二次函数专题训练

二次函数专题训练(含答案)一、填空题：11. 把抛物线y=-x2向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2. 函数y2x2+x图象-的-对称轴是，最大值是.3. 正方形边长为3,如果边长增加x面积就增加y,那么y与x之间的函数关系是.4. 二次函数y-2x2,8x-6，通过配方化为ya(x-h)2,k的形为.5. 二次函数yax2+c(c不为零)，当X取X,X2(X工X2)时，函数值相等，则X与X2的关系是.6. 抛物线yax2,bx,c当b=0时，对称轴是，当a,b同号时，对称轴在y轴侧，当a,b异号时，对称轴在y轴侧.7. 抛物线y-2(x,1)2-3开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.&若a0,则函数y2x2,ax-5图象的顶点在第象限；当x-a时，函数值随x的增大4而.9. 二次函数yax2,bx,c(aMO)当aO时，图象的开口a0时，图象的开口,顶点坐标是.1/7、一10. 抛物线y=2(xh)2，开口，顶点坐标是，对称轴是.11. 二次函数y-3(x)2+()的图象的顶点坐标是(1,-2).12. 已知y1(x+1)2-2,当x时，函数值随x的增大而减小.13. 已知直线y2x-1与抛物线y5x2,k交点的横坐标为2,贝yk=，交点坐标为.2 /7、714. 用配方法将二次函数yx2+-x化成ya(x-h)2,k的形式是.15. 如果二次函数yx2-6x,m的最小值是1,那么m的值是.二、选择题：16. 在抛物线y2x2-3x,1上的点是()(1)A. (0,-1)B.,0C.(-1,5)D.(3,4)12丿5宀117.直线y=2x2与抛物线y=x2丄x的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.互相重合的两个18关于抛物线y二ax2,bx,c（aMO）,下面几点结论中，正确的有（） 当aO时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当aO时，情况相反. 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点. 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同. 一元二次方程ax2+bx+c=0（aMO）的根，就是抛物线y二ax2,bx,c与x轴交点的横坐标.A.B.C.D.19.二次函数y=（x+1）（x-3），则图象的对称轴是（）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数y=ax+b的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函y二ax2,bx-3的大致图象是（）图代13-2-1221若抛物线y二ax2,bx,c的对称轴是x=2,则：=()b1 1A.2B.C.4D.2 422若函数y=a的图象经过点（1,-2），那么抛物线y=ax2,（a1）x,a,3的性x质说得全对的是（）A. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B. 开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C. 开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交23.二次函数y=x2,bx,c中，如果b+c=O，则那时图象经过的点是（）A.（-1，-1）B.（1，1）C.（1，-1）D.（-1，1）a24函数y=ax2与y=（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）x图代13-3-1325. 如图代13-3-14,抛物线y二x2bxc与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B,C两点，且BC=3，S=6，则b的值是（）ABCA.b=5B.b=-5C.b=5D.b=426. 二次函数y二ax2（a0）,若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是（）A.X取任何实数B.x,0C.xOD.x0或x0（）A.y=2（x一4）26B.y=2（x一4）22C.y2（x一2）22D.y3（x一3）2228.二次函数yx2ykx9k2（k0）图象的顶点在（27.抛物线y二2（x-3）24向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为A.y轴的负半轴上B.y轴的正半轴上C.x轴的负半轴上D.x轴的正半轴上129. 四个函数：y=-x,yx1,y=-（x0）,yx2（x0）,其中图象经过原点的函数有（）xA.1个B.2个C.3个D.4个30. 不论x为值何，函数yax2bxc（aMO）的值永远小于0的条件是（）A.aO,AOB.aO,A,0C.a,0,A0D.a0,A,0三、解答题31. 已知二次函数yx22ax-2b1和y-x2（a-3）xb2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M，N,求a，b的值.,一132已知二次函数yax2bxc的图象经过点A（2,4），顶点的横坐标为2，它的图象与x轴交于两点B（x，0），C（x，0），与y轴交于点D,且x2x213，试问：y轴上是否存在点P,使得APOB与1212DOC相似（0为坐标原点）？若存在，请求出过P,B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33. 如图代13-3-15,抛物线与直线y=k（x-4）都经过坐标轴的正半轴上A,B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C,且ZABC=90，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13315图代1331634. 中图代13-3-16，抛物线y，ax2-3xc交x轴正方向于A,B两点，交y轴正方向于C点，过A,B，C三点做0D,若0D与y轴相切.(1)求a,c满足的关系；(2)设ZACB=a,求tga；(3)设抛物线顶点为P,判断直线PA与00的位置关系并证明.35. 如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A，D是两侧高为5.5米的支柱，0A和0A为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：4.求(1)桥拱DGD所在抛物线的解析式及CCZ的长；(2)BE和B，E为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A，B为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A，B，的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从0A(或0A,区域安全通过？请说明理由.36.已知：抛物线y，X2-(m4)xm2与x轴交于两点A(a,0),B(b,0)(ab).O为坐标原点，分别以0A,0B为直径作00和002在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37. 如果抛物线y,-x2+2(m一1)x+m+1与x轴都交于A,B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x同的负半轴上，0A的长是a,0B的长是b.(1) 求m的取值范围；(2) 若a:b=3:1,求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3) 设(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问：抛物线上是否存在点P,使厶PAB的面积等于ABCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.38. 已知：如图代13-3-18,EB是00的直径，且EB=6,在BE的延长线上取点P,使EP=EB.A是EP上一点，过A作00的切线AD，切点为D,过D作DF丄AB于F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于H,连结ED和FH.5图代13-3-18 若AE=2,求AD的长.ADED 当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时,是否总有试证AHFH明你的结论;设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.39.已知二次函数yx2一（m2一4m+)x一2(m2一4m+9）的图象与x轴的交点为A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C. 若厶ABC为RtA,求m的值； 在厶ABC中，若AC=BC,求ZACB的正弦值； 设厶ABC的面积为S,求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19,在直角坐标系中，以AB为直径的0C交x轴于A,交y轴于B,满足OA:OB=4:3,以0C为直径作OD,设0D的半径为2.图代13-3-19 求0C的圆心坐标. 过C作0D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式. 抛物线yax2+bx+c（aMO）的对称轴过C点，顶点在OC上，与y轴交点为B,求抛物线的解析式.141.已知直线y2x和y，x+m，二次函数y=x2+px+q图象的顶点为M.厶1一一 若M恰在直线y2x与y，x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数yx2+px+q的图象与直线y-x+m总有两个不同的交点. 在（1）的条件下，若直线yx+m过点D（0,-3）,求二次函数yx2+px+q的表达式，并作出其大致图象.67图代13-3-20# 在(2)的条件下，若二次函数y二X2pxq的图象与y轴交于点C,与X同1的左交点为A，试在直线y=2X上求异于M点P,使P在ACMA的外接圆上.42.如图代13-3-20,已知抛物线y=一x2+ax+b与x轴从左至右交于A,B两点，与y轴交于点C,且ZBAC=a,ZABC=B,tga-tgB=2,ZACB=90.(1) 求点C的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 若抛物线的顶点为P,求四边形ABPC的面积.动脑动手1.设每件提咼x兀(0WxW10),即每件可获利润(2+x)兀，则每天可销售(100-10x)件，设每天所获利润为y元，依题意，得y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360.当x=4时(0WxW10)所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元2.Vy=mx2，(43m+x+4,I3丿#当x=0时,y=4.当mx23m+4x+4=0,m丰0时m3丿=3,m2#即抛物线与y轴的交点为(0,4),与x轴的交点为A(3,0),b：,013m丿(1) 当AC=BC时,434=-3,m=-.3m9(2)当AC=AB时,AO3,OC4,AC5.3-3；51当m时，y62当m-3时，y-当AB=BC时,1x262x2+311/一x+4；6:2/3(3)3-43m42+8m-.744/21可求抛物线解析式为：y-9x2+4,y11x,4,y-2x263y-8x2,44x,4.7213.(1)VA-(m2一5)2一4(2m2,6)m2+2m2+1(m2+1)20图代13-3-21不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.令y=o,得x2一(m2,5)x,2m2,6=0(x2)(xm23)0,x=2,x=m23.12两交点中必有一个交点是A（2,0）.（2）由（1）得另一个交点B的坐标是（m2+3,0）.d=m2+3一2=m2+1.*m2+100,d=m2+1.(3) 当d=10时，得m2=9.A(2,0),B(12,0).y=x2-14x24=(x-7)2-25.该抛物线的对称轴是直线x=7,顶点为(7,-25),.AB的中点E(7,0).过点P作PM丄AB于点M,连结PE,则PE=AB=5,PM2=b2,ME2=(7一a)2,2(7-a)2b2=52.点PD在抛物线上，b=(a7)225.解联合方程组，得bi=，1，b2=0-当b=0时，点P在x轴上,ABP不存在，b=0,舍去.b=1.注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.AABP为锐角三角形时，贝卜25Wb-1；大；9.向上，(b4ac一b2向下，24a兀_b2a10.向下，(h,0),x=h；11.-1,-2；8.四，增12.x-113.-17，(2，3)；14.15.10.9#二、选择题23.B24.D25.B26.D27.C28.16.B17.C18.A19.A20.C21.D22.BC29.A30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M（X,0）,N（x2，0）,且X工x2，贝则X,x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，x,x=-2a,xx=-2b,1.1212x2又是方程一x2+（a一3）x+b2-1=0的两个实数根,x+x=a-3,xx=1-b.12122一2a=a3,2b,1=1b2.解得当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点,a=1,b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数y=x2+2x一3和y=x2一2x+3符合题意.a=1，b=2.a3T解法二：二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象对称轴为x=a,二次函数y=x2+(a3)x+b21的图象的对称轴为x=又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M,N,.两个二次函数图象的对称轴为同一直线.a3a=.2解得a=1.两个二次函数分别为y=x2+2x一2b+1和y=一x2依题意，令y=0,得x2,2x2b,1=0,x22x,b21=0.+得b22b=0.解得b=0,b=2.12a=1,、a=1,b=0;或b=2.当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点,a=1,b=0舍去.1112当a=1,b=2时，二次函数为y，x2+2x一3和y，x2-2x+3符合题意.a=1，b=2.32.解：y，ax2+bx+c的图象与x轴交于点BQ,0）,C（x2，0）,bcx+x，一一,x-x，12a12a又x2+x2，13即（x+x）2一2xx，13,121212.（b）22-，13.aa1又由y的图象过点A（2,4）,顶点横坐标为2，则有4a+2b+c=4，_b_12a2解由组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.y=-x2+x+6.与x轴交点坐标为（-2,0）,（3,0）.与y轴交点D坐标为（0,6）.设y轴上存在点P，使得POBsDOC,则有（1）当B（-2,0）,C（3,0）,D（0,6）时，有OB，OP,OB，2,OC，3,OD，6.OCOD:.OP=4，即点P坐标为（0,4）或（0,-4）.当P点坐标为（0,4）时，可设过P,B两点直线的解析式为y=kx+4.有得0=-2k-4.k=-2.y=-2x-4.B，OP,OB，2,OD，6,OC，3.ODOCOP=1，这时P点坐标为（0,1）或（0,-1）.当P点坐标为（0,1）时，可设过P,B两点直线的解析式为y=kx+1.有得0=-2k+1.x+1当P点坐标为（0,-1）时，可设过P,B两点直线的解析式为y=kx-1,有0=-2k-1,#13得(2)y=3x-9,_11y_3X1当B(3,0),C(-2,0),D(0,6)时，同理可得y=-3x+9，或或或33. 解:(1)在直线y=k(x-4)中,令y=0，得x=4.A点坐标为(4,0).#OB_OA即0B2=0A0C.ZABC=90.CBDs&AO,#CO=1,OA=4,OB2=1X4=4.OB=2(OB=-2舍去)B点坐标为(0,2).1将点B(0,2)的坐标代入y=k(x-4)中，得k_-.厶直线的解析式为：y_2x,2.(2)解法一：设抛物线的解析式为y_a(x+1)2+h，函数图象过A(4,0),B(0,2),得25a,h_0,a,h_2.解得抛物线的解析式为125a_,h_.1212y_1(x,1)2,兰.1212解法二：设抛物线的解析式为：y_ax2+bx+c,又设点A(4,0)关于x=-1的对称是D. CA=1+4=5, CD=5. OD=6.D点坐标为(-6,0).将点A(4,0),B(0,2),D(-6,0)代入抛物线方程，得16a+4b+c0,，c2,36a-6b+c0.解得抛物线的解析式为:1yx2121.12a,b,c2126x+2.614#,即ac=1.AE1AB.2c234. 解：（1）A,B的横坐标是方程ax2-3x+c0的两根，设为x,x（x.x）C的纵坐标是C.又Ty轴与00相切,OA0B=0C2.xx=C2.12又由方程ax2-3x+c0知caZACB1ZADBZADEaa0,xx,219一4acAE52aED=OC=c，#AE5豹DET(3)设ZPAB=B,，又Va0,P点的坐标为f牛，-2j2a4a丿15#.在RtAPAE中,PE=4a#tgP竺J5AE2tgB=tga.B=a.ZPAE=ZADE.ZADE+ZDAE=90PA和0D相切.35解：（1）设DGD所在的抛物线的解析式为yax20.4545该大型货车可以从OA(OAO区域安全通过.36.解：（1）T00与00外切于原点0,12A,B两点分别位于原点两旁，即a2,a+b，m+40,ab，m+20. a0,b0. O01与O02都在y轴右侧，并且两圆内切.37解:（1）设A,B两点的坐标分别是（x,0）、（x,0）,12TA,B两点在原点的两侧，xx0,即（m+1）1.，2(m一1)2一4x(一1)x(m+1)，4m2一4m+81，4(m一一)2+7当m1时，A0,m的取值范围是m-1.(2)*.*a:b=3:1,设a=3k,b=k(k0),则x=3k,x=k,123k-k，2(m-1),3k-(-k)，-(m+1).解得m，2,m1214m=3时，3+丁一3（不合题意，舍去）,m=2抛物线的解析式是y，-x2X3.B(-1,0)(3)易求抛物线y，-X22x3与X轴的两个交点坐标是A(3,与y轴交点坐标是C(0，3)，顶点坐标是M(1,4).设直线BM的解析式为y，pxq，4=p-1+q,则0，p-(-1)+q.解得P，2,q，2.直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N,则N点坐标是(0,2),SABCMABCNAMNC18#1.设P点坐标是(x,y),，8SAABPABCM#ABx|y|，8x1.4x|y|，8.|y|=4y，4.当y=4时，P点与M点重合，即P(1,4),当y=-4时，-4=-x2+2x+3,解得x，122.满足条件的P点存在.P点坐标是(1,4),(122,-4),(1-22,-4).38.(1)解：TAD切00于D,AE=2,EB=6,AD2=AEAB=2X(2+6)=16.AD=4.#19#图代13-2-23EDFHAD(2)无论点A在EP上怎么移动(点A不与点E重合)，总有AH证法一：连结DB,交FH于G,AH是00的切线，ZHDB=ZDEB.又BH丄AH,BE为直径,ZBDE=90有ZDBE=90-ZDEB=90-ZHDB=ZDBH.在厶DFB和ADHE中，DF丄AB,ZDFB=ZDHB=90,DB=DB,ZDBE=ZDBH,DFBsDHB.BH=BF,.BG丄FH,.EDFH,BHF是等腰三角形.即BD丄FH.ADEDAHFH图代13-3-24证法二：连结DB,AH是00的切线，ZHDB=ZDEF.又DF丄AB,BH丄DH,ZEDF=ZDBH.以BD为直径作一个圆，则此圆必过F,H两点，,ZDBH=ZDFH,.ZEDF=ZDFH.EDFH.ADEDAHFHED=x,BH=,BH=y,BE=6,BF=BH,EF=6y.#第17页共22页又TDF是RtABDE斜边上的高，：DFEsbde,EFEDEDEB，即ED2已卩-EB.:.x26(6-y),即y=一丄x2+6.6点A不与点E重合，：ED=x0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD,则OD丄PH.：ODBH.POPE+EO6+39,PB=12,OD竺BHOD1空4,BHPBPOBFBH4,EF=EBBF=64=2,由ED2=EFEB得x22612,x0，x23.0xW23.+6中，得x23)1(或由BH=4=y，代入y，匚x26故所求函数关系式为y-：x2+6(0xW23).639.解：yx2(5)/m一4m+x一2m2一4m+2丿(9)(x+2)x一m2一4m+,2丿220第17页共22页2#第17页共22页(ABC为直角三角形，OC(9)(9)m24m+,0,C0,，2m24m+2丿2丿可得A(2,0),B2AO-OB,(9)即4m2一4m+2丿化得(m-2)20.m=2.(2)AC=BC,CO丄AB,.AO=BO,即m24m+9=22#第17页共22页2#第17页共22页(9)：.OC2m2一4m+2丿4.：ACBC_J2#第10页共22页#第10页共22页过A作AD丄BC，垂足为D,ABOC=BCAD.ADSinZACBAD2图代13-3-25#第10页共22页#第10页共22页(3)S1AB，COAABC21,9J/9)m24m+2，2m24m+2L2丿L2丿(u+2)u(u+1)21.32A点坐标为，0I5丿B点坐标为221c5当u2,即m2时，皿最小值，最小值为440.解:(1)VOA丄OB,0A：0B=4：3,0D的半径为2,0C过原点，OC=4,AB=8.OC的圆心C的坐标为(2)由EF是OD切线，OC丄EF.CO=CA=CB,ZCOA=ZCAO,ZCOB=ZCBO.RtAAOBsRtAOCEsRtAFCO.OEOCOFOCABOA，ABOBOE5,OF20.E点坐标为（5,0）,F点坐标为凶切线ef解析式为y，-3X?.22第10页共22页#第10页共22页（3）当抛物线开口向下时，由题意,得抛物线顶点坐标为,可得#第10页共22页#第10页共22页-b,16_2a_5，4ac-b2324a524c，.55a，32nb，1,24c，.5#第10页共22页#第10页共22页当抛物线开口向上时，顶点坐标为b,16_2a_5，4acb284a524c，.55a，,8nb，4,24c，5524X2X3254，得丿#第10页共22页245综合上述，抛物线解析式为y，32X2X?或y，5X24X24.3258541.（1）证明：由#第10页共22页#第10页共22页12X，#第10页共22页y，xm,1x，xm,23 21x，m,x，m,y，m.233交点M（3m,Jm）.(2)2此时二次函数为y=X-3m3丿4 41=x2-mxm2m.3 93由联立，消去y,有丫4)0.无论m为何实数值，二次函数y=X2+px+q的图象与直线y=-xm总有两个不同的交点.图代13-3-26(2)解：直线y=-x+m过点D(0,-3),-3=0+m,m=-3.M(-2,-1).二次函数为y=(x+2)2一1=x2一4x+3=(x+3)(x+1).图象如图代13-3-26.(3)解：由勾股定理，可知CMA为Rt，且ZCMA=RtZ,.MC为ACMA外接圆直径.1(1)P在y=x上，可设Pnn，由MC为ACMA外接圆的直径，P在这个圆上,22:.ZCPM=RtZ.过P分别作PN丄y,轴于N,PQ丄x轴于R,过M作MS丄y轴于S,MS的延长线与PR的延长线交于点Q.由勾股定理，有Mp2=MQ2QP|2(i2即MP2=(n2)2n1k2丿(12CP2=NC2NP2=3nn2.k2丿CM2=20.MP2CP2=CM2,(12(1n13nk2丿k2丿2n2=20,(n2)25n24n一12=0,(5n一6)(n2)=0.24第10页共22页#第10页共22页而叮-2即是M点的横坐标,此时62n=,n=2.152与题意不合,应舍去.6n=5,13n=.2#第10页共22页P点坐标为（駅I.k55丿42解：（1）根据题意，设点A（X,0）、点x2,0),且C(0,b).X10,X20,b0#第10页共22页#第10页共22页7X1,X2是方程72b=0的两根,在RtAABC中，OC丄AB,.OC2=OAOB.OA=-X,OB=X,12b2=-xx=b.2.b0,.b=l,C(0,1).(2)在RtAAOC的RtABOC中,#第10页共22页tgatgP=OC一OCOAOBxx12xxai=2xxb12#第10页共22页25第10页共22页抛物线解析式为y，-X22X1.图代13-3-27#第10页共22页(3).y,x2+2x+1，.:顶点P的坐标为(1,2),当X2+2X+1，0时，X，1土2A(12,0),B(1+2,0).延长PC交x轴于点D,过C,P的直线为y=x+1,点D坐标为(-1,0).#第10页共22页#第10页共22页S四边形ABPC，SSDPBDCA#第10页共22页#第10页共22页1 -DB-21(2+22+32(平方单位).y-AD-ycp22)21(22)12#