高二数学三角形中几何计算

高二数学三角形中几何计算第1页/共43页第2页/共43页第3页/共43页 三角形中的几何计算可归结为以下三类问题：1几何中的长度问题 把几何中的线段长转化为三角形的边长，在三角形中利用正、余弦定理求解 例如图所示，已知梯形ABCD中，CD2，AC ，BAD60，求梯形的高第4页/共43页第5页/共43页第6页/共43页第7页/共43页 2几何中的角度问题 将所求的角度放在一个或几个三角形中，利用正、余弦定理求解 例在ABC中，已知ab60，sinAcosB，SABC15，求三个内角第8页/共43页第9页/共43页 当C30时，AB150，A120，B30.当C150时，AB30，从而B30，不合题意 综上可知，A120，BC30.第10页/共43页 3几何中的面积问题 把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解.第11页/共43页 利用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件及待求式子的特点，恰当地选择定理运用正弦定理一般是将边转化为角，而条件中若给出三边的关系，往往考虑用余弦定理求解第12页/共43页第13页/共43页第14页/共43页第15页/共43页第16页/共43页 变式训练1如图，在四边形ABCD中，BCa，CD2a，四个角A、ABC、C、ADC的度数之比为37410，求AB的长 分析：要求AB的长，需把AB放到三角形中处理，为此连结BD，由题设可求出角A、B、C、D的值，在BCD中，由余弦定理可求出BD，进而解ABD，求出AB来第17页/共43页 解析：设四个角A、ABC、C、ADC的度数分别为3x、7x、4x、10 x(x0)，则3x7x4x10 x360，解得x15.A45，ABC105，C60，ADC150.连结BD，在BCD中，由余弦定理，得 BD2BC2CD22BCCDcosC a24a22a2a 3a2.第18页/共43页第19页/共43页 例2如图，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长 分析：在ABD中，已知两边和其中一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到其与BCD的联系，可再考虑用余弦定理求出BD，其恰好是两个三角形的公共边，这样可在BCD中应用正弦定理求BC.第20页/共43页 解析：在BAD中，由余弦定理，得 AB2BD2AD22BDADcosBDA.设BDx，则142x2102210 xcos60，x210 x960，x116，x26(舍去)，即BD16.在BDC中，由正弦定理，得第21页/共43页 变式训练2如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，BAD60，AB4，AD5，求AC的长 分析：由ABCADC90知，A、B、C、D四点共圆，因此AC为四边形ABCD的外接圆的直径，于是可利用余弦定理求出BD，然后利用正弦定理的变式求出AC.第22页/共43页第23页/共43页第24页/共43页 分析：根据条件可知，要想求边，则必须将角的关系用正弦定理化为边的关系来处理，求角则一般考虑余弦定理第25页/共43页第26页/共43页 变式训练3(难题巧解)在ABC中，边a1，b2，求A的取值范围 分析：根据题意可联想到运用余弦定理，将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的一元二次方程，令其判别式不小于0即可求解第27页/共43页第28页/共43页 三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题，这时正、余弦定理作为解题的工具就发挥了巨大的作用，在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识，在学习过程中需慢慢体会，灵活掌握第29页/共43页第30页/共43页第31页/共43页第32页/共43页 变式训练4如图，在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD，而BCD是正三角形(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值第33页/共43页第34页/共43页第35页/共43页 在应用解三角形的知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，要明确它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解第36页/共43页 例5中国空间技术研究院(原航天五院)将发射一颗人造地球卫星，该卫星在地球上空1600千米处沿着圆形的轨道运行，每2小时沿轨道绕地球旋转一周假设卫星于中午1200通过卫星跟踪站A点正上空，地球半径为6400 km，问如果跟踪站的天线瞄准的方向与水平线的夹角成30，那么从什么时候开始人造卫星能接收到跟踪站天线发出的无线电信号？第37页/共43页 解析：假设人造卫星在B点与跟踪站天线发出的无线电信号相遇，如图，则跟踪站、卫星和地心所构成的ABO中，OA6400，OB640016008000，BAO3090120，第38页/共43页第39页/共43页 变式训练5我炮兵阵地位于地面点A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6000米，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC15，如图，求炮兵阵地到目标的距离第40页/共43页第41页/共43页第42页/共43页