小学奥数公式

公式1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b24. 等差数列公式 Sn = a1+an2n = a1n + n(n-1)2d n = an-a1d + 15. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 ab + b2 )6. 立方差公式: a3 b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n28. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1)9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + + n2 = nn+1(2n+1)6 10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + + n)211. 特种公式: 12 + 23 + 34 + + n(n+1) = 12 + 22 + 32 + + n2 + 1 + 2 + 3 + + n =13 n(n+1)(n+2)与因数相关的知识 1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。2. 因数和：设A2a3b5c 那么因数和（20+21+2a）（30+31+3b）（50+51+5c）3. 因数积：设A2a3b5c 那么因数积A因数个数/2(完全平方数除外)4. 因数倒数和：设A2a3b5c 那么 1a + 1b + 1c = 因数和A1757137循环小数747： 170.142857 270.2857145478272 370.42857167 470.571428 570.71428551312131013913413313213113 670.85714213： 1130.076923 2130.153846835164329670 3130.230769 5130.384615 4130.307692 6130.4615387131113813813 9130.692307 7130.538461 10130.769230 8130.615384 12130.923076 11130.846153排列组合进阶 排列是先选再排，组合是只选不排。Cnm=Cnn-m(n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的)Cn0=Cnn1（一个不选和全部都选只有一种情况）Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n(每个元素有选中和不选中两种情况)常用方法：1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也要排序，然后两个数乘积即可。3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个空位再选多少个元素去插空即可。4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可。6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。余数a b = m .n (0nb)推论1： m为(a b)的整数部分,而n为(a b)的小数部分的b倍。推论2： 当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。推论3： （a, b）= （b, r） 最大公因数相等，辗转相除求最大公因。余数性质：1. 周期性。2. 余数的和等于和的余数。3 余数的差等于差的余数。 虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼。4. 余数的积等于积的余数。物不知数（中国剩余定理）1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余数，即为最小的被除数。 例：A3余1， A5余1，问A最小多少？ 解：3和5的最小公倍数为15，15+116，A最小值为16.2. 加同补：如果一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小公倍数，再减去补数，即为最小的被除数。 例：A7余6 A6余5，A5余4， A4余3，求A最小多少？ 解：余数与除数互补，7，6，5，4420，4201419，A最小为419.3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40 分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的被除数。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？ 解：设A7K余5 A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）6余3，得7K6余4 当K4时，满足。即A=7K+533，通式为A=33+42K同余定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B 对于模m同余。表示为 AB（mod m）读作：“A同余于B，模m ”推论1：若AB，AmX.n BmY.n 那么，A-B（X-Y）m; m能整除A、B的差, m(A-B).推论：若AB（mod m），BC（mod m）那么，AC（mod m）；推论：若AB（mod m），CD（mod m）那么，（AC）（BD）（mod m）；ACBD（mod m）推论4： 若AB（mod m），那么AnBn（mod m）分数比较大小手段一：十字相乘法 ba dc baca dacc bc ad 即bc代表左边，ad代表右边。手段二：作差 AB0 AB AB0 AB手段三：作商 AB1 AB AB1 AB手段四：取倒数 1A1B AB 1A1B AB 手段五：化小数手段六：基准法 真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大 假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小在1013，1417之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则14171013在1310，1714之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则13101714手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）在56，1419之间比较大小，先将56变为2530，分子与分母差都为5，真分数，则561419手段八：糖水法 （糖水的甜度糖糖+水） 模型一：bab+ma+m (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差) 模型二：bab+da+cdc (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间) 模型三：ba=mbmamb+ndma+ncndnc=dc bamb+ndma+ncdc有趣的巧数1. 33333311108889 n个3 n个3 n1个1 n1个8 推论：6666666644435556，9999999999980001，3333666622217778 3333999933326667，66669999666533342. 3333334111222 n个3 n1个3 n个1 n个2 推论：6666333422224444，99993334333366663. 111337 100017337 2007322239992737 10101371337 2008232511111127141 199535719 201551331 11111137111337 199823337 201625374. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。 如：53573021，84867224，393112095. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算 如：782802-（802782）6400-（80+78）26400-3166084 762752+（762752）5625+（76+75）5625+15157766. 1234567898+99876543217. M999的数字和为9K.（其中M999） K个98. （13 + 17 + 115）（17 + 115 + 123）（13 + 17 + 115 + 123）（17 + 115）13123 两项乘积两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为： （有头无尾小龙）（无头有尾小龙）小龙（无头无尾小龙） 则结果为头尾相乘。9. 12 + 23 + n(n+1) 13nn+1(n+2) 1a1 + 2a2 + nan 16n(n+1)(2an+a1),a1,a2an为等差数列分数的分解设 1A 1A+m + 1A+n ，则得出：1A 1A+m + 1A+n 2A+m+nA+m（A+n)所以：（A+m）(A+n)A(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn2A2+(m+n)A可得：A2mn解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式右边的两个分母。例：将112拆分成若干个分数单位的和。解：12的平方144，而1441144272436818所以112 113 + 1156 114 + 184 116 + 148 120 + 130 要拆分成三个式子相加如何做？先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。最值问题（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。（2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。（3）多3少2不拆1原则。例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？+六大几何模型1. 等积模型：平行平移模型和等高模型2. 一半模型：3. 鸟头模型（共角模型） S4S3S2baS3S2S4DAAD ADAEABACSADESABCOE CBBC4. 蝴蝶模型（1）风筝模型（任意四边形） S1S3S2S4 （对顶面积乘积相等） AO:OCS1：S4S2：S3（S1+S2）：（S4+S3)（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）S1S1 S1S3 S1S3S2S4 （对顶面积乘积相等） S1：S2：S3：S4ab:b2:ab:a2 梯形S对应的份数为(a+b)25. 燕尾模型AAfedcba abcdef1 acebdf 左面积右面积左线段右线段（每一底边对应三对面积与线段的比） 串性：大面积小面积大面积包含的线段小面积包含的线段6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形状相同，大小不同的两个三角形。 如果DE平行BC，那么 （1）ADABAEACDEBCAFAGBGFEEDDCCB （2）两个三角形面积比对应边长的平方比7. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为a,b,斜边长为c,则有c2a2+b2acabbbabaabbbba 内弦图： 外弦图：ab-aaS1S2S3acbb-aC2a2b2aba 常见勾股整数： 常见模型： 3， 4， 5； 5，12，13；S3S2S1 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； S1+S2S38. 毕克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积 S（n + l2 -1）小四边形面积 其中：n是多边形内部的点数 l是多边形边界上点数9. 海伦公式：S2p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c为三角形三边长，pa+b+c2（半周长）循环小数1. 有限小数：分母质因子只有2或52. 纯循环小数：分母质因子无2也无53. 混循环小数：分母质因子即含其他也含2或5.小数化分数：1. 纯循环小数化分数： 0.aa9; 0.abab99; 0.abcabc9992. 混循环小数化分数： 0.abab-a90; 0.abcabc-a990; 0.abcdabcd-ab9900正方体展开图（共11种）A1A1A1A1A2AA2AA2A2AABBBB 规律：（1）对面规律，两个相对的面展开后是日字或之字两个距离最远的面。 （2）对角点规律：在展开图中出现日字，通常用来寻找正方体复合的重合点。 如上图中，A点的对角点为B点，A1，A2点与A点重合。质数1. 0和1即不是质数，也不是合数。2. 除了2其余的质数都是奇数，除了2和5，其余的质数个位数字只有1，3，7，9.3. 最小的三位质数是101，最小的四位质数是1009.质数的判定方法：找到一个大于且接近该数的完全平方数K2，再列出所有不大于K的质数，判断这些质数能否被该数整除，如不能，则该数就是质数。例149是否是质数：132是大于149的，最接近149的数，所以用149除以2，3，5，7，9，11，13，都不能整除，那么149是质数。两数互质的情况： 1. 两个连续自然数必互质。 2. 两个连续奇数必互质。 3. 一个大质数与一个小合数必互质。 4. 1与任何非零自然数互质。因数 公因数 公倍数最大公因数性质： 1. 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。 2. 几个数都乘以一个自然数N，所得积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以N最小公倍数性质： 1. 两个互质的数的最小公倍数就是它们的乘积。 2. 两个数有倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，最大公因数为较小的数。分数的最大公因数和最小公倍数： 最大公因数：先把带分数化为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分母的最小公倍数A及分子的最大公因数B，AB 即为所求。简记为“子同母反”（分子求最大公因，分母求最小公倍）最小公倍数：先把带分数化为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分子的最小公倍数A及分母的最大公因数B，AB 即为所求。简记为“子同母反”（分子求最小公倍，分母求最大公因）对于任意连接3个自然数，如果它们的奇偶性为：奇偶奇：那么三个数的乘积为最小公倍数（三数互质）偶奇偶：三个数乘积的一半为最小公倍数。奇数 偶数推论：对于任意2个整数A，B ，有A+B与A-B同奇或同偶。完全平方数性质：1. 尾数为0，1，4，5，6，9.2. 被4除，余数为1或0.3. 被3除，余数为1或0.4. 偶指奇因：分解质因数后，指数都为偶数；完全平方数的因数个数为奇数。