数学建模第三版答案

数学建模第三版答案【篇一：数学模型第四版课后答案姜启源版】t第二章(1)（12月21日） 1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一种10人的委员会，试用下列措施分派各宿舍的委员数： （1）. 按比例分派取整数的名额后,剩余的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值措施； （3）.dhondt措施：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分派的席位.你能解释这种措施的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种措施再分派名额，将3种措施两次分派的成果列表比较. 解：先考虑n=10的分派方案， p1?235,p2?333,p3?432,措施一（按比例分派）q1? ?p i?1 3 i ?1000. p1n ?p i?1 3 ?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3 ?3.33, q3? p3n i ?p i?1 3 ?4.32 i 分派成果为： n1?3, n2?3, n3?4 措施二（q值措施） 9个席位的分派成果（可用按比例分派）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1?9204.17, q2?9240.75, q3?9331.2 2?33?44?5 q3最大，第10个席位应给c.分派成果为 n1?2,n2?3,n3?5 措施三（dhondt措施） 此措施的分派成果为：n1?2,n2?3,n3?5 此措施的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑n?15的分派方案，类似地可得名额分派成果.现将3种措施两次分派的成果列表如下： 2 试用微积分措施，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t?t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t vdt?2?k?(r?wkn)dn n 2?rk?wk22n2 2vv 数学模型作业解答 第三章1（10月14日） 1. 在3.1节存贮模型的总费用中增长购买货品自身的费用,重新拟定最优订货周期和订货 批量证明在不容许缺货模型中成果与本来的同样，而在容许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比本来成果减少 解：设购买单位重量货品的费用为k,其他假设及符号商定同课本 10 对于不容许缺货模型，每天平均费用为： c(t)? c1c2rt?kr t2 ccrdc ?12?2 dt2t 令 dc ?0 ， 解得 t*?dt 2c1 c2r2c1r c2 由q?rt ， 得q?rt? 与不考虑购货费的成果比较，、的最优成果没有变 20 对于容许缺货模型，每天平均费用为： 1 c(t,q)? t ?c2q2c32c?(rt?q)?kq?1? 2r2r? c1c2q2c3rc3q2kq?c ?2?2 22?t2t2rt2rtt cqk?cc2q ?c3?3? ?qrtrtt ?c ?0?t 令? ， 得到驻点： ?c ?0?q ? ? ?q? t? ? 2c1c2?c3k2 ? rc2c3c2c3 2 2 c3kr2c1rc3kr ? c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c3 与不考虑购货费的成果比较，、的最优成果减少 2建立不容许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r， k?r在每个生产周期内，开始的一段时间?0?t?t0?一边生产一边销售，后来的 一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目的拟定最优生产周期，讨论k?r和k?r的状况. 解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下： t (k?r)t0?t 2 贮存费为 c2lim ?t?0 ?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2 i?1 又? (k?r)t0?r(t?t0) ?t0? rr(k?r)t?tt , ? 贮存费变为c2? k2k 于是不容许缺货的状况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 c1c2r(k?r)t2c1r(k?r)t ?c2c(t)? t2ktt2k cdcr(k?r)?12?c2. dt2ktdc ?0 ,得t?dt ? 令 2c1k c2r(k?r) 2c1k c2r(k?r) 易得函数c(t)在t处获得最小值，即最优周期为： t? 当k?r时，t ? ? 2c1 . 相称于不考虑生产的状况. c2r当k?r时，t ? ? .此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（10月16日） 3在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一种合理的函数关系，重新求解模型. 解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下假设: ?(b)? k ， b?1 中的1是避免b?0时?而加的. 分母b?1 c1?t12c1?2t12(b?1)c2?t1x(b?1) 总费用函数c?x?c3x 22(kx?b?)kx?b? 最优解为 x? ckb 1 2 ?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)? ? 2 k2c3k 5在考虑最优价格问题时设销售期为t，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设 q(t)?q0?t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售 期分为0?t?t 和t ?t?t两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值， 使销售期内的总利润最大.如果规定销售期t内的总售量为q0，再求p1,p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为 ?a?bp1,0?t? x? ta?bp2,?t?t? 又? q(t)?q0?t.于是总利润为 ?(p1,p2)? t ?p1?q(t)?(a?bp1)dt?t?p2?q(t)?(a?bp2)dt t t?2?2? =(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?t 2?2?02 p1tq0t?t2p2tq0t3?t2 ?)?(a?bp2)(?) =(a?bp1)(228228【篇二：数学建模习题及答案课后习题】1. 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生 们要组织一种10人的委员会，试用下列措施分派各宿舍的委员数： （1）按比例分派取整数的名额后，剩余的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的q值措施。 （3）dhondt措施：将a，b，c各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，?相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分派的席位。你能解释这种措施的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种措施再分派名额。将3种措施两次分派的成果列表比较。 （4）你能提出其她的措施吗。用你的措施分派上面的名额。 2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。例如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，两者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例措施构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格c与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其她成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，尚有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，阐明w越大c越小，但是随着w的增长c减少的限度变小。解释实际意义是什么。 3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量予以奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的措施。假定鱼池 4. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，规定布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角?应多大（如图）。若懂得管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其她形状呢。 1 5. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列措施，使加工 出尽量多的圆盘。 6. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在某些合理、简化的假设下 建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。 7. 举重比赛按照运动员的体重分组，你能在某些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重 之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检查你的模型。 第一部分 课后习题答案 1. 按照题目所给措施（1），（2），（3）的席位分派成果如下表：2. （1）生产成本重要与重量w成正比，包装成本重要与表面积s成正比，其他成本也 涉及与w和s成正比的部分，上述三种成本中都具有与w，s均无关的成分。又由于 2形状一定期一般有s?w2/3，故商品的价格可表为c?w?w2/3?（?,?,?为不小于0的常数）。 （2）单位重量价格c? cw ?w ?1/3 ?w ?1 ，其简图如下： 显然c是w的减函数，阐明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，阐明单价的减少值随着包装的变大是逐渐减少的，不要追求太大包装的商品。 3. 对于同一种鱼不妨觉得其整体形状是相似的，密度也大体上相似，因此重量w与身 长l的立方成正比，即w?k1l3，k1为比例系数。 常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定承认上述模型，由于它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 w?k2dl，k2为比例系数。 2 运用数据估计模型中的系数可得k1=0.014，k2=0.0322，将实际数据与模型成果比较如下表： 4. 将管道展开如图： 可得w?dcos?，若d一定，w趋于0，?趋于?/2；w趋于?d，?趋于0。若管道 3长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为?dl/w，若考虑两端影响，则应加上?dw/sin?。对于其他形状管道，只需将?d改为相应的周长即可。 5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板 材之间均可相切。 方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为n1=a/2b/2 方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）3?a，于是m=? ?a?2? ?1 ?3? 图1 图2 列数（按图2第1行计数）n满足：若b为奇数，则各行圆盘数相似为（b-1）/2；若b为偶数，则奇数行圆盘数为b/2，偶数行圆盘数为b/2-1。 圆盘总数为n2 m(b?1)/2(1)? ? m(b?1)/2?1/2(2)? 其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，b为偶数。 两个方案的比较见下表(表中数字为n1/n2)：当a其他方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。 6. 假设处在静止状态的动物的饲养食物量重要用于维持体温不变，且动物体内热量重要 通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积s与某特性尺寸l之间的关系是 s?l，因此饲养食物量w?l。 2 2 7. 假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积s?l（l是某特性 4 2尺寸），体重w?l3，于是y?w2/3。 用举重总成绩检查这个模型，成果如下图3；如果用举重总成绩拟合y?w?，可得 ?=0.57，成果如下图4。图3 图4 第二部分 课后习题 1. malthus模型预测的优缺陷。 2. 阻滞增长模型预测的优缺陷。 3. 简述动态模型和微分方程建模。 4. 按照你的观点应从那几种方面来建立传染病模型。 5. 论述leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。 6. 试比较持续形式的阻滞增长模型 (logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散 形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。 第二部分 课后习题答案 1. 长处: 短期预报比较精确; 缺陷: 不适合中长期预报; 因素: 预报时假设人口增长率为常 数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。 2. 长处: 中期预报比较精确; 缺陷: 理论上较好，实用性不强; 因素: 预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。事实上这两个参数很难拟定，并且会随着社会发展状况变 化而变化。 3. 动态模型: 描述对象特性随时间(空间)的演变过程, 分析对象特性的变化规律, 预报对象 特性的将来性态, 研究控制对象特性的手段；微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系拟定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。 4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 避免 传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析措施建立模型。 5【篇三：数学模型课后答案】t第二章(1)（12月21日） 1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一种10人的委员会，试用下列措施分派各宿舍的委员数： （1）. 按比例分派取整数的名额后,剩余的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值措施； （3）.dhondt措施：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分派的席位.你能解释这种措施的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种措施再分派名额，将3种措施两次分派的成果列表比较. 解：先考虑n=10的分派方案， p1?235,p2?333,p3?432,措施一（按比例分派）q1? ?p i?1 3 i ?1000. p1n ?p i?1 3 ?2.35,q2? p2n i ?p i?1 3 ?3.33, q3? p3n i ?p i?1 3 ?4.32 i 分派成果为： n1?3, n2?3, n3?4 措施二（q值措施） 9个席位的分派成果（可用按比例分派）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1?9204.17, q2?9240.75, q3?9331.2 2?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分派成果为 n1?2,n2?3,n3?5 措施三（dhondt措施） 此措施的分派成果为：n1?2,n2?3,n3?5 此措施的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑n?15的分派方案，类似地可得名额分派成果.现将3种措施两次分派的成果列表如下： 2 试用微积分措施，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t?t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t vdt?2?k?(r?wkn)dn n 2?rk?wk22n2 2vv 数学模型作业解答 第三章1（10月14日） 1. 在3.1节存贮模型的总费用中增长购买货品自身的费用,重新拟定最优订货周期和订货 批量证明在不容许缺货模型中成果与本来的同样，而在容许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比本来成果减少 解：设购买单位重量货品的费用为k,其他假设及符号商定同课本 10 对于不容许缺货模型，每天平均费用为： c(t)? c1c2rt?kr t2 ccrdc ?12?2 dt2t 2c1 c2r2c1r c2 令 dc ?0 ， 解得 t*?dt ? ? 由q?rt ， 得q?rt? 与不考虑购货费的成果比较，、的最优成果没有变 20 对于容许缺货模型，每天平均费用为： 1 c(t,q)? t ?c2q2c32c?(rt?q)?kq?1? 2r2r? c1c2q2c3rc3q2kq?c ?2?2 22?t22rtt2rtt cqk?cc2q ?c3?3? ?qrtrtt ?c ?0?t 令? ， 得到驻点： ?c ?0?q ? ? ?q? t? ? 2c1c2?c3k2 ? rc2c3c2c3 2 2 c3kr2c1rc3kr ? c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c3 与不考虑购货费的成果比较，、的最优成果减少 2建立不容许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r， k?r在每个生产周期内，开始的一段时间?0?t?t0?一边生产一边销售，后来的 一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目的拟定最优生产周期，讨论k?r和k?r的状况. 解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下： t k?r)t0?t 2 贮存费为 c2lim ?t?0 ?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2 i?1 又? (k?r)t0?r(t?t0) ?t0? rr(k?r)t?t t , ? 贮存费变为c2? k2k 于是不容许缺货的状况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 c1c2r(k?r)t2c1r(k?r)t ?c2c(t)? t2ktt2k cdcr(k?r) . ?12?c2 dt2kt 令 dc ?0 ,得t?dt 2c1k c2r(k?r) ? ? 易得函数c(t)在t处获得最小值，即最优周期为： t? 2c1k c2r(k?r) 当k?r时，t ? ? 2c1 . 相称于不考虑生产的状况. c2r当k?r时，t ? ? .此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（10月16日） 3在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一种合理的函数关系，重新求解模型. 解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下假设: ?(b)? k ， b?1 中的1是避免b?0时?而加的. 分母b?1 c1?t12c1?2t12(b?1)c?tx(b?1) ?21?c3x 总费用函数c?x?22(kx?b?)kx?b? 最优解为 x? ckb 1 2 ?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)? ? 2 k2c3k 5在考虑最优价格问题时设销售期为t，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设 q(t)?q0?t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售 期分为0?t?t 和t ?t?t两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值， 使销售期内的总利润最大.如果规定销售期t内的总售量为q0，再求p1,p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为 t?a?bp1,0?t? x? ta?bp2,?t?t? 又? q(t)?q0?t.于是总利润为 ?(p1,p2)? t ?p1?q(t)?(a?bp1)dt?t?p2?q(t)?(a?bp2)dt t t?2?2? =(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?t 2?2?02 p1tq0t?t2p2tq0t3?t2 ?)?(a?bp2)(?) =(a?bp1)(228228