单调性与最大(小)值课件

课题导入课题导入 函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？能说出它们的变化规律吗？xy02-22-2xy022-2-2保持量（百分数）保持量（百分数）天数天数1 2 3 4 5 6020406080100 某市一天的温度变化图某市一天的温度变化图:yf(x)，x0，24说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能过程与方法过程与方法 理解函数的最大（小）值及其几何意义，学会运理解函数的最大（小）值及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质用函数图象理解和研究函数的性质 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识以形识数的解题意识 利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性积极性情感态度与价值观情感态度与价值观 教学重难点教学重难点 重点重点函数的最大（小）值及其几何意义函数的最大（小）值及其几何意义.难点难点利用函数的单调性求函数的最大（小）值利用函数的单调性求函数的最大（小）值.问题问题1画出画出f(x)=x的图像，并观察其图像。的图像，并观察其图像。2、在区间、在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值的值随着随着 _.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?上升上升(-,)增大增大1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.问题问题2画出画出 的图像，并观察图像的图像，并观察图像.2f(x)=xo5-5-552、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _.(-,0(0,+)减小减小2f(x)=x增大增大 对于二次函数对于二次函数 ，我们可以这样描述，我们可以这样描述“在区间在区间 上，随上，随x的增大，相应的的增大，相应的f(x)也随也随着增大着增大”.2f(x)=x(0,+)在区间在区间 上，任取两个上，任取两个 ，得到，得到(0,+)12x,x221122f(x)=x,f(x)=x，当，当12x x时，有时，有12f(x)f(x)这时，我们就说函数这时，我们就说函数 在区间在区间 上是这上是这增增函数函数.2f(x)=x(0,+)xy21013 （1）对于函数）对于函数y=f(x)，若在区间，若在区间 当当x1时时,y1;当当 x2时时,y3,能说在区间能说在区间 I 上函数值上函数值 y 随自变量随自变量 x的增大而增大吗的增大而增大吗?对于函数对于函数y=f(x)，若在区间，若在区间 当当x1,2,3,4,时时,相应地相应地 y1,3,4,5，能说在区间，能说在区间 函函数值数值y 随自变量随自变量x 的增大而增大吗？的增大而增大吗？xy103421234x xy yx10 x2x3xny1y2y3ynx应该取区间应该取区间 内所有实数内所有实数 y=f(x)若若x取无数取无数个呢个呢?能否仿照前面的描述，说明函数能否仿照前面的描述，说明函数 在区间在区间(-,0(-,0上是减函数吗？上是减函数吗？2f(x)=x 在区间在区间(-,0 上，任取两个上，任取两个 ，得到，得到12x,x221122f(x)=x,f(x)=x，当，当12x f(x)这时，我们就说函数这时，我们就说函数 在区间在区间 上是这上是这减减函数函数.2f(x)=x(0,+)函数单调性的概念：函数单调性的概念：一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在在区间区间D上是上是增函数增函数,如图如图1.1 1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于，如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数,如图如图2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图1yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图图2 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的性质，是函数的局部性质局部性质.2、必须是对于区间、必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别是分别是增函数和减函数增函数和减函数.在某区间上，在某区间上，减函数减函数图象下降。图象下降。增函数增函数图象上升图象上升xyoxyo 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.函数的单调性定义函数的单调性定义例例1 下图是定义在区间下图是定义在区间-4,5上的函数上的函数y=f(x)，根，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？间上，它是增函数还是减函数？1 2 345-1-2-3-4-2-323o解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有-4，-2)，-2，-1)，-1，1)，1，3)，3，5,其中其中y=f(x)在区间在区间-4，-2)，-1，1)，3，5上是增函数，在区间上是增函数，在区间-2，-1)，1，3)上是减函数上是减函数.例例2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大将增大,试用函数单调性证明之试用函数单调性证明之.kp=(k)V为为正正常常数数分析：按题意就是证明函数分析：按题意就是证明函数 在区间在区间 上是减函数上是减函数.kp=v(0,+)证明：根据单调性的定义，设证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域是定义域(0，+)上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且V1V2，则，则21121212V-Vkkp(V)-p(V)=-=kVVV V由由V1，V2(0，+)且且V10,V2-V1 0又又k0,于是于是12p(V)-p(V)021 p(V)p(V)即即所以，函数所以，函数 是减函数是减函数.也就也就是说，当体积是说，当体积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大.kp=,V(0,+)V取值取值定号定号作差变形作差变形结论结论用定义证明函数单调性的步骤是：用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值）取值（2）作差变形）作差变形（3）定号）定号（4）判断）判断根据单调性的定义得结论根据单调性的定义得结论 即取即取 是该区间内的任意两个值且是该区间内的任意两个值且12x,x12x x 即求即求 ，通过因式分解、配方、有，通过因式分解、配方、有理化等方法理化等方法12f(x)-f(x)即根据给定的区间和即根据给定的区间和 的符号的确定的符号的确定 的符号的符号21x-x12f(x)-f(x)例例 求证：函数求证：函数 在区间在区间 上是单上是单调增函数调增函数1f(x)=-1x0+，则，则证明：在区间（证明：在区间（0，+）上任取两个值）上任取两个值 且且 12x,x12x x12121212x-x11f(x)-f(x)=-+=xxx x又因为又因为 ，所以说，所以说12x-x 012f(x)-f(x)0,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2).0,+证明：证明：（1）在区间在区间(0，+)上，设上，设x1,x2是是(0，+)上上任意两个实数，且任意两个实数，且x1x2，则，则（2）在区间（）在区间（-，0）上，同理可得到函数）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在（在（-，0）上是减函数。综上所述，函数）上是减函数。综上所述，函数f(x)=1/x 在定义域上是减函数在定义域上是减函数.下列两个函数的图象：下列两个函数的图象：图图1ox0 xMyyxox0图图2M观观 察察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？f(x)M 2f x=-x+1 xR数数例例如如函函(0)=1O122、存在、存在0，使得，使得(0)=1.1、对任意的、对任意的 都有都有(x)1.xR1是此函数的最大值是此函数的最大值M是函数是函数y=f(x)的最大值（的最大值（maximum value）：）：0 xI 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 .0f(x)=M 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果实，如果实数数M满足：满足：（1）对于任意的的）对于任意的的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 ，那么我们称那么我们称M是函数是函数y=f(x)的最小值（的最小值（minimun value）.0 xI0f(x)=M 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？的最小值的定义呢？函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？是是 如果在函数如果在函数f(x)定义域内存在定义域内存在x1和和 x2，使对，使对定义域内任意定义域内任意x都有都有 成立，由成立，由此你能得到什么结论？如果函数此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是的最大值是b，最小值是最小值是a，那么函数，那么函数f(x)的值域是的值域是a，b吗？吗？12f(x)f(x)f(x)函数函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值在定义域中既有最大值又有最小值.探究探究:函数单调性与函数的最值的关系函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间m，n(mn)上单调递增，上单调递增，则函数则函数y=f(x)的最值是什么？的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当当x=m时，时，f(x)有最有最小值小值f(m)，当，当x=n时时,f(x)有最大值有最大值f(n).(2)若函数若函数y=f(x)在区间在区间m，n上单调递减，则函数上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当当x=m时，时，f(x)有最有最大值大值f(m)，当，当x=n时，时，f(x)有最小值有最小值f(n).(3)若函数若函数 则函则函数数y=f(x)在区间在区间m,n上的最值是什么？上的最值是什么？2f(x)=a(x-l)+h(a 0,m l n)mnf(m)Oxyf(n)lf(l)最大值最大值f(l)=h，有最小值，有最小值f(m),f(n)中较小者中较小者.24 .hth t=-4.9t+14.7t+18,?1?例例菊菊花花 烟烟花花是是最最壮壮观观的的烟烟花花之之一一 制制造造时时一一般般是是期期望望在在它它达达到到最最高高点点时时爆爆裂裂 如如果果烟烟花花距距地地面面的的高高度度米米与与时时间间 秒秒之之间间的的关关系系为为:那那么么烟烟花花冲冲出出后后什什么么时时候候是是它它爆爆裂裂的的最最佳佳时时刻刻 这这时时距距地地面面的的高高度度是是多多少少精精确确到到 米米解：做出函数解：做出函数 的图像。显然，的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度地面的高度.2h(t)=-4.9t+14.7t+18oth43215101520由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数2h(t)=-4.9t+14.7t+18，我们有，我们有当当 时，函时，函数有最大值数有最大值14.7t=-=1.52(-4.9)24(-4.9)18-14.7h=294(-4.9)所以，烟花冲出所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为时距离地面的高度约为29m.例例5 已知函数已知函数 ，求函数的最大，求函数的最大值与最小值与最小.1f(x)=(x3,5)x-2 分析：由函数的图象可知道，此函数在分析：由函数的图象可知道，此函数在3，5上上递减。所以在区间递减。所以在区间3，5的两个端点上分别取得最大的两个端点上分别取得最大值与最小值值与最小值.解：设解：设 是区间是区间3，5上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且 ，则，则12x,x12x 0,(x-2)(x-2)0,于是于是12f(x)-f(x)0即即12f(x)f(x)所以，此函数在区间所以，此函数在区间3,5的两个端点上分别取得的两个端点上分别取得最大值与最小值即在最大值与最小值即在x=3时取得最大值是时取得最大值是1，在，在x=5时取得最小值为时取得最小值为0.5.课堂小结课堂小结 2、函数单调性的定义；、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；、单调函数的图象特征；4、函数的最值：、函数的最值：最大值最大值最小值最小值5、函数的最值的求法、函数的最值的求法（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;（2）利用图象求函数的最值）利用图象求函数的最值;（3）利用函数单调性求函数的最值）利用函数单调性求函数的最值.高考链接高考链接 12007f x=1-x （年年广广东东）函函数数在在区区间间的的最最小小值值为为23 课堂练习课堂练习 1.填表填表函数函数单调区间单调区间y=kx+bk0（）ky=(k0)xk 0k 0k 0a 1为常数，如果当为常数，如果当x1,b时，函数时，函数 的值域也是的值域也是1,b,求求b的值的值.213f(x)=x-x+22xy011解：因为解：因为22131f(x)=x-x+=(x-1)+1222所以所以f(x)在在x=1时取得最小值为时取得最小值为1，又因为，又因为x1,b，由由f(x)的图像可知道在区间的图像可知道在区间1,b上是递增的，所以上是递增的，所以213f(b)=b-b+=b22得得b=3或或b=-1，因为，因为b1，所以说所以说b=3.教材习题答案教材习题答案 1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产由此可见，并非是工人越多，生产效率即越高效率即越高.2.增区间为：增区间为：8,12,13,18;减区间为减区间为12,13,18,20.