有关一阶线性微分方程积分因子的解法

有关一阶线性微分方程积分因子的解法摘 要：当一阶线性微分方程不是恰当微分方程或不存在只具有一种未知数的积分因子时，微分方程的积分因子不易求得. 本文给出了三种特殊形式的积分因子并证明了这三种积分因子存在的充足必要条件.核心词：偏导数；偏微分方程；线性微分方程；积分因子 一 引言 对于一阶微分方程 ， (1)若存在持续可微的函数，使得，则方程 (1) 为一阶恰当微分方程，即存在函数，使, (2)且称非零函数为方程(1)的积分因子若找到方程(1)的积分因子，就设法求得式(2)的一种原函数，从而是方程(1)的通解引理1 设,在单连通区域内持续且有持续一阶偏导数，且,则函数为（1）的积分因子的充足必要条件是 ， (3)式（3）是一种觉得未知数函数的一阶线性偏微分方程，一般状况下，要想通过具体求解方程(3)而求得积分因子是比较困难的但某些特殊状况下，不难求得(3)的一种特解，而作为积分因子文献1给出了结论，方程(1)有只与有关的积分因子的充足必要条件是，这里仅为的函数.方程 (1)有只与有关的积分因子的充足必要条件是,这里仅为的函数.当微分方程不存在只与或有关的积分因子，用此措施无法求解.本文给出 3 种只依赖,形式的积分因子存在的充足必要条件，这有助于积分因子的求解.二 一阶微分方程积分因子的解法定理1 方程（1）有一种只依赖形式的积分因子的充足必要条件是, (4)此时是方程 (1) 的一种积分因子,（是的一种原函数）. 证明 必要性，设是方程（1）的一种积分因子，则,.代入式 ,可得= 消去,并化简可得,即(4)式成立.充足性，若式（4）成立，则，整顿得,则有. (5)设是的一种原函数,式（5）两边同乘以,则式成立.即是方程（1）的一种积分因子. 证毕定理2 方程（1）有一种只依赖形式的积分因子的充足必要条件 . (6)此时是方程（1）的一种积分因子（是的一种原函数）.证明 必要性， 设是方程(1)的一种积分因子，则,.代入式,可得消去,整顿可得,即(6)式成立.充足性，若(6)式成立，则整顿可得下式. (7)设是的一种原函数,式(7)两边乘以，则(3)式成立.即是方程(1)的一种积分因子.证毕.定理3 若方程(1)中,在内持续且有持续偏导数,，且满足,. 则方程(1)存在形如积分因子的充要条件是 ， (8)并且积分因子由下式拟定,. (9) (9)中由(8)给出.证明 必要性，设,是方程(1)的积分因子，,.即得，从而整顿得,取，则有，可得(8).充足性，若,令,.则 ,因此 .从而(9)为积分因子.三 应用举例例1 解方程. （10）解 方程（10）可化为，此时,，则,，因此不存在只与或有关的积分因子由于，取,则有 .则根据定理1，方程（10）有只依赖于形式的积分因子.于是方程（10）有积分因子. 例2 求解方程. （11）解 方程（11）可化为 令,则 ,，因此不存在只与或有关的积分因子由，取 ，则有.根据定理2,方程（11）有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数.于是方程（11）有积分因子 ，进而可求得其通解为 .例3 求解方程. (12)解 ,则,可得.取,.则有 从而由定理知方程有积分因子 .文章虽给出了某些以特殊积分因子解线性微分方程的措施，但是在学习中仍然存在许多其他特殊的积分因子用以上措施难以解决，还需要继续摸索参照文献：1 石瑞青，闫晓红，郭红建，等常微分方程全程导学及习题全解M北京：中国时代经济出版社，2 赵临龙常微分方程研究新论M西安：西安地图出版社，3 刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用j.阜阳师范学院学报.,20(6)39-414 高正辉.一阶微分方程三类积分因子的计算J.衡阳师范学院学报(自然科学版),(3)5 东北师范大学数学系.常微分方程M.北京:高等教育出版社,1982.35-48Method of Solution Integrating Factor of Linear First-order Differential EquationAbstract: As for linear first-order differential equation and it will not exist if it has only one unknown number of integrating factor. So the differential equation will be difficult to solve. This thesis gives three particular forms of integrating factors which proves the sufficient and necessary condition of existence. Keywords: Partial derivative, Partial differential equation, linear differential equation, integrating factor