4金融工程无套利原理应用

无套利原理的应用主要内容无套利原理远期和期权的合约价值讨论l远期价格投资资产消费资产l期权价格的上下限无红利情形有红利情形二元期权(binary)现金或无价值现金或无价值 Call(Cash-or-nothing Call):到期收益为 VT=R，当 ST K 时；VT=0，当 ST K 时.资产或无价值资产或无价值 Call(Asset-or-nothing Call):VT=ST，当 ST K 时；VT=0，当 ST K 时.C0=VA-KVC贷款的价值（1）考虑一笔1年期贷款，到期还款数额为B。借款企业在一年内用该笔贷款进行投资生产，在贷款到期日，银行的收益如右图企业资产V银行收益B AC B贷款的价值（2）银行放贷后，其在到期日的收益和某看跌期权收益相似。设企业的资产价值为V，则在贷款到期日T，贷款的价值=银行的收益，即 银行的收益=min VT,B =B-maxB-VT,0 =B-(B-VT)+贷款的价值（3）由无套利原理可得，该笔贷款t时刻的价值 =Be-r(T-t)P(V,t;B,T)，这里P(V,t;B,T)表示标的资产为V，敲定价格为B，到期日为T的欧式看跌期权在t时刻的价值.P(V,t;B,T)度量了贷款的信用风险。公司股权的价值假设公司只有一笔负债，且到期偿付金额为D；公司资产(V)=股东权益(E)+负债(D)；在债务到期日，股权价值为当VT D时，ET=VT D；当VT r,则远期汇率小于现货汇率，即外汇远期贴水；l若rf rl。这时远期和期货的价格区间为l对于远期多头，期初卖空S，期末执行远期还S，则收益=Sexprl(T-t)-F；l对于远期空头，期初借钱买入S，期末执行远期还钱，则收益=F-Sexprb(T-t)。()(),lbr T tr T tttS eS e摩擦市场的定价-存在卖空限制因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设卖空限制增加的成本比例为X，那么远期和期货价格区间为l注意，卖空出现在持有远期多头的情形，对于远期空头方不受影响。()()(1),r T tr T tttX S eS e非完美市场的定价公式如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间为：完美市场可以看成是X=0,Y=0,rb=rl=r 的特殊情况。()()(1)(1),(1)lbr T tr T tttX SY eSY e消费资产消费资产主要是为了进行消费而持有的资产。消费资产的使用者认为持有实实在在的商品要比持有期货或远期合约更有好处。投资资产是众多投资者仅为了进行投资而持有的资产。只要有利可图，这些投资者会卖出他们的持有物并买入远期。消费商品的远期价格消费商品(石油，玉米)一般不支付收益，但会有很大的贮存成本。设成本现值为U。如果某消费商品的远期价格F0满足 F0 (S0+U)exprT,那么市场上存在套利机会。因此，对于消费类商品的远期价格应满足 F0 (S0+U)exprT。Short：借钱买入S并交纳存储费，同时持有远期空头对于投资资产的远期这时也存在套利机会：卖出S并持有远期多头。便利收益对于消费类商品，通过持有现货，即实际商品可以使生产商从暂时的当地商品短缺中获利，或者具有维持生产线运行的能力。这种持有实际商品现货带来的好处称为商品的便利收益。如果已知贮存成本的现值U,那么使得 F0expgT=(S0+U)exprT 成立的g，就定义为便利收益便利收益。期限结构设F1和F2是基于同一种商品的两份期货，到期日分别为T1 和 T2，且T2T1，则 F2 F1expr(T2-T1)。否则，F2F1exp(r(T2-T1)。这时持有到期为T1的多头，和到期T2的空头。在T1时借F1买入商品并持有到T2；在T2时用商品换成F2，并还钱F1exp(r(T2-T1),套利出现。T1T20练习 黄金的现价为每盎司$1100,一年后交割的黄金远期价格为每盎司$1300。一位套利者可以10%的年利率借到钱。问：套利者该如何操作才能获利？假设黄金本身不产生收入，储存费用为U且到期支付。总结由现货-远期平价公式知l远期(期货)与现货的相对价格只与持有成本有关，与预期未来现货的涨跌无关。l标的资产的现货价格对同一时刻的远期(期货)价格有重要的制约关系。l理论上远期(期货)价格取决于现货价格，但在实际中体现为远期(期货)价格与现货价格同时对新信息做出反应。实证表明远期(期货)价格有价格发现功能。期权价格的性质期权价格的上限看涨期权在任何情况下，其价值都不会超过股票的价值，即 c0 S0，C0 S0看跌期权在任何情况下，其价值都不会超过敲定价格K的现值，即 p0 Ke-rT，P0 Kc和p表示欧式期权，C和P表示美式期权。否则，卖出C买入S否则，卖出P并存入银行欧式期权价值的估计对0,T)中的任意时刻t,有 (St Ke-r(T-t)+ct St (Ke-r(T-t)-St)+pt Ke-r(T-t)平价公式(call-put parity)ct+Ke-r(T-t)=pt+St，对0,T中的所有时刻t都成立。不支付红利：Put-Call Parity考虑下面两个投资组合组合1：买欧式看涨，买面值为K的零息贴现债券；组合2：买欧式看跌和标的股票。在到期日，两个组合的价值都是 max(ST,K)由无套利原理II知，c0+Ke-rT=p0+S0 欧式看涨期权-套利机会?设 c0=$3 S0=$20 T=1年 r=10%(年利率)K=$18 D=0(不支付红利)是否存在套利机会?（e-0.1=0.9048；18e-0.1=16.2871；17e0.1=18.79）由于c018,执行call，买入股票并偿还。总收益18.79-18=$0.79。欧式看跌期权-套利机会?设 p0=$1 S0=$37 T=0.5年 r=5%(年利率)K=$40 D=0(不支付红利)是否存在套利机会?（e0.025=1.0253；40e-0.025=39.0124；38e0.025=38.9614）由于p0 Ke-rT-S0，故存在套利机会：初始时刻，借款$38买put和股票，期限半年，到期还银行38e0.025=38.9614；半年后，S S0(1-e-rT)故 V0 S0 这说明，投资者希望只投资S0,并享有收益maxST,S0是不现实的，因为投行或保险公司不可能免费提供这种服务。本金保底产品的设计向顾客收取一次性费用，费用的大小是 V0-S0不多收取本金，但调整产品的到期收益为 S0+p max ST-S0,0 其中，p介于0，1之间，称为投资参与百分比。p的选取是使得投资额与S0相等。美式和欧式期权比较美式期权的持有人总是有机会提前实施。与欧式期权相比，美式期权的持有人有更多获益的机会，故其价值不小于相应的欧式期权，即 Ct ct Pt pt否则，卖出欧式，买入美式美式期权价值的估计对0,T)中的任意时刻t,有lct Ct；pt Pt lCt(St-K)+；Pt(K-St)+在不支付红利的情形下，有lCt=ctlSt-K Ct Pt St Ke-r(T-t)(St-K)+(St Ke-r(T-t)+K2,则 0 ct(K2)-ct(K1)K1K2 0 pt(K1)-pt(K2)K1K2 续设 K=K1+(1-)K2,0,1,则有 ct(K)ct(K1)+(1-)ct(K2)，pt(K)pt(K1)+(1-)pt(K2)。对任意 0,有 ct(St,K)=ct(St,K)，pt(St,K)=pt(St,K)。红利对欧式期权价格下界的影响rTKeDSc0000SKeDprT组合1：c+D+Ke-rT组合2：S在到期日，V1=maxST,K+DT V2=ST+DT组合1：D+Ke-rT组合2：p+S在到期日，V2=maxST,K+DT V1=DT+K红利对期权价格的影响欧式期权平价公式：D 0 c0+D+Ke-rT=p0+S0 美式期权：D 0 S0-D-K C0 P0 S0-Ke-rT (思考？)支付红利的美式Call（红利率q）若不提前实施,在到期日T的收益为(ST-K)+；若在t时刻股价上升到一定程度,则立即实施：借现金K买入股票St,只要St足够大，使得红利qSt足以抵消贷款利息K(er(T-t)-1),于是提前实施所得收益就可能超过不提前实施的收益。由于红利的存在,当原生资产的价格上升到一定程度,提前实施美式看涨期权是明智的。影响期权价格的因素 cpCP变量SKTrD+?+到期日对价值的影响在不考虑红利的情形下，当T1 T2时，欧式看涨期权 ct(K,T1)ct(K,T2)对于美式期权，显然有：当T1 T2时，Ct(K,T1)Ct(K,T2)影响期权价格的因素 cpCP变量SKTrD+?+