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1专题专题 1313导数的应用（导数的应用（1 1）研究函数单调性研究函数单调性一一、【知识精讲】【知识精讲】函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.二二、【典例精练】【典例精练】考点一求函数的单调区间【例 1】已知函数f(x)ax3x2(aR R)在x43处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x43处取得极值，所以f43 0，即 3a432243 16a3830，解得a12.(2)由(1)得g(x)12x3x2ex，故g(x)12x(x1)(x4)ex.令g(x)0，即x(x1)(x4)0，解得1x0 或x0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.2考点二讨论函数的单调性【例 2】(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xlna2.当x，lna2时，f(x)0.故f(x)在，lna2上单调递减，在区间 lna2，上单调递增.(2)当a0 时，f(x)e2x0 恒成立.若aa2e34时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e34，0.【解法小结】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点.2.个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在x0 时取到)，f(x)在 R R 上是增函数.考点三函数单调性的简单应用多维探究角度 1比较大小或解不等式【例31】(1)已知函数yf(x)对于任意的x0，2 满足f(x)cosxf(x)sinx1lnx，其中f(x)3是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.2f3 f4C.2f6 3f4D.3f3 f6(2)已知函数f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)1e，对任意实数都有f(x)f(x)0，设F(x)f（x）ex，则不等式F(x)1e2的解集为()A.(，1)B.(1，)C.(1，e)D.(e，)【答案】(1)B(2)B【解 析】(1)令g(x)f（x）cosx，则g(x)f（x）cosxf（x）（sinx）cos2x1lnxcos2x.由0 x0，解得1ex2；由0 x2，g（x）0，解得 0 x4，所以g3 g4，所以f3cos3f4cos4，即2f3 f4.(2)F(x)f(x)exexf(x)(ex)2f(x)f(x)ex，又f(x)f(x)0，知F(x)0，F(x)在 R R 上单调递减.由F(x)1，所以不等式F(x)1e2的解集为(1，).角度 2根据函数单调性求参数【例 32】（2019 全国卷 III）已知函数32()22f xxax.（1）讨论()f x的单调性；（2）当 0a0，则当(,0),3ax 时，()0fx；当0,3ax时，()0fx故()f x在(,0),3a单调递增，在0,3a单调递减；若a=0，()f x在(,)单调递增；若a0，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.三三、【名校新题】【名校新题】1.(2019青岛月考)函数f(x)cosxx在(0，)上的单调性是()A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减【答案】D【解析】易知f(x)sinx1，x(0，)，则f(x)0，所以f(x)cosxx在(0，)上递减.2.(2019福州质检)若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.k3 或1k1 或k3B.不存在这样的实数kC.2k2D.3k1 或 1k3【答案】D6【解析】由f(x)x312x，得f(x)3x212，令f(x)0，解得x2 或x2，只要f(x)0 的解有一个在区间(k1，k1)内，函数f(x)在区间(k1，k1)上就不单调，则k12k1 或k12k1，解得3k1 或 1k3.3.(2019淄博桓台月考)若函数f(x)kxlnx在区间(2，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2B.12，C.2，)D.，12【答案】B【解析】由于f(x)k1x，f(x)kxlnx在区间(2，)上单调递增，等价于f(x)k1x0 在(2，)上恒成立，由于k1x，而 01x2，则f(x)2x4 的解集为()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)【答案】B【解析】由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0 在 R 上恒成立，所以F(x)在 R 上单调递增.又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40 等价于F(x)F(1)，所以x1.5(2019百校联盟联考)若函数f(x)ex(sinxa)在区间2，2 上单调递增，则实数a的取值范围是()A 2，)B(1，)C(2，)D1，)【答案】D【解析】由题意知f(x)ex(sinxcosxa)0 在区间2，2 上恒成立，即a 2sinx4 在区间2，2 上恒成立，x44，34，sinx4 22，1，2sinx4 2，71)，a1，故选 D.6.(2019惠州调研)已知函数f(x)xsinxcosxx2，则不等式f(lnx)fln1x2f(1)的解集为()A.(e，)B.(0，e)C.0，1e(1，e)D.1e，e【答案】D【解析】f(x)xsinxcosxx2是偶函数，所以fln1xf(lnx)f(lnx).则原不等式可变形为f(lnx)f(1)f(|lnx|)0，得x0 时，f(x)0.所以f(x)在(0，)上单调递增.|lnx|11lnx11ex0，解得a3，所以实数a的取值范围是(3，0)(0，).8.若函数f(x)13x312x22ax在23，上存在单调递增区间，则a的取值范围是_.【答案】19，【解析】对f(x)求导，得f(x)x2x2ax122142a.当x23，时，f(x)的最大值为f23 292a.令292a0，解得a19.所以a的取值范围是19，.9.(2016全国卷改编)若函数f(x)x13sin 2xasinx在(，)单调递增，则a的取值范围是_.【答案】13，138【解析】f(x)123cos 2xacosx123(2cos2x1)acosx43cos2xacosx53，f(x)在 R 上单调递增，则f(x)0 在 R 上恒成立.令 cosxt，t1，1，则43t2at530 在1，1上恒成立，即 4t23at50 在t1，1上恒成立.令g(t)4t23at5，则g（1）43a50，g（1）43a50，解得13a13.10.已知函数f(x)x4axlnx32，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)14ax21x，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y12x知f(1)34a2，解得a54.(2)由(1)知f(x)x454xlnx32(x0).则f(x)x24x54x2.令f(x)0，且x0，x5(x1 舍去).当x(0，5)时，f(x)5 时，f(x)0.所以函数f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).11.(2019成都七中检测)设函数f(x)ax2alnx，g(x)1xeex，其中aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1 时，g(x)0.【解析】(1)解由题意得f(x)2ax1x2ax21x(x0).当a0 时，f(x)0 时，由f(x)0 有x12a，当x0，12a时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1 时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即 ex1x，从而g(x)1xeexe（ex1x）xex0.12.(2019昆明诊断)已知函数f(x)lnx，g(x)12ax22x.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围.【解析】h(x)lnx12ax22x，x0.h(x)1xax2.(1)若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0 时，1xax21x22x有解.设G(x)1x22x，所以只要aG(x)min.又G(x)1x121，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，则a1x22x恒成立，设G(x)1x22x，所以aG(x)max.又G(x)1x121，x1，4，因为x1，4，所以1x14，1，所以G(x)max716(此时x4)，所以a716.又当a716时，h(x)1x716x2（7x4）（x4）16x，x1，4，h(x)（7x4）（x4）16x0，10当且仅当x4 时等号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是716，.13.（2019 全国卷 II）已知函数 11lnxf xxx.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线exy 的切线.【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增因为f（e）=e 110e 1，22222e1e3(e)20e1e1f，所以f（x）在（1，+）有唯一零点x1，即f（x1）=0又1101x，1111111()ln()01xfxf xxx ，故f（x）在（0，1）有唯一零点11x综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为0ln01exx，故点B（lnx0，01x）在曲线y=ex上由题设知0()0f x，即0001ln1xxx，故直线AB的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx曲线y=ex在点001(ln,)Bxx处切线的斜率是01x，曲线lnyx在点00(,ln)A xx处切线的斜率也是01x，所以曲线lnyx在点00(,ln)A xx处的切线也是曲线y=ex的切线14.（2019 全国卷 III）已知函数32()2f xxaxb.11（1）讨论()f x的单调性；（2）是否存在,a b，使得()f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出,a b的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)fxxaxxxa令()0fx，得x=0 或3ax.若a0，则当(,0),3ax 时，()0fx；当0,3ax时，()0fx故()f x在(,0),3a单调递增，在0,3a单调递减；若a=0，()f x在(,)单调递增；若a0，则当,(0,)3ax 时，()0fx；当,03ax时，()0fx故()f x在,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0 时，由（1）知，()f x在0，1单调递增，所以()f x在区间0，l的最小值为(0)=fb，最大值为(1)2fab.此时a，b满足题设条件当且仅当1b ，21ab，即a=0，1b （ii）当a3 时，由（1）知，()f x在0，1单调递减，所以()f x在区间0，1的最大值为(0)=fb，最小值为(1)2fab此时a，b满足题设条件当且仅当21ab，b=1，即a=4，b=1（iii）当 0a3 时，由（1）知，()f x在0，1的最小值为3327aafb，最大值为b或2ab若3127ab，b=1，则33 2a，与 0a3 矛盾.12若3127ab，21ab，则3 3a 或3 3a 或a=0，与 0a3 矛盾综上，当且仅当a=0，1b 或a=4，b=1 时，()f x在0，1的最小值为1，最大值为 1
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