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第二章 流体静力学2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa，求距地面100m和1000m高空处的压力。答：取空气密度为，并注意到。（1）100米高空处：（2）1000米高空处：2-2 如果海面压力为一种工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承受海水的压力分别为多少？答：取海水密度为，并注意到所求压力为相对压力。（1）当水深为50米时：。（2）当水深为500米时：。（3）当水深为5000米时：。2-3试决定图示装置中A，B两点间的压力差。已知：，；酒精重度，水银重度，水的重度。答：设A，B两点的压力分别为和，1,2,3,4各个点处的压力分别为，和。根据各个等压面的关系有：，；整顿得到：，2-4有闸门如图所示，其圆心角，转轴位于水面上。已知闸门宽度为B，半径为R，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角。答：（1）求水平分力由于，则；。因此：。（2）求垂向分力其中：，因此。（3）求合力合力大小：；合力方向：，。2-5设水深为，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。（1）抛物线：，（为常数）；（2）正弦曲线：，（，为常数）。答：（1），为常数。水平分力：；其中，；因此。垂直分力：；其中，而，并注意到，于是得到：。因此，。（2），（，为常数）。水平分力：。垂直分力：；其中，而，并注意到，于是得到：因此，。2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度（N/m3），水渠左壁为的直线，右壁为的抛物线。答：（1）水渠左壁面受力采用平板公式计算作用力大小：；作用力方向：垂直作用于平板OA，并指向OA。作用点：，其中，。因此，；。采用柱面公式计算水平分力：；垂直分力：；合力：。（2）水渠右壁面受力水平分力：；垂直分力：；而，；因此。合力：。2-7 一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。若该容器以等角速度绕其中心轴转动，设r=0，z=h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。答：（1）作用于筒内流体的质量力涉及两项：第一项：与坐标方向相反的重力，重力加速度为；第二项：沿坐标方向的离心力，离心加速度为。因此单位质量力为：，其中：、分别为、方向的单位向量。（2）对于静止流体微分方程：，其中压力梯度：；将质量力和压力梯度代入，则得到：；比较方程两端，则得到：，。（3）压力的全微分：，将和代入其中，有：；将上式两端同步积分，得到：，其中为常数。将条件、时代入上式，则得到：。即流体内部的压力分布为：；又由于在自由表面上：，代入到上述压力分布式中，则得到：；该式便是筒内流体的自由面方程。2-8底面积aa=200200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg，水的高度为h=150mm，容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H。答：（1）求水平加速度：建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为。设容器内水的质量为，容器和水的总质量为，则：（kg），（kg）。由牛顿第二定律：，其中为摩擦系数，则水平加速度为：。（2）求作用于流体上的单位质量力：单位质量力为：。代入到静止流体平衡微分方程中，有：；比较方程两端，可以得到：，。（3）求自由表面方程压力的全微分为：。在自由液面上，。代入到上式中得到：。对其进行积分，得到自由表面方程：其中为常数。* （拟定常数和高度）：由于自由表面方程通过两点：、，代入到自由面方程中，则有： (1) (2)将（1）代入到（2）中，得到： (3)又由于倾斜前后，水体积（质量）保持不变，则有：整顿得到： （4）将（4）代入（3）中，得到：，整顿得到：（m），即不使水溢出的最小高度为0.218m。2-9 一物体位于互不相容的两种液体的交界处。若两液体的重度分别为，（），物体浸入液体中的体积为V1，浸入液体中的体积为V2，求物体的浮力。答：设微元面积上的压力为，其单位外法向量为，则作用于上的流体静力为。沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为。设部分的表面积为，设部分的表面积为，两种液体交界面处物体的截面积为，交界面处的压力为。并建立下述坐标系，即取交界面为平面，轴垂直向上为正，液体深度向下为正，显然。因此。在上，在上；代入到上式中得到：在此，需要注意到，由于在交界面上，因此有。将这两项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：运用高斯公式，可以得到：即物体受到的浮力为。
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