数学建模期末考试2013A试题与答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷）-第 二 学期 考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四五六七八总分得分评阅人得分一、(满分12分) 一人摆渡但愿用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带同样东西过河，绝不能在无人看守的状况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，如何才干将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i在此岸时记xi = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x1，x2，x3，x4）表达。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u1, u2, u3, u4)，当i在船上时记ui = 1，否则记ui = 0。(1) 写出该问题的所有容许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有容许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。（3分）(4) 运用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S=(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)及她们的5个反状（3分）(2) D = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0) （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)措施：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分）得分1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一种举重能力和体重之间关系的模型：（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一种改善模型。6分解：设体重w（公斤）与举重成绩y （公斤）（1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，因此 yIS 设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S h2 再体重正比于身高的三次方，则w h3 故举重能力和体重之间关系的模型为： （6分） （2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一种最粗略的模型为 ( 12分) 得分三、(满分14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课规定如下表所示。那么，毕业时学生至少可以学习这些课程中哪些课程? 课程编号课程名称学分所属类别先修课规定 1微积分5数学 2线性代数4数学 3最优化措施4数学；运筹学微积分；线性代数 4数据构造3数学；计算机计算机编程 5应用记录4数学；运筹学微积分；线性代数 6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程 7计算机编程2计算机 8预测理论2运筹学应用记录 9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数记i=1，2，9表达9门课程的编号。设表达第i门课程选修，表达第i门课程不选, 建立数学规划模型(1) 写出问题的目的函数(4分)(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表达此约束条件? (5分)(3) 某些课程有先修课规定, 如何表达此约束条件? (5分)解 (1) (4分) (2) (9分) (3) (14分) 得分四、(满分10分) 雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的量纲= 1，用量纲分析措施给出速度的体现式.解：设, 的关系为,=0.其量纲体现式为=LM0T-1，=L-3MT0，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲. (3分)量纲矩阵为 A=齐次线性方程组Ay=0 ，即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分)由量纲PI定理 得 . ，其中是无量纲常数. (10分) 得分 五、(满分12分)设某种群 时刻的数量为 ,初始数量为 ,(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;(2) 设容许的资源环境最大数量为, 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic), 并求其平衡点.解 (1) (3分) (6分) (2) (9分) 平衡点为 和 (12分)得分六、（满分10分）设在一种岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。既有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。通过合适的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x1(t), x2(t), x3(t)假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k， （3分） （10分）得分七、（满分15分）通过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为a,b,c)中选出一种购买，选择的原则重要有价格，耗油量大小，舒服限度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵已知其最大特性值近似为4.1983.此外，下列矩阵分别是三种车型有关价格、耗油量、舒服度、及你对它们外表的喜欢限度的成对比较阵：其中矩阵的元素是分别是a,b,c三种车型对于四种原则的优越性的比较尺度.假定这些成对比较阵（涉及A）都通过了一致性检查，且已知的最大特性值与相应的归一化特性向量（见下表）：矩阵最大特性值相应归一化特性向量C13.009( 0.5396 0.2970 0.1634 )C23.119 ( 0.1056 0.7445 0.1499 )C33.086( 0.6267 0.2797 0.0936 )C43.065 ( 0.1884 0.7306 0.0810 )(1) 根据上述矩阵将四项原则在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(5分)；(2) 分别拟定哪种车最便宜、最省油、最舒服、最美丽(5分)；(3) 拟定你对这三种车型的喜欢限度（用比例表达）(5分)；解： 记4个准则价格，耗油量大小，舒服限度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则即的影响稍强即的影响强即的影响稍强因此四项原则在心目中的比重由重到轻的顺序为：价格、耗油量大小、适合程序、外观美观 (5分) (2) 考虑比较阵C1表白车型a的价格优越性高于车型b，即车型a比车型b便宜表白车型b的价格优越性高于车型c，即车型b比车型c便宜因此最便宜的车型为a. (7分)同理可得最省油的车型为b； (8分)最舒服的车型为a； (9分)最美丽的车型为b。 (10分)(3) 车型a的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41车型b的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44车型c的组合权重（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15(13分)车型a，b，c的喜欢限度分别为41%，44%，15% （15分）得分八、（满分15分）A,B,C三个厂家都生产某产品， 它们在某地区的市场占有率分别为： A厂家:40%, B厂家:40%, C厂家: 20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本状况是：A厂家的客户有60%继续用该厂家的产品，20%转为B厂家，20%转为C厂家；B厂家的客户有80%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，10%转为C厂家；C厂家的客户有50%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，40%转为B厂家。 （1）预测哪个厂家的市场占有率最大。（6分）（2）通过很长时间后来，哪个厂家的市场占有率最大？（6分）解：状态转移概率矩阵为： （2分） （4分） （6分）B厂家市场占有率最大 。 （8分） (2) 设稳态概率，则 （10分）又由于 (12分）联立解得 （14分）B厂家市场占有率最大. （15分）二、简答题（每题满分8分，共24分） 1模型的分类 答：按照模型替代原型的方式，模型可以简朴分为形象模型和抽象模型两类， 形象模型：直观模型、物理模型、分子构造模型等； 抽象模型：思维模型、符号模型，数学模型等。 2数学建模的基本环节 答：（1）建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使结识和实践进一步发展必须解决的问题。建模准备就是要理解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的多种信息，弄清实际对象的特性，状况明才干措施对； （2）建模假设：根据实际对象的的特性和建模的目的，在掌握必要资料的基本上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之挣脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程核心的一步。有目的性原则、简要性原则、真实性原则和全面性原则； （3）建模建立：在建模假设的基本上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的措施对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特性和模型的构造特点，设计或选择求解模型的数学刻画实际问题的数学模型； （4）模型求解：构造数学模型之后，再根据已知条件和数据分析模型的特性 第 3 页 共 6 页 和构造特点，设计或选择求解模型的数学措施和算法，这其中涉及解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论，特别是编写计算机程序或运用预算法相适应的软件包，并借助计算机完毕对模型的求解； （5）模型分析：根据建模的目的规定，对模型求解的数字成果，或进行变量之间的依赖关系分析，或进行稳定性分析，或进行系统参数的敏捷度分析，或进行误差分析等。通过度析，如果不符合规定，就修改或增减建模假设条件，重新建模，直到符合规定；通过度析如果符合规定，还可以对模型进行评价、预测、优化等； （6）模型检查：模型分析符合规定之后，还必须回到客观实际中对模型进行检查，用实际现象、数据等检查模型的合理性和合用性，看它与否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模，循环往复，不断完善，直到获得满意成果。目前计算机技术已为我们进行模型分析、模型检查提供了先进的手段，充足运用这一手段，可以节省大量的时间、人力和物力； （7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检查。因此，一种成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充足发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。 3数学模型的作用 答：数学建模的教学及竞赛是实行素质教育的有效途径，它既增强了学生的数学应用意识，又提高了大学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力。开展数学建模教学与竞赛对大学生能力的培养是全面的。这表目前创新精神和创新能力的培养，查阅文献资料、分析综合、抽象概括能力的培养，应用能力的培养，运用数学工具和计算机以及实践能力的培养等方面。 数学建模有助于培养学生创新精神和发明能力。数学建模的问题具有一定的开放性，没有一定的规矩可循，没有事先设定的原则答案或答案不是唯一的，具有较大的灵活性。因此需要突破老式的思维模式，面对复杂问题发挥学生的创新精神和发明力、想象力、洞察力以及解决问题的逻辑推理和量化分析能力，善于从实际问题提供的原形中抓住其数学本质，建立新颖的数学模型。 数学建模有助于培养学生双向翻译能力。它规定学生运用学过的数学知识，把实际问题翻译成数学模型，又将数学模型的成果用浅显易懂的语言翻译出来。 数学建模有助于培养学生获取文献资料信息的能力。在信息社会中，信息和知识此前所未有的速度传播和扩散，这就规定学生具有良好的获取文献资料信息的能力，以便适应现代社会技术创新和知识更新的需要。数学建模问题有强烈实际背景，波及到不同的学科领域，问题错综复杂。这就促使学生环绕实际问题广泛查阅资料，获取自己有用的材料，这大大锻炼和提高了学生自觉使用资料的能力。 数学建模有助于培养学生运用计算机及相应软件的能力。数学建模需要对复杂的实际问题和繁琐的数据进行解决。目前计算机和相应的多种软件包，不仅可以节省时间，得到直观形象的成果，有助于进一步讨论，并且可以促使学生养成自觉应用最新科技成果的良好习惯。许多较好的计算软件为求解模型或仿真模型提供了便利的平台。数学建模对提高学生使用计算机的能力是极其重要的。 数学建模有助于锻炼学生的毅力、意志。它能增强学生克服困难的信心、第 4 页 共 6 页 决心和勇气，同步培养学生团结合伙精神和交流、体现的能力，提高组织协调能力，培养其人文素质，丰富学生的知识构造。