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第1讲 找规律一、知识要点按照一定顺序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2，4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并根据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从持续的几种数中找到规律，那么就可以懂得其他所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的核心。二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（ ），（ ）（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）（3）2，6，18，54，（ ），（ ）练习1：在括号内填上合适的数。（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）（3）2，8，32，128，（ ），（ ）（4）1，5，25，125，（ ），（ ）（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）练习2：按规律填数。（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）（5）1，2，5，14，（ ），（ ）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）练习3：按规律填数。（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入合适的数。510914712111691413（1）9327124363612 （3）练习4：找出排列规律，在空缺处填上合适的数。37598121014121614（1）8416168323216645151272118927（3）【例题5】按规律填数。（1）187，286，385，（ ），（ ）23312541412346433524（2）练习5：根据规律，在空格内填数。（1）198，297，396，（ ），（ ）32543864214526653257（2）37253895234527753425（3）第2讲 有余除法一、知识要点把某些书平均分给几种小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会浮现什么状况呢？一种是所有分完，尚有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。解此类题的核心是要先拟定余数，如果余数已知，就可以拟定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须不不小于除数；（2）被除数商除数余数。二、精讲精练【例题1】 68 ，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是_，根据_，余数可填_.根据_，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为68553，最小的被除数为_。列式如下：_答：被除数最大是53，最小是_。练习1：(1)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。 83 (2)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。 47 (3)下题中要使除数最小，被除数应为_。 124【例题2】算式 8 中，被除数最小是几？【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为_，那么除数则为_。根据这些，我们就可求出被除数最小为：8_。练习2：(1)下面算式中，被除数最小是几？ 4 7 9(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ 3 6(3)算式 8 中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？【例题3】算式28 4中，除数和商分别是_和_。【思路导航】根据“被除数商除数余数”，可以得知“商除数被除数余数”，因此本题中商除数28424。这两个数也许是1和24，_和_，_和_，_和_，又由于余数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为_，_，_，_。 _答：除数和商分别是24，1；_，_；_，_；_，_。练习3：(1)下面算式中，除数和商各是几？22 4 65 237 7 48 6(2)149除以一种两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。_(3)算式 4 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？_【例题4】算式 7 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，由于余数必须比除数小，因此余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。7118 72216 7332474432 75540 76648答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。练习4：(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 6 5 4 3 (2)一种三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。(3) 算式 9 中，商和余数相等，被除数最大是_。【例题5】算式 4中，除数和商相等，被除数最小是几？【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等，由于余数必须比除数小，因此除数必须比4大，但其中规定最小的被除数，因而除数应填_，商也是_。由算式_，因此被除数最小是_。练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？(1) 6 (2) 8(3) 3 (4) 9(5) 7第3讲 配对求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的措施又快又好地算出了1+2+3+4+99+100的成果。小高斯是用什么措施算得这样快呢？本来，她用了一种简便的措施：先配对再求和。数列的第一种数（第一项）叫首项，最后一种数（最后一项）叫末项，如果一种数列从第二项起，每一项与前一项的差是一种不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用如下关系式：等差数列的和（首项末项）项数2末项首项公差（项数1）项数（末项首项）公差1二、精讲精练【例题1】你有好措施算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10（）练习1：速算。(1) 1+2+3+4+5+20 (2) 1+2+3+4+99+100(3) 21+22+23+24+100【例题2】计算。(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，后来每个数比前一种数大4,最后一种数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一种钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。练习4：计算。(1) 95+96+97+98+99 (2) +(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19(3) -1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16第4讲 加减巧算一、知识要点在进行加减运算时，为了又快又好，除了要纯熟地掌握计算法则外，还需要掌握某些巧算的措施。加减法的巧算重要是运用“凑整”的措施，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行解决。此外，可以结合加法互换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。二、精讲精练【例题1】你有好措施迅速算出成果吗？(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9练习1：计算。(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617【例题2】计算。(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264(3) 877+345-677 (4) 528-248-152练习2：计算。(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)【例题3】计算下面各题。(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)练习3：计算。(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)【例题4】-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84练习4：计算。(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87-4-3+2+1练习5：计算。(1) +1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14+(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99第5讲 图形个数一、知识要点同窗们，你想学会数图形的措施吗？要想不反复也不漏掉地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有顺序、有条理地数，从中发现规律，以便得到对的的成果。要对的数出图形的个数，核心是要从基本图形入手。一方面要弄清图形中涉及的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形构成的新的图形，并求出它们的和。二、精讲精练【例题1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】措施一：我们可以采用以线段左端点分类数的措施。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。因此，图中共有线段3+2+1=6（条）。措施二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。因此，图中一共有3+2+1=6（条）线段。练习1：（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几种长方形？【例题2】数出图中有几种角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相似的措施来数。措施一：以OA为一边的角有：AOB、AOC、AOD 3个；以OB为一边的角尚有：BOC、BOD 2个；以OC为一边的角尚有：COD 1个。因此，图中共有角3+2+1=6（个）。措施二：把图中AOB、BOC、COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：AOB、BOC、COD 3个；由2个基本角构成的角有: AOC、BOD 2个；由3个基本角构成的角有：AOD 1个。因此，图中一共有3+2+1=6（个）角。练习2：数出图中有几种角？（1） （2）【例题3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】措施一：我们可以采用按边分类数的措施。以PA为边的三角形有：PAB、PAC、PAD、3个；以PB为边的三角形尚有：PBC、PBD 2个；以PC为边的三角形尚有：PCD 1个。因此，图中共有三角形3+2+1=6（个）。措施二：把图中三角形 PAB、PBC、PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：PAB、PBC、PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: PAC、PBD 2个；由3个基本三角形构成的三角形有：PAD 1个。因此，图中一共有3+2+1=6（个）三角形。措施三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中涉及几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。因此图中共有6个三角形。练习3：数出图中共有多少个三角形？（1） （2）【例题4】数出下图中有多少个长方形？【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的措施同样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段相应，分别作为长方形的长和宽，这里共有61=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有63=18（个）长方形。它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数宽边线段的总数（3+2+1）（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。 练习4：（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？【例题5】有5个同窗，每两个人握手一次，一共要握手多少次？【思路导航】这道题可以用数线段的措施来解答。根据题意，画出线段图，每一种端点代表一种同窗。从图上可以看出，第1个同窗要与其他4个同窗握手共握手4次；第2个同窗还要与其他3个同窗握手共握手3次，第3个同窗要与其他2个同窗握手共握手2次；第4个同窗还要与最后1个同窗握手共握手1次。因此，一共要握手4+3+2+1=10（次）练习5：（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能构成多少个不同的两位数？第6讲 植树问题一、知识要点爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，后来每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。”同窗们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们一般称为“植树问题”。解答此类问题的核心是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长1；在封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长。此外，生活中尚有某些问题，可以用植树问题的措施来解答。例如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的核心是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”相应起来。二、精讲精练【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，后来每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】要得出对的的成果，我们可以画出如下的示意图：根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米，因此第一棵和第九棵相距38=24（米），具体列式如下： 3（9-1） =38=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。练习1：（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？(3) 在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一种气球，一共可以挂多少个气球？【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了142=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大路平均提成6段，每段是426=7（米）。列式如下： 42（142-1）=42（7-1）=426 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。练习2：(1)在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？(2)在一条长32米长的公路一侧插彩旗，从起点到终点共插了5面，相邻两面旗之间距离相等，相邻两面旗之间相距多少米？(3）有一根木料，要锯成8段，每锯开一段需要2分钟，所有锯完需要多少分钟？【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？【思路导航】我们先求出钢管被锯开了284=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。列式如下： 284+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。 练习3： (1)一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？ （2）一根木料，要锯成4段，每锯开一处要5分钟，所有锯完要多少分钟？（3）小明爬楼梯，每上一层要走12级台阶，一级台阶需走2秒，小明从一楼到四楼共要走多少时间？【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙正好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，由于第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到4楼时，乙正好跑到3楼”，事实上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相似。”照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是她跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即她跑到了第10+1=11（楼）。列式如下： （3-1）（16-1）（4-1）+1 =25+1 =11（楼）答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。练习4：(1)小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？ (2)有两名同窗比赛爬楼梯，1号跑到第六层时，2号跑到了第九层，当1号跑到第十一层时，2号应爬到几楼？ (3)甲的爬楼速度是乙的2倍，当乙爬到第六层时，甲爬到第几层？【例题5】一种圆形跑道长300米，沿跑道周边每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周边各插了多少面红旗和黄旗？【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于提成的段数，因此插了红旗3006=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，因此黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。 3006=50（面） 答：跑道周边插了50面红旗和50面黄旗。练习5：（1）有一种正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周边每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周边一共装了几盏红灯？几盏黄灯？（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？ (3)有一种圆形花圃，周长是30米，每隔3米栽一棵月季花，每两棵月季只见在一棵兰花。花圃周边栽了多少棵月季？多少棵兰花？第7讲 简朴推理一、知识要点数学课上，教师布置了一道题：=28 = =（ ） =（ ）要得出对的的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪颖，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答此类推理题时，规定小朋友仔细观测，认真分析等式中几种图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再运用等量代换、消去等措施来进行解答。二、精讲精练【例题1】下式中，和各代表几？ =28 = =（ ） =（ ）【思路导航】根据=28，我们可以得出=28；由=得到28=，4个等于28，一种等于284=7；由=可求出=777=21。练习1：1=18 = =（ ） =（ ）2=25 = =（ ） =（ ）3=36 = =（ ） =（ ）【例题2】下式中，和各代表几？ =36 =4 =（ ） =（ ）【思路导航】根据=4可知为一份，是这样的4份，即=4；又根据=36，可以得到4=36，即=9，进一步得到=3，=4=43=12。练习2：1和各表达几？ =16 =4 =（ ） =（ ）2想想，填填。 =20 = =（ ） =（ ）3和各代表几？= =16 =（ ） =（ ）【例题3】下式中，和各代表几？ =16 =14 =（ ） =（ ）【思路导航】16里面有2个，1个；14里面有1个，2个，16减去14等于2，即=2，那么如果把换成了，则16需要加上2，即=162，那么=（162）3=6，=1662=4。练习3： 1=38 =22 =（ ） =（ ）2=52 =48 =（ ） =（ ）3=10 =12 =12 =（ ） =（ ） =（ ）【例题4】下式中，和各代表几？ =34 =48 =（ ） =（ ）【思路导航】34里面有2个、3个，48里面有3个、4个，用48减去34得到=14，34中有2个（）及1个。因此，=34142=6，=（3463）2=8。练习4：1=24 =36 =（ ） =（ ）2=54 =76 =（ ） =（ ）3=96 =123 =（ ） =（ ）【例题5】下式中，、和各代表几？ = = =80 =（ ） =（ ） =（ ）【思路导航】由于2个等于3个，3个又等于4个，因此2个等于4个，那么1个等于2个。在=80中，2个可以用1个替代，就变为=80，而2个又可以用3个替代，也就是=80，因此=20，=2032=30，=2034=15。练习5：1= = =100 =（ ） =（ ） =（ ）2= = =40 =（ ） =（ ） =（ ）3= = =320 =（ ） =（ ） =（ ）第8讲 算式谜一、知识要点一种完整的算式，缺少几种数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。解算式谜的思考措施是推理加上尝试，一方面要仔细观测算式特性，由推理能拟定的数先填上；不能拟定的，要分几种状况，逐个尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。二、精讲精练【例题1】在下面算式的内，填上合适的数字，使算式成立。 答案：【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数也许是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）练习1：在里填上合适的数，使算式成立。【例题2】里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能是1，这样拟定商的十位为1，最后被除数十位上的数为。练习2：在里填上合适的数，使算式成立。 【例题3】在下面竖式的里，各填入一种合适的数字，使算式成立。答案：【思路导航】规定里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易懂得，被除数的十位数字比7大，只也许是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。因此，这道题有三种填法（见上页）。练习3： 里可以填哪些数字？【例题4】在下面竖式的里，各填入一种合适的数字，使算式成立。 答案：【思路导航】通过观测，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个位上应填7；由于商是4时是除尽的，因此被除数十位上应为2，同步，因而除数也许是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商的百位上为0，商的千位是8或3，因此一共有两种填法（见上）。练习4：在下面竖式的里，各填入一种合适的数字，使算式成立。【例题5】在下面中填入合适的数，使算式成立。 答案：【思路导航】通过观测，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。（填法见上）练习5：在下面中填入合适的数，使算式成立。第9讲 乘法速算一、知识要点我们已经学会了整数乘法的计算措施，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其实，多位数与某些特殊的数相乘，也可以用简便的措施来计算。计算乘法时，如果一种因数是25，另一种因数考虑可拆成4几，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的措施，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。例如两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。”二、精讲精练【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？（1）2611 （2）5711 （3）25311 （4）46711 【思路导航】通过计算、观测可以发现，一种数与11相乘，所得的成果就是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位，哪一位上满十就向前一位进一。（1）2611=286 （2）5711=627 （3）25311=2783 （4）24711=2717练习1：不久算出下面各题的成果。（1）1211 （2）3411 （3）2511 （4）1144 （5）4811 （6）6511 （7）1175 （8）8711（9）12411 （10）30511 （11）43911 （12）87211【例题2】下面的乘法计算有规律吗？（1）2524 （2）2125 （3）25427 （4）199825【思路导航】由于254=100，因此，一种数与25相乘，我们就看这个数里有几种4，有几种4就有几种100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。（1）2524=1006=600 （2）2125=1005+25=525 （3）25427=100106+75=10600+75=10675（4）199825=100499+50=49900+50=49950练习2：速算。（1）1225 （2）3425 （3）25121 （4）2546 （5）14825 （6）64325 （7）257252 （8）567825【例题3】不久算出下面各题的成果。（1）2415 （2）24815 （3）567815 【思路导航】由于15=10+5，那么2415就可以写成24（10+5），也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用3610=360。一种因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：（1）2415 （2）24815 （3）567815 =（24+12）10 =（248+124）10 =（5678+2839）10 =3610 =360 =37210 =3720 =851710 =85170 练习3：不久算出下面各题的成果。（1）3415 （2）43615 （3）847215【例题4】不久算出下面各题的成果。（1）459 （2）3299 （3）78999【思路导航】（1）我们可以先用4510=450，这样就多加了一种45，因此我们还要从450中减去1个45，即450-45=405。（2）我们可以先用32100=3200，这样就多加了一种32，因此我们还要从3200中减去1个32，即3200-32=3168。（3）我们可以先用781000=78000，这样就多加了一种78，因此我们还要从78000中减去1个78，即78000-78=77922。从上面几题可以看出，一种数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一种数与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一种数与999相乘，就用这个数乘以1000，再减去这个数。（1）459 （2）3299 （3）78999 =4510-45 =32100-32 =781000-78 =450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922 练习4：计算。（1）329 （2）4619 （3）12349（4）4599 （5）8599 （6）72899（7）24999 （8）3999 （9）56999【例题5】下面的乘法计算有规律吗？（1）1515 （2）2525 （3）3535（4）4545 （5）6565 （6）9595【思路导航】通过计算我们发现，个位是5的两个相似的两位数相乘，积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积，例如：我们还可以发现，这种措施还合用于个位是5的两个相似的多位数相乘的计算。练习5：速算。（1）5555 （2）7575 （3）8585（4）105105 （5）125125 （6）995995第10讲 添运算符号一、知识要点 根据题目给定的条件和规定，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究措施，一旦掌握措施，就有获得成功的把握。添运算符号问题，一般采用尝试摸索法。重要尝试措施有两种：1如果题目中的数字比较简朴，可以从等式的成果入手，推想哪些算式能得到这个成果，然后拼凑出所求的式子；2如果题目中的数字多，成果也较大，可以考虑先用几种数字凑出比较接近于等式成果的数，然后再进行调节，使等式成立。一般状况下，要根据题目的特点，选择措施，有时将以上两种措施组合起来使用，更有助于问题的解决。二、精讲精练【例题1】在下面各题中添上、（ ），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从成果10想起，最后一种数是5，可以从下面几种状况中想：5=10，5=10，5=10，5=10。（1）从5=10考虑，=5，前4个数必须构成得数是5的算式有：（12）345=10 （12）345=10（2）从5=10考虑，=15，前4个数必须构成得数是15的算式有：12345=10（3）从5=10考虑，=2，前4个数必须构成得数是2的算式有： （1234）5=10 （1234）5=10（4）从5=10考虑，=50，前面4个数必须构成得数是50的算式，而前面4个数无法构成得数是50的算式。练习1：1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？ （1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 102在下面各数中添上合适的运算符号，使等式成立。（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 83巧添运算符号，使等式成立。（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3【例题2】拿出都是8的四张牌，添上、或（ ），使等式成立。你能试一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：（1）等于0的思考措施：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以提成两组，这两组的和、差、积、商应当相等，有：88（88）=0 8888=0 88（88）=0 8888=0（2）等于1的思考措施：假设最后一步是除法，那么四个数提成两组，这两组的和、积、商分别相等，相似的数相除也可得到1，有：（88）（88）=1 88（88）=1 88（88）=1 8888=1 8888=1 8（888）=1（3）等于2的思考措施：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：8888=2（4）等于3的思考措施：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：（888）8=3练习2：1.在各数中添上、或（ ），使算式相等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 52.巧添多种运算符号和括号，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 33.用8个8构成5个数，再添上合适的运算符号，使它们的和是1000。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000【例题3】在4个4之间添上、或括号，使构成的得数是8。4 4 4 4 = 8【思路导航】此类问题，我们可以用倒推措施来分析。这道题最后得数是8，而最后一种数是4，我们可以想4=8，4=8，4=8，4=8，然后再进行解答。（1）从4=8考虑，=4，前面3个4必须构成得数是4的算式有：4444=8 4444=8 4（44）4=8（2）从4=8考虑，=12，前3个4必须构成得数是12的算式有：4444=8 4444=8（3）从4=8考虑，=2，前面3个4必须构成得数是2的算式有：（44）44=8（4）从4=8考虑，=32，前3个4必须构成得数是32的算式有：（44）44=8 4（44）4=8练习3： 1你能在下面数中填上、，使成果等于已知数吗？答（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 102在下面数中填上、或（ ），使算式成立。答（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 93在下面几种数中填上、或（ ），使等式成立。答（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6【例题4】在下面12个5之间添上、，使算式成立。 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000【思路导航】这道题的成果比较大，那我们就要尽量想出某些大的数来，使它与1000比较接近，如：555555=1110这个数比1000大了110，然后我们在剩余的6个5中凑出110减掉就可以了。 555555555555=1000练习4：1.用12个3构成8个数，它们的成果等于。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2.在9个2之间添上运算符号，使成果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 10003.用7个6构成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600【例题5】在下面式子中合适的地方添上、号，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在等号左边最后两个数字2、1前添，这时我们必须使前面几种数字的成果为0，然后再用倒推的措施可以得出：9876543=0 987654321=21练习5：1在下面算式中合适的地方添上、号，使等式成立。9 8 7 6 5 4 3
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