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高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.(2018北京,理15)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.3.(2018河南郑州三模,17)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且3acos C=(2b-3c)cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求ABC面积的最大值.4.(2018河南六市联考二,17)已知f(x)=12sinx+6cos x-3,x0,4.(1)求f(x)的最大值、最小值;(2)CD为ABC的内角平分线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=22,求C.5.(2018山东潍坊三模,17)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+23sin xcos x(xR).(1)求f(x)的最小正周期;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=2,c=5,cos B=17,求ABC中线AD的长.6.已知在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.7.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4cos2B-C2-4sin Bsin C=3.(1)求A;(2)若(bc-43)cos A+accos B=a2-b2,求ABC的面积.8.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B=6,(1)求边c的长;(2)求角B的大小.参考答案高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形1.解 (1)在ABC中,cos B=-17,B2,sin B=1-cos2B=437.由正弦定理,得asinA=bsinB7sinA=8437,sin A=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sin C=hBC,h=BCsin C=73314=332,AC边上的高为332.2.解 (1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.3.解 (1)由正弦定理可得:3sin Acos C=2sin Bcos A-3sin Ccos A,从而可得3sin(A+C)=2sin Bcos A,即3sin B=2sin Bcos A,所以cos A=32,又A为三角形的一个内角,所以A=6.(2)由余弦定理得4=b2+c2-2bc322bc-3bc,所以bc4(2+3),当且仅当b=c时取等号,所以Smax=12bcsin A=2+3.4.解 (1)f(x)=12sin x32cos x+12cos x12cos x-3=33sin 2x+3(1+cos 2x)-3=6sin2x+6.f(x)在0,6上递增,在6,4上递减,f(x)max=6,f(x)min=3.(2)在ADC中,ADsinC2=ACsinADC,在BDC中,BDsinC2=BCsinBDC,sinADC=sinBDC,AC=6,BC=3,AD=2BD.在BCD中,BD2=17-122cosC2,在ACD中,AD2=44-242cosC2=68-482cosC2,cosC2=22,即C=2.5.解 (1)f(x)=-cos 2x+3sin 2x=2sin2x-6,T=22=.函数f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知f(x)=2sin2x-6,在ABC中,f(A)=2,sin2A-6=1.2A-6=2,A=3.又cos B=17,sin B=437,sin C=sin(A+B)=3217+12437=5314,在ABC中,由正弦定理csinC=asinA,得55314=a32,a=7,BD=72,在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B=52+722-257217=1294,AD=1292.6.解 (1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.因为cosADB=-cosADC,所以+2得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.解 (1)41+cos(B-C)2-4sin Bsin C=2+2cos Bcos C-2sin Bcos C=2+2cos(B+C)=2-2cos A=3,cos A=-12,0A,A=23.(2)(bc-43)b2+c2-a22bc+aca2+c2-b22ac=a2-b2,b2+c2-a22-43b2+c2-a22bc+a2+c2-b22=a2-b2,b2+c2-a2-43b2+c2-a22bc=0,A=23,b2+c2-a20,1-432bc=0,bc=23,SABC=12bcsin A=122332=32.8.解 (1)acos B=3,aa2+c2-b22ac=3,化为a2+c2-b2=6c,bcos A=1,bb2+c2-a22bc=1,化为b2+c2-a2=2c.解由组成的方程组得2c2=8c,即c=4.(2)将(1)得到的c=4代入可得a2-b2=8.又A-B=6,A=B+6,C=-(A+B)=-2B+6,可得sin C=sin2B+6.由正弦定理可得asinA=bsinB=4sinC,a=4sinB+6sin2B+6,b=4sinBsin2B+6.a2-b2=816sin2B+6-16sin2B=8sin22B+6,1-cos2B+3-(1-cos 2B)=sin22B+6,即cos 2B-cos2B+3=sin22B+6,sin2B+6=sin22B+6,sin2B+6=0或sin2B+6=1,B0,512,解得B=6.7
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