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第 20 章 20.1课题：平行四边形判定（1）【教学目标】1.能利用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形，分清平行四边形的判定方法与平行四边形性质的区别和联系；2.能利用两组对边分别相等判定一个四边形是平行四边形；3.能利用一组对边平行且相等判定一个四边形是平行四边形.【教学重、难点】1.平行四边形的判定方法及应用；2.平行四边形判定定理和性质定理的灵活运用和学生合情的推理能力.【教具选用】教学用三角板、平行四边形纸片【教学过程】1.提出问题，创设情景：老师拿出平行四边形纸片，要求学生看着纸片回忆上学期所学的平行四边形的定义和性质并回答以下问题（1）什么叫做平行四边形?（2）平行四边形有关边的性质定理有哪些？（3）这些性质的逆命题成立吗？这就是我们所要学习的“平行四边形的判断”.2.做一做（1）平行四边形定义 .（2）两组对边的四边形是平行四边形.（3）一组对边且的四边形是平行四边形.（4）已知：四边形ABCD 中，AD=BC，AB=DC.求证：四边形ABCD 是平行四边形.（5）已知：在四边形ABCD 中，AB=CD 且 AB CD.求证:四边形 ABCD 是平行四边形.3.合作交流如图 20-1-1，在ABCD中，E、F 分别为对边BC和 AD 上的两点，且DF=BE，求证:四边形 AECF 是平行四边形.想一想：有几种方法证明？哪种方法较为简便？4.练一练：（1）已知，如图20-1-2，在平行四边形ABCD中，M和 N分别是 AB和 CD的中点，试用不同的方法证明四边形BNDM 是平行四边形.（2）已知，如图20-1-3，已知在ABCD 中，M和 N分别是 AB和 CD的中点，AM=CN，E、F 是 AC上的点，AE=CF.求证:四边形 MENF 是平行四边形.(3)已知，如图20-1-4，已知在ABCD 中，E和 F 分别是 AD和 BC的中点,AF 与 BE交于 G，CE与 DF交于 H.求证:四边形 EGFH 是平行四边形.5.测评:(基础题)(1)如图 20-1-5，在 ABC中，AD是角平分线，DEAC交 AB于点 E，EFBC交 BC于点 F.求证：AE=CF(基础题)(2)如图 20-1-6，在ABCD 中，E、F、G、H分别是四边形四边上的点，且满足 AE=CF，BG=DH，A B C D E F 20-1-1 A B C D M N 20-1-2 A B C D M N E F 20-1-3 A B C D E F G H 20-1-4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 27 页 -连结 EF、GH,求证：EF与 GH互相平分.（能力题）（3）如图 20-1-7，已知 ABC，以 BC为边，在点A 的同侧作正三角DBC，以 AC、AB为边在 ABC的外部作正三角形 EAC和正三角形FAB.求证：四边形AEDF是平行四边形.6.小结：（1）平行四边形的性质与判定的区别和联系平行四边形的性质指平行四边形的边、角、对角线等所具有的大小或位置之间的关系；而平行四边形的判定是指四边形具备什么条件就是平行四边形，两者为互逆定理。（2）今天所讲的平行四边形判定方法有哪些？7.布置作业：(基础题)（1）课本 103 页练习第 2 题；基础题(基础题)（2）如图 20-1-8，E、F 是四边形ABCD 的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DFBE.求证：AFD CEB；求证：四边形ABCD是平行四边形.(能力题)（3）如图 2019，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，M、N分别是 DE、BF的中点，四边形ENFM 是平行四边形吗？说明理由.【课后反思】A A A B C D E E 20-1-5 B C D F H E G 20-1-6 A B C E F D 20-1-7 A B C D E F 20-1-8 N A B C D E F M 20-1-9 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 27 页 -课题：平行四边形判定（2）【教学目标】1.能利用对角线互相平分、两组对边分别相等判定一个四边形是平行四边形；2.能运用平行四边形的判定方法解决一些简单问题.【教学重、难点】平行四边形的判定方法的掌握和灵活应用.【教具选用】教学用三角板【教学过程】1.提出问题，创设情景：由“平行四边形两条对角线互相平分”和“平行四边形的两组对角相等”的性质，我们可以猜想逆命题“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”、“两组对角相等四边形是平行四边形”，这两个命题是否正确呢？这节课我们就探究这两个问题。2.课堂同步练习：（1）如图 20-2-1，在四边形ABCD 中，对角线AC和 BD相交于点O，AO=CO、BO=DO.求证：四边形ABCD 是平行四边形.（2）如图 20-2-2，在四边形ABCD 中，A=C、B=D.求证：四边形ABCD是平行四边形.学生总结判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角相等四边形是平行四边形.3.合作交流（1）已知四边形ABCD，A:B:C:D=2:3:2:3,则四边形ABCD为四边形.（2）ABCD 的对角线 AC和 BD交于点 O，AOB的周长为15，AB=6.则 AC+BD=.（3）如图 20-2-3，在平行四边形ABCD，两条对角线相交于点O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO的中点，试判定E、F、G、H四点组成的四边形是平行四边形吗？并说明理由.（4）如图20-2-4，在平行四边形ABCD，AE、CF 分别是 DAB、BCD的角平分线.试证明：四边形AFCE是平行四边形.A B C D O A B C D 20-2-1 20-2-2 A B C D E F G H A B C D E F 20-2-4 20-2-3 O 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 27 页 -4.知识应用：已知，如图20-2-5，在平行四边形ABCD中，点 E、F 是对角线 AC上的两点，且AE=CF.求证:四边形 BFDE是平行四边形.方法较多，灵活应用平行四边形的判定定理.5.测评：(基础题)1.如图 20-2-6，在ABCD中，两条对角线相交于点O，EF过点 O分别交 AD、CB的延长线于点 M、N.求证:四边形 DMBN 是平行四边形.(能力题)2.如图 20-2-7，在四边形ABCD，已知 AB CD，点 E、F 分别为边 AB、CD上的中点，且 BAF=DCE.试说明四边形ABCD 是平行四边形.6.小结：到现在为止，我们学会了多种判定平行四边形的方法，学生自己总结：（1）从边上看：.（2）从对角线上看：.（3）从角上看：.7.布置作业：(基础题)（1）点 A、B、C、D在同一平面内，ABCD AB=CD BC AD BC=AD，在这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法有 .(能力题)（2）如图 20-1-8，AD为 ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交 AD于点 F，且 AE=EF.求证：BF=AC.【课后反思】20-2-5 A B C D E F O 20-2-7 A B C D E F A B C D E F N M O 20-2-6 A B C D E F 20-2-8 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 27 页 -课题：平行四边形判定定理的应用（3）【教学目标】1.能灵活运用平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形；2.能利用平行四边形的判定方法进行有关的推理论证、发展推理论证能力.【教学重、难点】1.平行四边形的判定方法及应用；2.用平行四边形的判定定理解决有关问题.【教具选用】教学用三角板【教学过程】1.提出问题，创设情景：（1）我们学过了几种平行四边形的判定方法？（并从边、角、对角线三个方面进行总结）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（2）如何运用这五个定理去判断一个四边形是平行四边形？（学生完成下表）已知条件选择的判断方法边一组对边相等、一组对边平行、角一组对角相等对角线对角线互相平分（3）用平行四边形的特征和判定方法可以解决有关角相等、互补、线段相等、线段互相平分、直线平行等问题，在大部分有关平行四边形的问题中都是平行四边形的特征和判定方法的交替使用.2.做一做：（1）如图 20-3-1，在 ABC中，E、F 两点在 AB上，AE=BF,HE AC FG,H、G两点在 BC上，试问线段EH、FG、AC之间有什么关系？试证明你的结论.（2）如图 20-3-2，在ABCD中，点 E、F 在 AC上且 AF=CE,点 G、H 分别在 AB、CD上且 AG=CH,AC与 GH相交于点O.求证：EG FH GH、EF互相平分.3.知识实际应用：（1）如图20-3-3，工人师傅需将一等腰直角三角形的铁板通过切割焊接成一个含有450角的平行四边形，请你帮助他设计一种方案，并说明你的理由。（2）如图20-3-4，该图是某城市街道示意图，AFBC，ECBC，BA DE，BD AE，EF=FC，甲、乙两人同时从B站乘车到下站，甲乘1 路车路线是BAEF；乘 1 路车路线是BDCF.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，谁先到达下站，请说明理由.C A B E F 20-3-1 H G A B C D 20-3-2 O E F G H A B C F E D 20-3-4 A B C 20-3-3 20-3-5 A B C E F O 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 27 页 -4.测评：(基础题)1.如图 2035，在平行四边形ABCD 中，AC与 BD相交于点O，EF经过 O点交 AD于 E，交BC于 F，那么四边形AFCE 为平行四边形吗？为什么？(能力题)1.如图 20-3-6，已知 O为等边三角形ABC内任意一点，且OD BC交 AB于 D，OF AB且交AC于 F，OE AC交 BC于 E.求证：OD+OE+OF=BC.(能力题)2.如图 20-3-7，已知 E、F 分别为ABCD 的边 AD、BC的中点.求证：BE=DF O为 GH的中心5.小结：6.布置作业：(基础题)（1）如图 20-3-9，现有六边形铁板ABCD，各内角均为1200，AB=10，BC=70，CD=20，DE=40.求 AF、EF的长和六边形ABCDEF 周长.(能力题)（2）如图 20-3-9，在四边形ABCD中，AB DC，且 AB DC，DC=12，AB=18,P、Q分别从 A、C同时出发，点P以 1 /s 的速度由A向 B运动，点Q以 2/s 速度由 C向 D运动.几秒钟后，四边形 ADQP 为平行四边形？几秒钟后，直线PQ将四边形 ABCD 截出一个平行四边形？(能力题)（3）如图 203 10，某村有一口四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D各栽一棵大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成为平行四边形的形状，请问该村能否实现这一设想，若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由.【课后反思】A B C F E D O 20-3-6 A B C D E F G H O 20-3-7 A B D E F C 20-3-8 A B C D Q P 20-3-9 20-3-10 A B C D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 27 页 -20.2 课题：矩形的判定（1）【教学目标】1.能利用矩形的定义判定一个四边形是矩形；2.会用“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定方法解决简单问题.【教学重、难点】矩形的判定方法及性质的综合应用.【教具选用】教学用三角板【教学过程】1.提出问题，创设情景：（1）矩形的定义是什么？（2）矩形的性质有哪些？（3）矩形特有的性质对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？今天我们就共同来寻找矩形的判定方法.2.课前轻松预习：（1）若一个平行四边形是矩形，则此平行四边形应具备的条件是 .A.两条对角线相等 B.对角线互相垂直C.有一个角是直角 D.对边平行且相等（2）已知：点 A、B、C、D在同一平面内，有下列 6 个条件:AB CD AB=CD BC AD BC=AD AC=BD A=900，从这 6 个条件中选出3 个条件，不能判定四边形ABCD 是矩形的是A.B.C.D.（3）四边形 ABCD 的对角线AC、BD相交于点 O，下列能判定四边形ABCD 是矩形的是 .A.AO=CO BO=DO B.AB=BC AO=CO C.AO=BO=CO=DO D.AO=CO BO=DO ACDB 3.知识实际应用：（1）已知：四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD 是矩形.（2）如图 20-4-1，O是矩形 ABCD 的对角线AC与 BD的交点，E、F、G、H分别是 AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形.4.测评：（1）如图 20-4-2，已知：AB、CD是 O的两条直径，四边形ABCD 是矩形吗？证明你的结论.（2）如图 20-4-3，已知：梯形 ABCD 中，AD BC，AB=CD，点 E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC.求证：四边形AEFG是平行四边形；当 FGC=2 EFB时.求证：四边形AEFG是矩形.5.测评：(基础题)（1）如图 20-4-4，已知：在 ABC中，AB=AC,AD BC于点 D，AE是 BAC外角平分线，DEAB交 AE于点 E.求证：四边形ADCE 是矩形.A B C D E F G H O 20-4-1 A A B D C O 20-4-2 B C D E F G 20-4-3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 27 页 -(基础题)（2）如图 20-4-5，已知：点M是ABCD 边 AB中点，且DM=MC.求证：四边形ABCD 是矩形.(能力题)（3）如图 20-4-6，AB=AC，AD=AE，DE=BC 且 BAD=CAE.求证：四边形BCED 是矩形.(能力题)（4）如图 20-4-7，ABC中，点 O是 AC边上的一个动点，过点O作直线 MN BC，设 MN交ACB的平分线于点E，交 ACB的外角平分线于点F.求证：EO=FO 当点 O运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论.6.小结：有一个角是直角的平行四边形是矩形或对角线互相平分且相等的四边形是矩形.7.布置作业：(基础题)（1）课本 110 页习题 20.2 1题.(能力题)（2）如图 20-4-8，已知：在 ABC 中，D是 AC的中点，E是线段 BC延长线上的一点，过点 A作 BC的平行线与线段ED的延长线交于点 F，连接 AE、CF.求证：AF=CF；若 AC=EF，判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论.【课后反思】B A C D E F A D C B M 20-4-4 20-4-5 20-4-8 A B C D E F 20-4-6A B C D E 20-4-7A B C M N O F E 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 27 页 -课题：矩形的判定（2）【教学目标】1.掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定方法，解决简单问题；2.能利用矩形的判定方法进行推理，发展推理论证的能力.【教学重、难点】灵活运用矩形的判定方法解决问题.【教具选用】教学用三角板【教学过程】1.引入：上节课我们从平行四边形出发，找到了两种判定矩形的方法，那么对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是矩形的方法？这就是我们这节课所要研究的内容.2.自学练习：（1）有三个角是的四边形是矩形；（2）若四边形ABCD是矩形，则这个四边形四个内角比为；（3）已知：四边形ABCD，下列说法正确的是 .A.当 A=900时，四边形ABCD 是矩形.B.当 A=D=900时，四边形ABCD是矩形.C.当 A=B=C=900时，四边形ABCD 是矩形.D.当 A=B=900时，四边形ABCD 是矩形.（4）下列说法不正确的是 .A.有一个角是直角的平行四边形是矩形.B.有三个角是直角的四边形是矩形.C.对角线相等的四边形是矩形.D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形.3.知识提升：（1）矩形的两条对角线的夹角为600，一条对角线与短边的和是24，则短边长，对角线长 .（2）求证：平行四边形四个内角平分线所围成的四边形是矩形.（3）如图 20-5-1，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P是 AD上的动点，PE AC于点 E，PFBD于点 F.则 PE+PF的值是多少？4.知识应用：(基础题)（1）如图 20-5-2，已知：直线MN PQ，直线 AC交 MN、PQ于点 A、C，所得的同旁内角的角平分线AB、BC和 AD、CD分别相交于点B、D，试猜想AC与 BD的大小关系，并说明理由.(能力题)（2）如图 20-5-3，已知：M、N 分别是ABCD的对边 AD、BC的中点，且AD=2AB，四边形PMQN 是矩形吗？请说明理由.A C B D M N P Q 20-5-2 A B C D M N P Q 20-5-3 A B C D P E F 20-5-1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 27 页 -5.测评：(基础题)（1）李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD 是否是矩形，但他随身只带了有刻度尺的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD 是否为矩形.(基础题)（2）如图 20-5-4，四边形ABCD 是平行四边形，BED AEC=900.试说明四边形ABCD 是矩形.(能力题)（3）如图 20-5-5，在 ABC中，AB=AC，ADBC,垂足为 D，AN是 ABC外角 CAM 的角平分线，CE AN,垂足为 E.求证：四边形ADCE 是矩形.(能力题)（4）如图 20-5-6，已知平行四边形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，国 O作 AFBC，点F 为垂足，连结FO，并延长 FO交 AD的延长线于点E，连结 EC.求证：四边形AFCE 是矩形.6.小结：有一个角是直角的平行四边形是矩形或对角线互相平分且相等的四边形是矩形.7.布置作业：(基础题)（1）课本 110 页习题 20.2 1题.(能力题)（2）如图 20-4-7，已知：在 ABC 中，D是 AC的中点，E是线段 BC延长线上的一点，过点 A作 BF的平行线于线段ED的延长线交于点 F，连接 AE、CF.求证：AF=CF；若 AC=EF，判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论.【课后反思】20-5-7 A B C D E F 20-5-4 A B C D E A B C D E N M 20-5-5 20-5-6 A F C D O E 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 27 页 -20.3 课题：菱形的判定(1)【教学目标】1.探索菱形的判定定理；2.掌握菱形的判定定理并能灵活应用.【教学重、难点】1.重点：菱形的判定定理的掌握和灵活应用.2.难点：菱形的判定定理的灵活应用.【教具选用】教学用三角板与圆规、矩形纸一张、剪刀.【教学过程】1.创设情景，导入新课：图形大变身（教师演示，学生观察）把准备好的矩形纸对折再对折，然后沿着图形的虚线剪下，打开部分1 后，你发现这是一个什么样的图形呢？2.自学提纲：（1）定义：有一组邻边的平行四边形是菱形.（2）判定定理1：对角线的平行四边形是菱形.3.知识能力提高：学生独立完成下列题目.已知：如图206 1：ABCD 中，对角线ACBD，垂足为O.求证：四边形ABCD 是菱形4.应用：如图 2062：已知矩形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形 AFCE是菱形.5.测评：（基础题）(1)菱形是轴对称图形，对称轴有条.（基础题）(2)如图 206 3，已知 AE、BF为ABCD一组邻角的平分线.求证:四边形 ABEF是菱形.1 2061A B C D O ABCDFE2062O名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 27 页 -（能力题）(3)在菱形 ABCD 中，AE BC于 E，AFCD于 F，且 E、F 分别是 BC、CD的中点，求 EAF的度数.（能力题）(4)如图 206 1，ABCD 的两条对角线AC、BD交于点 O，AD=10,AO=3,BO=1.AC、BD有怎样的位置关系？四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？6.小结：菱形的判定方法：（1）定义；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.7.布置作业：(基础题)（1）如图 206 4，O是矩形 ABCD 的对角线的交点，DE AC，CE BD.求证:四边形 OCED 是菱形.(基础题)（2）选做：课本第 125 页 11 题.(能力题)（3）如图 206 5，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为 AD延长线上一点，CFBE交AD于 F，连结 BF、CE.求证：四边形BECF是菱形.【课后反思】A ABCDFE2063B C D E O 2064A B C D E F 2065名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 27 页 -课题：菱形的判定(2)【教学目标】1.探索菱形的判定定理；2.掌握菱形的判定定理并能灵活应用.【教学重、难点】1.重点：菱形的判定定理的掌握和灵活应用.2.难点：菱形的判定定理的灵活应用.【教具选用】教学用三角板.【教学过程】1.提出问题创设情景：上节课我们学习了菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.这节课，我们将继续探究菱形的判定定理.2.做一做：要求学生先画一条四条边都相等的四边形，然后测量它的对角线的夹角，若夹角为90 度，则可以得到“四条边都相等的四边形是菱形”.然后要求学生给出证明方法.学生证明后教师给出证明过程.已知：如图207 1.四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD 是菱形.证明：AB=CD AD=BC 四边形ABCD是平行四边形AB=AD 四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形)于是我们有判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形.3.知识能力提高：猜想：每条对角线都平分一组对角的四边形是菱形.要求学生先画出每条对角线都平分一组对角的四边形，然后测量它的四条边是否相等，验证一下我们的结论是否成立，然后要求学生给出证明方法。由此，我们得到菱形的判定定理 3：每条对角线都平分一组对角的四边形是菱形4.练一练：（基础题）（1）如图 2072：在矩形ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形 EFGH 是菱形.（能力题）（2）如图 20 73：ABC中 AB=AC，AD是 BAC的平分线，E为 AD延长线上一点，CFBE交 AD于 F，连接 BF、CE.求证：四边形BECF 是菱形.A B C D 2071A B C D E F G H 2072A B C D E F 2073名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 27 页 -5.小结：菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳，教师板书）：（1）一组邻边相等的平行四边形（2）对角线互相垂直的平行四边形（3）四条边都相等的四边形（4）每条对角线都平分一组对角的四边形6.布置作业：(基础题)（1）课本第 116 页 1、2、3 题（3 题选做）(能力题)（2）如图 207 4，ABC中，ACB 900，BE平分 ABC，CD AB于点 D，EH AB于 H，CD交 BE于点 F.求证：四边形CEHF为菱形.【课后反思】A B C D E H F 2074名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 27 页 -20.4 课题：正方形的判定(1)【教学目标】1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。【教学重点】掌握正方形的判定条件。【教学难点】合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。【教学过程】一、创设问题情景，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。1、怎样判断一个四边形是矩形？2、怎样判断一个四边形是菱形？3、怎样判断一个四边形是平行四边形？4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、讲授新课1、探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。2、正方形判定条件的应用【例 1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 27 页 -(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。师生共析：(1)是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。(2)真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。(3)假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如图20-8-1，满足 AO=CO，BO=DO 且 AC BD但四边形 ABCD 不是正方形。(4)假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC BD且 AC=BD，但四边形ABCD 不是正方形。(5)真命题。方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。方法二，对角线平分平行四边形对角线垂直平行四边形对角线相等方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。【例 2】如图 20-8-2,E、F 分别在正方形ABCD 的边 BC、CD上，且 EAF=45，试说明EF=BE+DF。师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到 EB延长线或将BE移到 FD 延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。像这种在 EB上补上 DF或在 FD补上 BE的方法叫做补短法。解：将 ADF旋转到 ABG，连结 EF 则 ADF ABG AF=AG，ADF=BAG，DF=BG EAF=45 且四边形是正方形，ADF BAE=45 GAB BAE=45 即 GAE=45 AEF AEG（SAS）EF=EG=EB BG=EB DF 菱 形矩 形正方形2081A B C D O A B C D O 20-8-2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 27 页 -【例 3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。画法：1、画线段=30cm，取 AC的中点 O。2、过点 O画 AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。3、连结 AB BC CD DA.则四边形ABCD就是所要画的正方形.证明：AO=CO,BO=DO 四边形 ABCD是平行四边形。又 AC=BD,平行四边形ABCD是矩形。AC BD 平行四边形ABCD 是菱形。四边形 ABCD 是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.三、随堂练习（基础题）1.在 ABC中，ACB 900，CD平分 ACB，DE BC，DF AC，垂足分别为E、F，求证：四边形 CFDE是正方形.（基础题）2.正方形 ABCD 的边长是a，E是 AD的中点，BM EC于 M，求 BM的长度.（能力题）3.正方形 ABCD的边长是2，P是 DC上任意一点，且PE DB于 E，PFCA于 F，求 PE+PF的长度.四、课时小结师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。五、课后作业（基础题）1.习题 14，15，16，17。（能力题）2.如图 20-8-3，在正方形ABCD 的 BC、CD边上取 E、F 两点，使 EAF=45，AG EF 于G.求证：AG=AB 解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证RtABE与 RtAGE全等，但条件不够.EAF=45 怎么用呢？显然1 2=45，若把它们拼在一起，问题就解决了.证明：把AFD绕 A点旋转 90至 AHB.EAF=45，1 2=45.2=3，1 3=45.又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.AEF AEH.20-8-3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 27 页 -正方形习题课【教学目标】1.通过练习进一步提高学生对正方形判定的灵活应用；2.综合运用四边形的性质和判定的能力.【教学重、难点】1.重点：正方形的判定定理的掌握和灵活应用.2.难点：正方形的判定定理的灵活应用.【教学过程】一、知识点回顾：1.正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：2.矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形（2）有三个角是直角的四边形（3）对角线相等的平行四边形3.菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）四条边都相等的四边形（3）对角线互相垂直的平行四边形4.正方形的性质：边：四条边都相等，对边平行。角：四个角都是直角对角线：相等、互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角对称性：是轴对称图形，共有4 条对称轴5.正方形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形（2）对角线：两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（3）矩形菱形法：既是矩形又是菱形的四边形二、巩固练习：(基础题)1.如图 20-9-1,正方形 ABCD 中，对角线的交点为O，E是 OB上的一点，DG AE于 G，DG交 OA于点 F。求证：OE=OF(基础题)2.如图 20-9-2，正方形ABCD 中，AC交 BD于 O，点 M、N分别在 AC、BD上，且 OM=ON。求证：BM=CN（能力题）3.已知：如图20-9-3，ABCD和 AKLM都是正方形，求证：MD=KB（能力题）4.已知：如图20-9-4，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CEDB，交 AB的延长线于点E，AC和 CE相等吗？为什么？有一组邻边相等且有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等A B C D E F G A B C D M N 20-9-120-9-2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 27 页 -5.如图 20-9-5，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE AC交 AD于 E。求 DCE的周长。6.如图 20-9-6，平行四边形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AC、BD分别交于E、F。试说明四边形 AFCE是菱形。三、形成性测试题(基础题)1.选择题：（1）下列判断中正确的是（）A 四边相等的四边形是正方形 B四角相等的四边形是正方形 C 对角线垂直的平行四边形是正方形 D 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形(基础题)（2）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A AC=BD，AB CD，AB=CD BAD BC，A=C CAO=BO=CO=DO，AC BD DAO=CO，BO=DO，AB=BC(基础题)2.判断：（1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？（5）能说“四个角都相等的四边形是正方形”吗？为什么？四、分类达标：(基础题)（1）如图 20-9-7，正方形ABCD中，P是 CD上一点，BE AP于 E，DFAP于 F，DAP ABE，试判断 AE与 DF的关系，并说明理由。（能力题）（2）如图 20-9-8，正方形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，E是 OB延长线上一点，ECB150。求证：EC BD A B C D K L M A B C D O E 20-9-320-9-4A B C D E O A B C D E F 20-9-520-9-6A A B C D E F P B C D E O 20-9-720-9-8名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 27 页 -课题：折纸中的平行四边形【教学目标】使同学们在动手操作过程中，加深对平行四边形判定知识的理解和应用.【教学重、难点】1.重点：对平行四边形判定综合实际应用.2.难点：对平行四边形判定综合实际应用.【教具选用】正方形纸片若干【教学过程】1.讨论：在一张长12，宽 5 的矩形纸内要折出一个菱形，李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（如图 20-10-1 中的方案一）；张丰同学沿矩形对角线AC折出 CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形 AECF（如图 1 中的方案二）.（1）运用你学习过的四边形知识，试说明李颖同学和张丰同学折得的四边形是什么特殊的四边形；（2）请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中那个四边形的面积大？2.做一做：如图 20-10-2，把矩形纸片ABCD沿 EF折叠，使点B落在边 AD上的点 B/处，点 A落在点 A/处.求证：BE=B/E 设 AE=a，AB=b，BE=c，猜想 a、b、c 之间的一种关系并给予证明.3.测评：将平行四边形纸片ABCD按照如图20-10-3 所示方式折叠，使点C于点 A重合，点D落在 D/处，折痕为 EF.求证：ABE AD/F 连接 CE，判断四边形AECF是什么特殊的四边形？证明你的结论.4.小结：折纸中蕴含的四边形知识，在日常生活中用途非常广，希望大家平时多留心.A B C D B/F A/E 20-10-2A B C D F D/E 20-10-3A B C D E F G H 方案一A B C D E F 方案二20-10-1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 27 页 -5.作业：(基础题)(1)如图 20-10-4，将矩形 ABCD沿虚线折叠，顶点D恰好落在BC边上的 F处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.(基础题)(2)如图 20-10-5，F 为矩形 ABCD的边 DC上一点，E为矩形 ABCD的边 AB上的一点，且EFAB于点 E，沿 BF折叠，恰好能使点C落在点 E上，若 AD2，则 BF .(能力题)(3)如图 20-10-6，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿 OB对折，使点A落在点 A1处，已知：OA 3，AB 1，则点 A1的坐标是 .(能力题)(4)如图 20-10-7，将矩形纸片沿对角线BD折叠，使点C落在平面上的点C1处，BC1交 AD于E，若 EBD 200，则 C1DE .(能力题)(5)如图 20-10-8,在矩形 ABCD中，AB 8，BC 10，在 CD上适当选取一点E，沿直线 AE把ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点 F处.1求 BF的长；2求 CE的长.A B C D E F A B C D E F 20-10-420-10-5A A B C D E F A B C D C1 E O B C X Y 20-10-620-10-720-10-8名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 27 页 -20.5 课题：等腰梯形的判定(1)【教学目标】1.探索等腰梯形的判定定理；2.掌握等腰梯形的判定定理并能灵活应用.【教学重、难点】1.重点：等腰梯形的判定定理的掌握和灵活应用.2.难点：等腰梯形的判定定理的灵活应用.【教具选用】教学用三角板.【教学过程】1.创设情景，导入新课：（1）提问：“等腰梯形同一底上的两个角相等”的逆命题是什么？找出逆命题的“题设”和“结论”；根据题意画出图形；写出“已知条件”和“结论”.（2）自己动手证明、展示.2 探究新知：（1）由上述证明，我们可以得到等腰梯形的判定定理“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”.（2）练习如图 20-11-1，在四边形ABCD中，A与 B互补，A与 C互补，DE BC，垂足为E，AD BC.求证：四边形ABCD是等腰梯形.已知：AD=2，BC=4，DE=2.求 AB的值.3.知识能力提高：探究：“两条对角线相等的梯形是等腰梯形”.（1）已知：如图20-11-2：梯形 ABCD中，AD BC，AC=BD.求证：四边形ABCD 是等腰梯形.（2）小组讨论后，动手做题，得出结论：两条对角线相等的梯形是等腰梯形4.应用：已知，如图20-11-3，梯形 ABCD中，AB CD，延长 AB到 E，使 BE=DC，连接 AC、CE.若AC=CE，则梯形ABCD 是等腰梯形吗？为什么？5.测评：如图20-11-4，点 E在正方形ABCD 的对角线AC上，CF BE交 BD于 G，F 是垂足.求证:四边形 ABGE 是等腰梯形.C A B C D E 20-11-1A B D 20-11-2D A B C E 20-11-3A B C D E F G 20-11-4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 27 页 -6.小结：等腰梯形的判定方法：一般是先判定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.判定一个四边形是梯形时，根据梯形定义，判定另外两边不平行比较困难，可以通过判定平行的两边不相等来说明.两条对角线相等的梯形是等腰梯形7.布置作业：(基础题)1.课本第 122 页 习题 第 20 题.(基础题)2.如图 20-11-5,点 E、F分别是矩形ABCD 的对角线AC和 BD上的点，且AE DF.求证：四边形BCFE 是等腰梯形.(基础题)3.如图 20-11-6，已知 ABC中，AB AC，BD、CE分别是平分 ABC、ACB.求证：四边形EBCD 是等腰梯形.(能力题)4.如图 20-11-7，已知 E、F 分别是梯形ABCD 的两底 AD、BC的中点，且EFBC.求证：梯形ABCD 是等腰梯形.(能力题)5.如图 20-11-8，在菱形 ABCD 中，DAB 600，过点 C作 CE AC且与 AB的延长线交于点E.求证：四边形AECD是等腰梯形.【课后反思】A B C D E F O A B C D E 20-11-520-11-6A B C D E F A B C D E 20-11-720-11-8名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 27 页 -课题：第 20 章小结与复习（1）【教学目标】1.通过复习让同学们对本章知识有一个系统的掌握；2.会灵活运用平行四边形判定定理；3.会运用平行四边形判定定理进行论证和有关计算.【教学重、难点】1.重点：四边形各判定定理的掌握和灵活应用.2.难点：四边形各判定定理的综合应用.【教具选用】教学用三角板.【教学过程】1.复习本章知识结构：2.复习平行四边形判定：如图 20121，四边形ABCD中，AD BC，OE=OF，AO=CO.问：四边形ABCD 是平行四边形吗？为什么？小组讨论该题（用多种方法来证明），复习平行四边形的判定定理.梯形矩形两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等两条对角线互相平分三个角是直角只有一组对边平行平行四边形一个角是直角对角线相等一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直一个角是直角菱形一组邻边相等且一个角是直角正方形四条边都相等同底上的两个角相等两条对角线相等等腰梯形四边形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 27 页 -3.知识能力提高：已知：如图20122：平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，EF 过点 O分别交AD、CB的延长线于点M、N.求证：四边形DMBN 是平行四边形.4.测评：如图 20123，在四边形ABCD 中，已知AB CD，点 E、F 分别为边AB、CD的中点，且 BAF=DCE.试说明：四边形ABCD 是平行四边形.5.小结：熟练掌握平行四边形的判定并会灵活应用.6.布置作业：(基础题)1.课本第 124 页 复习 A(1、2、3、4、5、6)组题.(能力题)2.如图 20-12-4，等腰梯形 ABCD 中，AD BC，M、N分别是 AD、BC的中点，E、F 分别是 BM、CM的中点.（1）求证：四边形MENF 是菱形.（2）试猜想：当等腰梯形ABCD的高和底边BC满足什么条件时，四边形MENF 是正方形.（3）证明（2）中得出的结论.【课后反思】A B C D F E 20123A B C D E F O 20121A B C D E F O M N 图 220122A B C D E F M N 20124名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 27 页 -课题：第 20 章小结与复习（2）【教学目标】熟练掌握矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定定理.【教学重、难点】1.重点：矩形、菱形、正方形、等腰梯形判定定理的掌握和灵活应用.2.难点：矩形、菱形、正方形、等腰梯形判定定理的综合应用.【教具选用】教学用三角板.【教学过程】1.复习要点：（小组讨论）（1）一个四边形需要增加哪些条件才能变成矩形？需要增加哪些条件才能变成菱形？（2）一个平行四边形需要增加哪些条件才能变成矩形？需要增加哪些条件才能变成菱形？（3）一个四边形需要增加哪些条件才能变成正方形？（4）一个平行四边形需要增加哪些条件才能变成正方形？（5）一个矩形需要增加哪些条件才能变成正方形？（6）一个菱形需要增加哪些条件才能变成正方形？（7）一梯形需要增加哪些条件才能变成等腰梯形？2.知识能力提高：（1）如图 20131，ABC中，AB=AC，AD BC于点 D，AE是BAC的外角平分线，DEAB交 AE于点 E.求证：四边形 ADCE 是矩形.（2）已知：如图 20132：ABCD 的对角线 AC的垂直平分线交 AD于点 E，交 BC于点 F，交 AC于点 O，则四边形 AECF 是菱形吗？为什么？A B C D E 20131A B C D E F O 20132名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 27 页 -3.测评：（1）如图 20133，EG、FH过正方形 ABCD 的对角线的交点O，并且 EG FH.求证：四边形 EFGH 是正方形.（2）如图 20134，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD BC，E、F分别为 AD、BC的中点，且 EF BC.求证：四边形 ABCD 是等腰梯形.4.小结：（1）同学们不要受思维定势影响，要考虑全面；（2）不要把需要证明结论当作已知条件直接应用.5.布置作业：(基础题)1.课本第 125 页 复习 B(8、9、10、11、12)C（13、14、15）组题.(能力题)2.如图 20135，在梯形 ABCD 中，AD BC，A900，AD 9cm，BC 6cm，点 P、Q分别从 A、C同时出发，点 P以 2cm/s 的速度由点 A向点 D运动，点 Q以 1cm/s 的速度由点 C向点 B运动.(1)运动几秒后，四边形APQB 是平行四边形.(2)运动几秒后，四边形PDCQ 是等腰梯形.【课后反思】20134A B C D E F A B C D E F G H 20133O A D C B Q P 2013 5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 27 页 -
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