(x+3)C.y+2=-2(x+3)D.y+2=2(x+3)D.y+2=2(x+3)【解析】【解析】选选B.B.由直线的点斜式知由直线的点斜式知,方程为方程为y+2=-2(x-3).y+2=-2(x-3).2.2.直线直线y=2x-3y=2x-3的斜率和在的斜率和在y y轴上的截距分别等于轴上的截距分别等于()A.2,3A.2,3 B.-3,-3 B.-3,-3C.-3,2C.-3,2 D.2,-3 D.2,-3【解析】【解析】选选D.D.直线直线y=2x-3y=2x-3为斜截式方程为斜截式方程,其中斜率为其中斜率为2,2,在在y y轴轴上的截距为上的截距为-3.-3.3.3.过点过点P(2,1),P(2,1),且倾斜角是直线且倾斜角是直线l:x-y-1=0-1=0的倾斜角的两倍的直的倾斜角的两倍的直线方程为线方程为()A.x-2y-1=0A.x-2y-1=0 B.x=2 B.x=2C.y-1=2(x-2)C.y-1=2(x-2)D.2x-y-1=0D.2x-y-1=0【解析】【解析】选选B.B.直线直线l:x-y-1=0:x-y-1=0即为即为y=x-1,y=x-1,所以斜率为所以斜率为1,1,倾斜角倾斜角为为4545,故所求直线的倾斜角为故所求直线的倾斜角为9090,直线方程为直线方程为x=2.x=2.4.4.纵截距为纵截距为-3-3且斜率为且斜率为-的直线方程为的直线方程为_._.【解析】【解析】由斜截式方程知直线方程为由斜截式方程知直线方程为y=-x-3.y=-x-3.答案答案:y=-x-3y=-x-31212125.(1)5.(1)求经过点求经过点(0,2),(0,2),且与直线且与直线l1 1:y=-3x-5:y=-3x-5平行的直线平行的直线l2 2的方的方程程.(2)(2)求经过点求经过点(-2,-2),(-2,-2),且与直线且与直线l1 1:y=3x-5:y=3x-5垂直的直线垂直的直线l2 2的方程的方程.【解析】【解析】(1)(1)由由l1 1:y=-3x-5:y=-3x-5得得k k1 1=-3=-3，由两直线平行知由两直线平行知k k2 2=k=k1 1=-3,=-3,所以所求直线方程为所以所求直线方程为y-2=-3x,y-2=-3x,即即3x+y-2=0.3x+y-2=0.(2)(2)由由l1 1:y=3x-5:y=3x-5得得k k1 1=3=3，由两直线垂直知由两直线垂直知k k1 1k k2 2=-1,=-1,所以所以k k2 2=-,=-,所以所求直线方程为所以所求直线方程为y+2=-(x+2),y+2=-(x+2),即即x+3y+8=0.x+3y+8=0.1313