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1考点考点 0 05 5 二次函数与幂函数二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.掌握幂函数的图象和性质.（2）了解幂函数的变化特征.（3）能将一些简单的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并给予解决.一、一、二次函数二次函数1二次函数的概念二次函数的概念形如的函数叫做二次函数.2表示形式表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)顶点式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标.3二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称2顶点坐标奇偶性当 b=0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时，4常用结论常用结论(1)函数 f(x)=ax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标是方程 ax2bxc=0 的实根.(2)若 x1，x2为 f(x)=0 的实根，则 f(x)在 x 轴上截得的线段长应为|x1x2|=.(3)当且()时，恒 有 f(x)0()；当且()时，恒 有f(x)0 时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当101cbBabcCcabDbca【答案】A6【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3已知，则下列结论成立的是ABCD考向三二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：1图象识别问题图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除2二次函数最值问题的类型及处理思路二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成3解决一元二次方程根的分布问题的方法解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析4求解与二次函数有关的不等式恒成立问题求解与二次函数有关的不等式恒成立问题往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是.7(2)ax2bxcA 在区间 D 上恒成立，此时就等价于在区间 D上 f(x)minA，接下来求出函数 f(x)的最小值；若不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f(x)maxB，求出函数 f(x)的最大值即可.典例典例 4 4 若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为_.【答案】【解析】的定义域为，因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零.在上恒成立等价于在上恒成立，故即，而当，当且仅当时有，故不恒为零.的最小值为.故填.【名师点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则且不恒为零4“”是“函数在区间上为增函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8典例典例 5 5 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.【答案】【解析】据题意解得5已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc若 f(0)f(4)f(1)，则Aa0，4ab0Ba0，4ab0Ca0，2ab0Da0，2ab01若幂函数f(x)的图象过点(2,2)，则函数y=f(x)+1x的最大值为A1BC2D2已知，则的大小关系是ABCD3幂函数的图象经过点，则ABCD24函数的大致图象是9ABCD5已知幂函数f（x）=xa（a是常数），则A的定义域为 R RB在上单调递增C的图象一定经过点D的图象有可能经过点6已知：幂函数在上单调递增；则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是AB0CD8设，则、的大小关系为ABCD9已知点在幂函数的图象上，设则的大小关系为ABCD10已知函数（其中，且）在区间上单调递增，则函数10的定义域为ABCD11已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则A0B2018C4036D403712已知函数，则函数的最小值是_13对幂函数有以下结论（1）的定义域是；（2）的值域是；（3）的图象只在第一象限；（4）在上递减；（5）是奇函数则所有正确结论的序号是_14已知二次函数 f x的最小值为 1,且 2,03f xfxf（1）求 f x的解析式；（2）在区间1,1上,yf x的图象恒在221yxm的图象上方，试确定实数m的取值范围1115已知函数329()6.2f xxxxa（1）对任意实数,()x fxm恒成立，求的最大值；（2）若函数恰有一个零点，求的取值范围.1（2019 年高考北京文数）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A12yxBy=2xC12logyxD1yx2（2017 年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则MmA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关12C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关3（2017 年高考山东卷理科）已知当0,1x时，函数21ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A0,12 3,B 0,13,C0,22 3,D0,23,4（2016 年高考新课标 III 卷理科）已知432a，254b，1325c，则AbacBabcCbcaDcab5（2016 年高考浙江卷文科）已知函数f(x)=x2+bx，则“b 2x+2m+1在 1,1上恒成立，化简得m x23x+1,设g(x)=x23x+1,则g(x)在区间 1,1上单调递减，则g(x)在区间 1,1上的最小值为g(1)=1,则有m 1,故m的取值范围为(,1)15【答案】（1）；（2）.【解析】（1），恒成立，故，即的最大值为.（2），或；，18在和上单调递增，在上单调递减，恰有一个零点，或20a即2a 或52a.故的取值范围是5(,2)(,)2.直通高考直通高考1【答案】A【解析】易知函数122,logxyyx，1yx在区间上单调递减，函数12yx在区间上单调递增.故选 A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.2【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24aafb fab fb 中取，所以最值之差一定与b无关，选 B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值3【答案】B【解析】当01m时，11m，2(1)ymx在0,1x时单调递减，且22(1)(1),1ymxm，yxm在0,1x时单调递增，且,1yxmmm，此时有且仅有一个交点；当1m时，101m，2(1)ymx在1,1m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13mmm，选 B.194【答案】A【解析】因为422335244ab，1223332554ca，所以bac，故选 A【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决5【答案】A【解析】由题意知222()()24bbf xxbxx，最小值为24b.令2txbx，则2222()()(),244bbbf f xf ttbttt，当0b 时，()f f x的最小值为24b，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为 0，的最小值也为 0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”故选 A.6【答案】【解析】存在，使得，即有332|(2)(2)|3a ttatt，化为22|23642|3att，可得2222364233att，即22436433att，由223643(1)1 1ttt，可得403a.则实数a的最大值是.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.20
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