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第3节三角恒等变换1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(-)=cos cos +sin sin ;(2)cos(+)=cos cos -sin sin ;(3)sin(-)=sin cos -cos sin ;(4)sin(+)=sin cos +cos sin ;(5)tan(-)=tan-tan1+tantan;(6)tan(+)=tan+tan1-tantan.2.二倍角公式(1)sin 2=2sin cos ;(2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)tan 2=2tan1-tan2.1.半角公式指的是sin 2=1-cos2,cos 2=1+cos2,tan 2=1-cos1+cos.它们可由二倍角公式cos 2=1-2sin2=2cos2-1以2代,然后变形导出,符号由2所在的象限确定.注意:tan 2还有一个同时使用sin ,cos ,但不带有根号的公式,即tan 2=sin1+cos=1-cossin.此公式不需要讨论2所在的象限,使用方便.2.积化和差公式指的是sin cos ,cos sin ,cos cos,sin sin 用+,-的三角函数表示,显然可由相应的和差角公式相加减得到.3.和差化积公式指的是把sin sin ,cos cos ,用+2,-2的三角函数表示,这只须用角变换=+2+-2,=+2-2,然后利用和差角公式展开合并即可.1.公式的常用变式:tan tan =tan()(1tan tan);tan tan =1-tan+tantan(+)=tan-tantan(-)-1.2.降幂公式:sin2=1-cos22;cos2=1+cos22;sin cos =12sin 2.3.升幂公式:1+cos =2cos22;1-cos =2sin22;1+sin =(sin 2+cos 2);1-sin =(sin 2-cos 2)2.4.常用拆角、拼角技巧:例如,2=(+)+(-);=(+)-=(-)+;=+2-2=(+2)-(+);-=(-)+(-);15=45-30;4+=2-(4-)等.5.辅助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+),其中cos =aa2+b2,sin =ba2+b2.6.万能公式sin =2tan 21+tan22,cos =1-tan221+tan22,tan =2tan 21-tan22.1.(必修第一册P220练习T3改编)sin 20cos 10-cos 160sin 10等于(D)A.-32B.32C.-12D.12解析:sin 20cos 10-cos 160sin 10=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=sin 30=12.故选D.2.若cos(+2)=-74,则cos 2的值为(A)A.18B.716C.18D.1316解析:因为cos(+2)=-74,所以sin =74,所以cos 2=1-2sin2=18.故选A.3.若tan =13,tan(+)=12,则tan =.解析:tan =tan (+)-=tan(+)-tan1+tan(+)tan=12-131+1213=17.答案:174.tan 10+tan 50+3tan 10tan 50=.解析:因为tan 60=tan(10+50)=tan10+tan501-tan10tan50,所以tan 10+tan 50=tan 60(1-tan 10tan 50)=3-3tan 10tan 50,故原式=3-3tan 10tan 50+3tan 10tan 50=3.答案:35.若sin +3cos =1,且(0,),则=.解析:因为sin +3cos =2sin(+3)=1,所以sin(+3)=12,又(0,),所以(+3)(3,43),所以+3=56,所以=2.答案:2 三角函数式的化简1.已知(0,4),且sin -cos =-144,则2cos2-1cos(4+)等于(D)A.23B.43C.34D.32解析:由sin -cos =-144,得sin(4-)=74,因为(0,4),所以04-4,所以cos(4-)=34.2cos2-1cos(4+)=cos2sin(4-)=sin(2-2)sin(4-)=sin2(4-)sin(4-)=2cos(4-)=32.故选D.2.化简:2sin(-)+sin2cos22=.解析:2sin(-)+sin2cos22=2sin+2sincos12(1+cos)=2sin(1+cos)12(1+cos)=4sin .答案:4sin 3.化简:2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x)=.解析:原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2sin(4-x)cos(4-x)cos2(4-x)=(2cos2x-1)24sin(4-x)cos(4-x)=cos22x2sin(2-2x)=cos22x2cos2x=12cos 2x.答案:12cos 2x三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等. 三角函数式的求值给角求值 求值:1+cos202sin20-sin 10(1tan5-tan 5)=.解析:原式=2cos21022sin10cos10-sin 10(cos5sin5-sin5cos5)=cos102sin10-sin 10cos25-sin25sin5cos5=cos102sin10-sin 10cos1012sin10=cos102sin10-2cos 10=cos10-2sin202sin10=cos10-2sin(30-10)2sin10=cos10-2(12cos10-32sin10)2sin10=3sin102sin10=32.答案:32“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.给值求值 若02,-20,cos(4+)=13,cos(4-2)=33,则cos(+2)等于()A.33B.-33C.539D.-69解析:因为02,则44+34,所以sin(4+)=223.又-20,则44-20,所以22,所以cos 2=-255且4,2.又,32,所以-2,54.因为sin(-)=10100,所以cos(-)=-31010且-2,故cos(+)=cos 2+(-)=cos 2cos(-)-sin 2sin(-)=-255(-31010)-551010=22.因为22,-2,所以+,2,所以+=74.故选A.1.“给值求角”实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.2.注意要根据角的范围选择合适的三角函数,本例选择求cos(+),不宜选择求sin(+).针对训练 1.3cos10-1sin170等于()A.4B.2C.-2D.-4解析:3cos10-1sin170=3cos10-1sin10=3sin10-cos10sin10cos10=2sin(10-30)12sin20=-2sin2012sin20=-4.故选D.2.已知,都为锐角,且sin =217,cos =2114,则-等于()A.-3B.3C.-6D.6解析:因为,都为锐角,且sin =217,cos =2114,所以cos =277,sin =5714,由sin(-)=sin cos -cos sin =2172114-2775714=-4998=-12,因为sin sin 且,都为锐角,所以02,-2-0,所以-=-6.故选C.3.已知cos(4+)=35,171274,则sin2+2sin21-tan的值为.解析:sin2+2sin21-tan=2sincos+2sin21-sincos=2sincos(cos+sin)cos-sin=sin 21+tan1-tan=sin 2tan(4+).由171274,得53+42,又cos(4+)=35,所以sin(4+)=-45,tan(4+)=-43.cos =cos(4+)-4=-210,sin =-7210,sin 2=725.所以sin2+2sin21-tan=725(-43)=-2875.答案:-2875 三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用 已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-6),xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值.解:(1)由已知得f(x)=1-cos2x2-1-cos(2x-3)2=12(12cos 2x+32sin 2x)-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin(2x-6).所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)由(1)知f(x)=12sin(2x-6).因为-3x4,所以-562x-63,所以当2x-6=-2,即x=-6时,f(x)有最小值,且f(-6)=-12,当2x-6=3,即x=4时,f(x)有最大值,且f(4)=34.所以f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-12.三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(x+)+t或余弦型函数y=Acos(x+)+t的形式,再利用三角函数的图象与性质求解.针对训练 已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f(23)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由sin 23=32,cos 23=-12,得f(23)=(32)2-(-12)2-2332(-12)=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x,得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin(2x+6).所以f(x)的最小正周期是T=22=.由正弦函数的性质,得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间为6+k,23+k(kZ). 已知sin =35,(2,),tan(-)=12,则tan(-)的值为()A.-211B.211C.112D.-112解析:因为sin =35,(2,),所以cos =-1-sin2=-45,所以tan =sincos=-34.因为tan(-)=12=-tan ,所以tan =-12,则tan(-)=tan-tan1+tantan=-211.故选A. 已知sin =13+cos ,且(0,2),则cos2sin(+4)的值为()A.-23B.23C.-13D.13解析:因为sin =13+cos ,即sin -cos =13,所以cos2sin(+4)=cos2-sin2sincos 4+cossin4=(cos-sin)(cos+sin)22(sin+cos)=-1322=-23.故选A. 已知,为锐角,cos =17,sin(+)=5314,则cos = .解析:因为为锐角,所以sin =1-(17)2=437.因为,(0,2),所以0+.又因为sin(+)2,所以cos(+)=-1114.cos =cos (+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-111417+5314437=4998=12.答案:12 (1+tan 17)(1+tan 28)的值为.解析:原式=1+tan 17+tan 28+tan 17tan 28=1+tan 45(1-tan 17tan 28)+tan 17tan 28=1+1=2.答案:2 若3sin x+cos x=23,则tan(x+76)=.解析:由3sin x+cos x=23,得2sin(x+6)=23,即sin(x+6)=13,所以cos(x+6)=223,所以tan(x+6)=24,即tan(x+76)=tan(x+6)=24.答案:24 若322,则12+1212+12cos2可化简为.解析:12+12122cos2=12+12|cos|,因为322,所以|cos |=cos .所以原式=12+12cos=cos22.又因为342,所以原式=-cos 2.答案:-cos 2 (1)在ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=.(2)cos 20cos 40cos 100=.(3)化简:sin235-12cos10cos80=.解析:(1)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得tanA+tanB1-tanAtanB=-1,即tan(A+B)=-1,又因为A+B(0,),所以A+B=34,则C=4,cos C=22.(2)设S=cos 20cos 40cos 100,则S=-cos 20cos 40cos 80,设T=sin 20sin 40sin 80,则ST=-12sin 4012sin 8012sin 160=-18T,又T0,所以S=-18,即cos 20cos 40cos 100=-18.(3)sin235-12cos10cos80=1-cos702-12cos10sin10=-12cos7012sin20=-1.答案:(1)22(2)-18(3)-1知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练三角函数式的化简,求值1,4,711三角函数式的给值求值2,5,6,813三角函数式的给值求角3三角恒等变换的应用9,10,12,14,15161.sin 16cos 14-sin 254sin 14的值是(B)A.0B.12C.32D.-12解析:原式=cos 74cos 14+sin 74sin 14=cos(74-14)=cos 60=12.故选B.2.sin 2=-13,则cos2(-4)的值为(C)A.-23B.-13C.13D.23解析:cos2(-4)=1+cos2(-4)2=1+cos(2-2)2=1+sin22=1-132=13.故选C.3.已知,都是锐角,若sin =55,sin =1010,则+等于(A)A.4B.34C.4和34D.-4和-34解析:由于,都是锐角,所以cos =1-sin2=255,cos =1-sin2=31010.所以cos(+)=cos cos -sin sin =22,所以+=4.故选A.4.tan 18+tan 12+33tan 18tan 12等于(D)A.3B.2C.22D.33解析:因为tan 30=tan(18+12)=tan18+tan121-tan18tan12=33,所以tan 18+tan 12=33(1-tan 18tan 12),所以原式=33.故选D.5.已知tan(+4)=2,则sin2-cos21+cos2的值为(A)A.-16B.16C.52D.-56解析:tan =tan(+4)-4=tan(+4)-11+tan(+4)=13,原式=2sincos-cos22cos2=tan -12=13-12=-16.故选A.6.已知是第三象限角,3cos 2+sin =2,则tan 等于(A)A.24B.33C.3D.22解析:因为是第三象限角,3cos 2+sin =2,所以3(1-2sin2)+sin =2,所以6sin2-sin -1=0,解得sin =-13或sin =12(舍去),所以cos =-1-sin2=-223,所以tan =24.故选A.7.形如abcd的式子叫做行列式,其运算法则为abcd=ad-bc,则行列式sin 152cos 152的值是.解析:因为sin 152cos 152=2sin 15-2cos 15=2(22sin 15-22cos 15)=2sin(15-45)=-2sin 30=-1,所以sin 152cos 152的值是-1.答案:-18.若cos =-13,sin =-33,(2,),(32,2),则sin(+)的值为.解析:因为cos =-13,(2,),所以sin =1-cos2=223,因为sin =-33,(32,2),所以cos =1-sin2=63,所以sin(+)=sin cos +cos sin =22363+(-13)(-33)=539.答案:5399.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,0x2,则f(x)的最大值是(B)A.1B.2C.3+1D.3+2解析:由0x2,则f(x)=(1+3tan x)cos x=(1+3sinxcosx)cos x=cos x+3sin x=2sin(x+6),因为0x2,所以6x+623,所以当x+6=2时,f(x)取到最大值2.故选B.10.(多选题)已知f(x)=sin xsin(x+3)-14,则f(x)的值不可能是(CD)A.-12B.12C.-2D.2解析:因为f(x)=sin xsin(x+3)-14=sin x(12sin x+32cos x)-14=12sin2x+32sin x cos x-14=121-cos2x2+34sin 2x-14=34sin 2x-14cos 2x=12sin(2x-6),所以-12f(x)12.故选CD.11.(多选题)下列式子正确的有(ACD)A.sin 15+cos 15=62B.cos 75=6+24C.23tan 15+tan215=1D.tan 12+tan 33+tan 12tan 33=1解析:因为sin 15+cos 15=(sin15+cos15)2=1+sin30=62,所以A正确;cos 75=cos(45+30)=cos 45cos 30-sin 45sin 30=2232-2212=6-24,所以B错误;又由tan 30=2tan151-tan215,得1-tan215=2tan15tan30=23tan 15,所以23tan 15+tan215=1,所以C正确;因为1=tan 45=tan(12+33)=tan12+tan331-tan12tan33,所以tan 12+tan 33=1-tan 12tan 33,所以tan 12+tan 33+tan 12tan 33=1.故D正确.故选ACD.12.已知234,cos(-)=1213,sin(+)=-35,则cos 2等于(D)A.6365B.-6365C.3365D.-3365解析:因为234,所以-4-0,+32,又cos(-)=1213,sin(+)=-35,所以sin(-)=-1-cos2(-)=-513,cos(+)=-1-sin2(+)=-45;所以cos 2=cos (+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=(-45)1213+(-35)(-513)=-3365.故选D.13.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18,则m4-m21-2sin227=.解析:把m=2sin 18代入m4-m21-2sin227=2sin184-4sin218cos54=4sin18cos18cos54=2sin36sin 36=2.答案:214.已知sin -cos =12,0,所以sin 与cos 同号,又因为2,所以32,所以sin 0,cos 0,所以sin +cos 0.又因为(sin +cos )2=1+2sin cos =74,所以sin +cos =-72,所以sin =-74+14,cos =-74-14,所以tan =sincos=4-73,tan 2=sin 2cos 2=2sin222sin 2cos 2=1-cossin=-2-7.法二因为sin -cos =12,sin =2sin2cos2=2sin2cos2cos22+sin22=2tan 21+tan22,cos =cos22-sin22=cos22-sin22cos22+sin22=1-tan221+tan22,所以2tan 21+tan2 2-1-tan221+tan22=12,所以tan22+4tan2-3=0,又因为2,所以22,所以tan 20,所以tan 2=-2-7,所以tan =2tan 21-tan22=2(-2-7)1-(-2-7)2=4-73.15.已知函数f(x)=2sin(4+x)cos(4-x)-1.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若函数g(x)=f(x)-23cos2x,求函数g(x)的单调递增区间.解:(1)函数f(x)=2sin(4+x)cos(4-x)-1=2cos2(4-x)-1=cos2(4-x)=sin 2x,所以函数f(x)的最小正周期为22=.(2)g(x)=f(x)-23cos2x=sin 2x-3(2cos2x-1)-3=sin 2x-3cos 2x-3=2sin(2x-3)-3,令2k-22x-32k+2,kZ,得k-12xk+512,kZ,所以函数g(x)的单调递增区间为k-12,k+512,kZ.16.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一象限,点B的坐标为(1213,-513),AOC=.若|BC|=1,则3cos22-sin 2cos 2-32的值为.解析:由题意得|OB|=|OC|=|BC|=1,从而OBC为等边三角形,所以sin AOB=sin(3-)=513,所以3cos22-sin 2cos 2-32=31+cos2-sin2-32=-12sin +32cos =-sin(-3)=sin(3-)=513.答案:513
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