资源描述
专题11 函数与方程及其应用一、【知识精讲】1函数的零点(1)零点的定义：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)零点的几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二、常用结论汇总规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号二、【典例精练】例1.(1)设函数yx3与y的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.(2)设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】(1)C(2)D 【解析】(1) 设f(x)x3，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与y的图象如图所示.因为f(1)110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2). (2)法一：图象法令f(x)0得xln x作出函数yx和yln x的图象，如图，显然yf(x)在内无零点，在(1，e)内有零点法二：定理法当x时，函数图象是连续的，且f(x)0，f(1)0，f(e)e10，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内【解法小结】掌握判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法若对应方程f(x)0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数考法(一)已知函数零点个数求参数范围例2.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0)B0，)C1，) D1，)【答案】C【解析】令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)考法(二)已知函数零点所在区间求参数范围例3.(2019安庆摸底)若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a2，x1,1，2x，2.实数a的取值范围是.例4.(2018浙江卷)已知R，函数f(x)(1)当2时，不等式f(x)0的解集是_.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.【答案】(1)(1，4)(2)(1，3(4，)【解析】(1)若2，当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，解得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4).(2)令f(x)0，当x时，x4，当x时，x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，14. 【解法小结】1利用函数零点求参数范围的3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法分离参数(ag(x)后，将原问题转化为yg(x)的值域(最值)问题或转化为直线ya与yg(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解2.利用函数零点求参数范围的步骤三、【名校新题】1. (2019北京西城区模拟)若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)【答案】C【解析】因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a3.2.(2019岳阳二模)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函数yf(x)3x的零点个数就是yf(x)与y3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.3. (2019郑州质量测试)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1) D(，1【答案】A【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需a0.综上，0a1.4.(2019湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.5.已知函数f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零点依次为a，b，c，则()A.abc B.acbC.bca D.bac【答案】A【解析】令函数f(x)2xx10，可知x0，即a0；令g(x)log2xx10，则0x1，即0b1；令h(x)log2x10，可知x2，即c2.显然abc.6. (2018济南月考)若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()A.(，1) B.(1，)C.(，1 D.1，)【答案】B【解析】因为函数f(x)x22xa没有零点，所以方程x22xa0无实根，即44a1.7.(2019北京燕博园联考)已知函数f(x)若函数yf(x)k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(2，2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】C【解析】当x0)的最小值为8，则实数a的取值范围是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)【答案】A【解析】由于f(x)在0，)上是增函数，在(，0)上是减函数，f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8，a0.则g(5)log2530，又g(a)在(0，)上是增函数，实数a所在的区间为(5，6).9.(2018郑州一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x1，1时，f(x)x2.令g(x)f(x)kxk，若在区间1，3内，函数g(x)0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是()A.(0，) B.C. D.【答案】C【解析】令g(x)0，得f(x)k(x1)，由f(x)的周期性，作出yf(x)在1，3上的图象如图所示.设直线yk1(x1)经过点(3，1)，则k1.直线yk(x1)经过定点(1，0)，且由题意知直线yk(x1)与yf(x)的图象有4个交点，0k.10.(2019太原模拟)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】依题意并结合函数f(x)的图象可知，即解得m.11.已知f(x)则函数y2f(x)23f(x)1的零点个数是_.【答案】5【解析】由2f(x)23f(x)10得f(x)或f(x)1，作出函数yf(x)的图象.由图象知y与yf(x)的图象有2个交点，y1与yf(x)的图象有3个交点.因此函数y2f(x)23f(x)1的零点有5个.12. (2019西安调研)方程2x3xk的解在1，2)内，则k的取值范围是_.【答案】5，10)【解析】令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数.当方程2x3xk的解在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k2)上至少存在一点与直线yx1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为_.【答案】(2，4【解析】因为直线yx1关于原点对称的直线为yx1，依题意方程log2(2xm)x1在(2，)上有解，即m2x1在x(2，)上有解，m2.又2xm0恒成立，则m(2x)min4，所以实数m的取值范围为(2，4. 10
展开阅读全文