空间几何体截面与距离问题

距离与截面问题棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，求k的取值范围.【例2】【解析】如图所示，设正四棱锥VABCD底面中心为0,令BCa，则VBka，行于底面的截面）的面积？四棱锥的简图如右所示，由题意知【解析】BAB2，0H底面面积【例3】【解析】2S底面AB4,正四棱台的高为如图，过B点作BF-AB1，高SO.SH2OH2.4120截面：S底面1：21:4两底面的边长分别是0B，垂足为F,17，0截面1【答案】3,14和16，求这个棱台的侧棱长和斜高.ABOFB0AOB-a，在Rt2V/VOB中，A_LcosVBO0CB里.nVBO0，-J021,12kka2k22k2k的取值范围是22，【答案】2,2正四棱锥的斜高为2，侧棱长为.5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平由题意知：ABOB2,ABOB8,0017,【例4】【答案】【例5】的截面A1B1C1的面积.C在直角三角形BBF中，BB.(82)2172513,即斜高长为5、13；又OA22,OA82,在直角三角形AAE中，AA.8、22217219，即此棱台的侧棱长为19.已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a,b,c，则它的高和斜高分别为r2ba122c2，2/cba已知正三棱锥SABC的高SOh,斜高SMl,求经过SO的中点且平行于底面【解析】在RtSOM中，SOh,SMl，所以OM.l2h2,又O为正三角形的中心，故MO1AB3AB,326故棱长2h223l2h2,/Sabc-AB233l2h2,3/322ABiG与ABC相似，且边长比为：2，故截面A1B1C1的面积为比l2h24【例6】【解析】如图所示的正四棱锥VABCD，它的高VO3，侧棱长为.7,求侧面上的斜高与底面面积.O是高VO的中点，求过O点且与底面平行的截面(即中截面)的面积.C由题意知VO3,斜高VH-VC2CH2由棱柱的截面性质知:.725，底面面积S2自截面VO1S底面VO422BCBC2.2.22BC8;S中截面二82.4【例7】如图，已知棱锥VABC的底面积是64cm2，平行于底面的截面面积是4cm2，棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是01、0,过O1O的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积.【解析】设棱锥的高为h，其顶点到已知截面之距VOlh!，00-的三等分点为2由已知得2h64 02、03,h-h4，h!-h0i0V0V0i4S：S圆锥、而01020203030，则0102V02-h-h-,V03-h-h44244030-h413h3 4各.4设过02、03的截面面积分别为S2、S3，底面面积为2121h-h，S2S2416(cm2).S3：S去两截面的面积分别为16cm2和36cm2.【答案】216cm964162和36cm.236(cm).圆台的中截面与轴截面：4，母线长10，求【例8】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是圆锥的母线长.【解析】圆锥的轴截面为顶角为120的等腰三角形，腰长为1,故高为1cos1201,底边长为2sin603，从而轴截面面积为】2【例10】圆台的母线长为2a，母线和轴的夹角为倍，求圆台的高与上下两底面面积之和.【解析】圆台的轴锥面如图，设它的上底面半径为22.31昱【答案】二24430,一个底面半径是另一个底面半径的2r,【解析】设圆锥的母线长为1，圆台上、下底半径为r,R.由相似三角形的性质有：l10r，即丨10丄1140lRl43故圆锥的母线长为40.【答案】4033【例9】一圆锥轴截面顶角为120，母线长为1，求轴截面的面积.则下底面半径为2r，有2asin302rrra圆台h2acos30.3a,上下两底面之和Sna2n2a)252.【答案】3a,5卫2【例11】圆台两底半径分别是2和5，母线长是310，求它的轴截面的面积；【解析】圆台的轴截面为一个等腰梯形，故其高为340彳(52)29,故轴截面面积S-2225963;【答案】.3a,5na22【例12】圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为.【解析】如图，圆台轴截面为梯形ABB,A,BBQ30,BB,2a,BCa且OB2O1B1,BCOB0也0也，/.O1B1a,OB2a【答案】a、2a.【例13】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与底面的夹角是45，求这个圆台的母线长.【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r,R，则R3r，根据母线与底面的夹角是45,有高为r，二圆台轴截面的面积为S1r3rr392,解得：r14，母线长为14、22【答案】14.2【例14】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.【解析】设圆台的母线为I，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r,4r,根据相似三角形的性质得3匚，解得I9.3l4r倍，求两底面半径以及两底面面积之和.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图为圆台轴截面的一部分,则ASO30，在RtSAO中，rsin30o,SA2rSA在RtSAO中,2rsin30,SA4r.SASASAAA,4r2r2a,ra-SSS22n222M2r)5n5a圆台的上底面半径为a，下底面半径为2a,两底面面积之和为5n【答案】a、2a、5ta2【例16】圆锥轴截面顶角为120，母线长为1求轴截面的面积；过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】圆锥的轴截面为顶角为120的等腰三角形,腰长为1,故高为11201宀cos，底22边长为2sin603，从而轴截面面积为丄2,三角形的面积过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为1,设顶角为为1sin为一11sin22由轴截面的顶角为120知，0120,故当为直角时，过顶点的截面有最大面积-2【答案】仝；-4249n和400n求球的球的截面【例17】在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为半径.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：画出球的轴截面，禾U用球的截面性质，求球的半径,解：设球的半径为R，截面圆心分别记为O,O2,如图,7同理nOA2400n,/O,A20设0。!x，贝UOO2x9.在RtOO1A中,R22x202；在RtOO2B中,R2(x9)272,2x2072(x9)2,解得x15,.2222.Rx2025,R25.【答案】25.【例18】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12n和16n,求这两个截面间的距离.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设两个截面半径分别为r1,r2，则2n12n,2n216n,解得A6,a8.从而球心到两个截面的距离分别为：d1.R28,d2.R2J6.(1)(2)若两个截面在球心的同一侧，则它们之间的距离为d1d22，如图；若两个截面在球心的两侧，则它们之间的距离为d1d214，如图.【答案】2或14.【例19】(2008四川卷8)设M,N是球心O的半径0P上的两点，且NPMNOM，分别过N,M,0作垂直于0P的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为()A.3:5:6B.3:6:8C.5:7:9D.5:8:9【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，四川高考【解析】D点评：本题涉及到线面垂直的概念，学生对于线面垂直的概念只是感性认识，包括后面学习的空间几何体的体积公式中，椎体的高，也需要的是线面垂直的感性认识.【答案】D【例20】球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB18,BC24、AC30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：本题的条件涉及球的截面，ABC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r2R2d2求出球半径R.AB18,BC24,AC30,二AB2BC2AC2,ABC是以AC为斜边的直角三角形.ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r15,又球心到截面的距离为d,21-R2152，得R10.3.【答案】R103【例21】已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A.1B.2C.3D.2【考点】截面与距离问题【难度】2星星【题型】选择【关键词】2008年，全国高考【解析】C;如图，球心记为O,两个圆面的圆心记为。1,。2，公共弦为AB,M为AB的中点，记圆。1所在的平面为，圆。2所在的平面为，则平面A平面，00/平面,0。2人平面，又ABAO1M,ABAO2M，而AB为两个平面的交线，故O2Ma平面，O1Ma平面，从而001O2M，且四边形OO1MO2为平行矩形.由ABA平面OO1MO2知，ABAOM，又OB=2,AB=2，故OM=j3=OO2，即为所求.【答案】.3组合体的截面分析求它们的高的【例22】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱,比值和母线长的比值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】如图作轴截面的图形，设圆柱的半径为r，圆锥的半径为R,则圆柱的高为00,2r,圆锥的高为CP/AB,C01AO解得：丄2.33，它们的高之比为RSO.3R，.3R2r3R，2r一=2(2,3).3R圆柱的母线长为2r，圆锥的母线长为2R，故它们的母线长之比为【答案】223,233.【例23】棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球0的表面上，E,F分别是棱AAi，DDi的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（）A.B.1C.1D.222【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2007年，湖南高考【解析】答案：D.已知正方体ABCDAB1GD1，如图，设EF所在的大圆圆面截正方体EFGH，圆心为0D1C由题意知面EFGHII面ABCD四边形EFGH为正方形，球半径为R2又直线EF被球0截得线段长即为大圆0截直线EF的长.如图:MNNK2MK22【答案】D等于2.7、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点NMN的最小值为1D.4个弦AB、CD可能相交于点MMN的最大值为5其中真命题的个数为（）A1个B2个C.3个【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，江西高考【解析】先算出两个弦心距分别为3与2利用三角形的三边的大小关系可知0M|0叫|MN|0M|ON当且仅当AB与CD在同一个大圆面内且相互平行时取等号是正确的点评：用好三角形的三边关系是本题的关键，另外，由AB与CD两条相交直线直线总可以确定一个圆面，如果要经过一条弦的中点，又/CDAB，只有CD为直径，AB为弦，只能是经过AB的中点.【答案】C多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】如图正方体ABCDARCQ，其棱长为1,P,Q分别为线段AAA,CQ上的两点,且APGQ.求在正方体侧面上从P到Q的最短距离.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】将正方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图.甲CB乙由于两点间线段最短，由侧面展开图可知：三个图形甲、乙、丙中PQ的长即为两点间的最短距离，分别为:（前上）PQ.(1)2(1)2,222（左上）PQ.2（左后）PQ.2(11)22244,2(1)22由于02;式PQ.2(1)22.2最短距离PQ2【答案】2.【例26】已知如图，正三棱柱ABCDEF的底面边长为1,高为8,质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D点的最短路线的长为.BE【备注】棱柱的表面距离冋题【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】将正三棱柱ABCABQ沿侧棱CCi展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线不难知道最短路线长为10.O【答案】10.【例27】如图所示，正三棱锥SABC的侧棱长为1,ASB45,M和N分别为棱SB和SC上的点，求AMN的周长的最小值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：将侧面展开化归为平面几何问题.将正三棱锥侧面棱SA剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，如图所示，连接AA，设AA与SB交于M，交SB于N点，显然AMN的周长IAMMNNAAA，也就是说当AM,MN,NA(NA)在一条直线上时，对应得截面三角形周长最短，则AA的长就是截面AMN的周长最小值.SS(A)/SASA1,ASBBSCCSA45ASA135AA.SA2_SA22SASAcos1352,2AMN周长最小值为.22【答案】,2.2【例28】如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa,BCb,BB1c，并且abc0求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.ABa【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答.将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图./7BiD/bAlcBaDiCiCCi三个图形甲、乙、丙中AC,的长分别为:(ab)22c.a2b22c2ab,(ac)2b2a2b22c2acabc0,abacbc0.故最短线路的i长为.a2b2c22bca2b2c22bcA【答案】a2(bc)2.a2b2c22bc【例29】如图所示，设正三棱锥VABC的底面边长为a,侧棱长为作与侧棱VB,VC相交的截面AEF，求截面周长的最小值.2a,AVB过A【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：将侧面展开化归为平面几何问题.A将正三棱锥沿侧棱设AA与VB交于也就是说当AE，如图所示，连接AA,AEEFFAAA,VA剪开，然后将其侧面展开在一个平面上，E，交VC于F点，显然AEF的周长IEF,FA(FA)在一条直线上时，对应的截面三角形周长最短,则AA的长就是截面AEF的周长最小值由于已知AVB，因此在VAA中可利用余弦定理求出AA的长.如图所示为正三棱锥沿侧棱VA剪开的侧面展开图,AVB，则在AVB中，由余弦定理得78222(2a)(2a)acos22a2a15-sin,cos2822cos从而cos3coscos2sin2sin17.-sin23271287.15321212a16于是在AVA中，由余弦定理得222AA(2a)(2a)22a2acos3所以AA11a为所求最小值.4【答案】a4【例30】如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB18，从AB中点M拉一绳子绕圆台侧面转到A点（A在下底面）.求绳子的最短长度；求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.A【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】如图为圆台的侧面展开图，由题意知,MPFEOOrAA绳子的最短距离即为AM的长度.设PBX,则PAx18，有2n注4（圆心角相等）xx18解得x6，故侧面展开图中的APA2nn?63AP24,PM6915,由余弦定理得：AM224215222415ncos441,3故AM21，即绳子的最短长度为21.取绳上任意点E，连结PE，交圆台上底于点F，由于PF6，因此当PE取最小值时，FE取最小值，而点到线的垂直距离最短，过点P作PE丄AM,且与?B交于点F,其中PF6，则FE为上底圆周上的点到绳子的最短距离.在PAM中，由面积公式有PE2415sin321故FE6为所求的最短距离.7【答案】FE叫367【例31】已知以A为顶点的正四面体ABCD，其棱长为1,P,Q分别为AB,CD上的两点,且APCQ.求在正四面体侧面上从P到Q的最短距离.D【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由于两点间线段最短，因此侧面展开图中的PQ长即为两点间最短距离：由正四面体的对称性知，经过棱AD与过棱BC时侧面展开图中PQ距离相等，如图1与2,同理过棱BD与AC时PQ长度相等，图1CCPQD.因此只需考虑以下两种情况过棱AD时，如图2所示，沿AC展开，此时PQ1.过棱AC时，如图3所示，沿AD展开，由于BACACD60，AMPCMQ，APCQ1AMP也CMQ(AAS),AMCM-2PQ2A2-2-cos60J4221V42将两种情况进行比较有：当1时，有422112当丄时，有.422112J42211故PQmm212121V421,【答案】PQmm2121,【例32】如图，在直三棱柱ABCAEG中，ABBCBEABC90,E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2005年，江西高考侧面展开后如图1所示.【解析】TABBC2,ABC90,二AC2.ABCA图1EF2AiF3_2.2把AiBiCi与侧面AiBiBA展平如图2所示.CiFBiMB连结EF，过E作EMBiB，贝EMAB2,FMi?,EF.；2.若把AiBiCi与侧面AACG展平如图3.BiCiMC连结EF,作EMCCi于M，作FD3EM于D点，贝UED-,FD222.333.2222.比较以上三条路径，以第三条最小，EF间最短路径为U.2【答案】3/2；2【例33】如图所示，正三棱锥SABC的侧棱长为i,ASB40,M和N分别为棱SB和SC上的点，求AMN的周长的最小值.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】过SA作正三棱锥侧面展开图，如图所示，NAMBABCA(A)TSASA1,ASBBSCCSA40ASA120AA.SA2SAL2SA_SAcos120.3AMN周长最小值为3【答案】.3球面距离【例34】在体积为4.3的球的表面上有A,B,C三点，AB1,BC2,A,C两点的J3球面距离为，则球心到平面ABC的距离为3【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2008年，辽宁高考【例35】已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上,A、B两点和A、C两点的球面距离都是n,B、C两点的球面距离是4丄，则二面角BOAC的大小3是（）7171712n3【解析】；44,3n23R3，记球心为O，知AOCn,于3:是ACR3,ABC为直角三角形，外接圆半径为3，于是球心到平面ABC的距离为.32.3232V22【答案】32【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2006年，四川高考【解析】球O的半径是R=1,A,B,C三点都在球面上，A,B两点和A,C两点的球面距离都是一，则/AOB,/AOC都等于n,ABAC,B,C两点的球面距离是-,BOC-,4433BC1，过B做BDAO,垂足为D，连接CD，则CDAD,贝UBDC二面角BOAC的平面角，BDCD2，二BDCn，二面角BOAC的大小是，选C.222【答案】C【例36】A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为nR，求过A、B的2平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：A、B是球面上两点，球面距离为nR，转化为球心角AOB，从而22AB2R，由关系式r2R2d2,r越小，d越大，r是过A、B的球的截面圆的半径由于过AB的大圆到球心距离为0,因此要球最大距离则过A、B的平面必为小圆，AB为小圆的弦，为使r小，则AB为小圆的直径时，r最小./球面上A、B两点的球面的距离为nR.2AOBn,AB.2R.2当AB成为圆的直径时，r取最小值，此时r-AB2R,22d取最大值，d-R2r22r,2即球心与过A、B的截面圆距离的最大值为二2R.2【答案】R2【例37】已知A,B,C三点在球心为O，半径为R的球面上，且ABACBCR，那么A,B两点的球面距离为，球心到平面ABC的距离为.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】如右图，ABR，所以OAB是等边三角形，33ABC为等边三角形，它的外接圆半径在RtOO1B中，00R2(fR)2所以球心到平面ABC的距离00丄6R.3或者也可由正四面体0ABC的棱长为R，则高为【答案】nR,_Rn-R，求过A、B的233【例38】A、B是半径为R的球0的球面上两点，它们的球面距离为平面中，与球心的最大距离是多少？【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】分析：A、B是球面上两点，球面距离为-R，转化为球心角A0B丄，从而22AB2R，由关系式r2R2d2,r越小，d越大，r是过A、B的球的截面圆的半径，所以AB为圆的直径时，r最小.解：球面上A、B两点的球面的距离为-R.2A0Bn,AB2R.2当AB成为圆的直径时，r取最小值，此时r-ABR,d取最大值，22dR2r2-R,2即球心与过A、B的截面圆距离的最大值为R.2【例39】如图球O的半径为2,圆Oi是小圆，OQ2,A、B是圆Oi上两点，若A,B两点间的球面距离为冬，则AO1B=【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，陕西高考2AOBRn3【解析】AOB是ABR2.又O1AO1BR2OO122,AB2O1A2O1B2,AOiB【答案】【例40】如图，在半径为3的球面上有平面ABC的距离是丄2，则2A、B、C三点，ABCB、C两点的球面距离是（”nA.-3【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，四川高考【解析】/AC是小圆的直径所以过球心O作小圆的垂线,D.垂足OC耳,AC32,BC2nC两点的球面距离是一3n390,BABC,球心O到2nO是AC的中点.3，即BCOBOC,BOC-,B、3本题涉及到点到平面的距离，可根据学生情况酌情处理是否讲解.【答案】C.【例41】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的-，经过3个点的小6圆的周长为4n,求这个球的半径.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】利用球的概念性质和球面距离的知识求解.设球的半径为R，小圆的半径为r，贝U2n4n,r如图所示，设三点为A、B、C,O为球心,BAOBBOCCOA2n6是等边三角形,又OAOB,同样，得ABC为等边三角形，边长等于球半径R.r为ABC的外接圆半径，r3AB3R,33BOC、AOBCOA都是等边三角形,33r23.【答案】23OA,OB,OC两两垂直，E,F分【例42】如图，O是半径为1的球心，点A,B,C在球面上,别是大圆弧AB与AC的中点，则点E,F在该球面上的球面距离是（）7171C.D.43B【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2006年，浙江高考【解析】由于巳F分别是大圆弧AB与AC的中点，有EOGBOE45nJEG1sinFG,EGF42EF.EG2FG21OEOFEOFn,3点E,F的球面距离为-1n33n2【答案】n3【例43】已知A,B,C,D在同一个球面上,AB平面BCD,BCCD，若AB6,AC2.13,AD8，贝VB,C两点间的球面距离是【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，【解析】匕；如图，3面BCD，又E为Rt江西高考取AD中点O,BD的中点E，连结OE，则OEIIAB，从而OE平【答案】【例44】BCD的外接圆圆心，故OBOCODOA，从而O为球心,球的半故BOCnnBC两点间的球面距离为34nO又BC,（2、13）2如果把地球看成一个球体,()A.0.8则地球上的北纬60纬线长和赤道长的比值为0.75C.0.5D.0.25【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，辽宁高考【解析】答案：C设地球半径为R，则北纬60纬线圆的半径为Rcos60-R2而圆周长之比等于半径之比，故北纬60纬线长和赤道长的比值为0.5.【答案】C.【例45】在半径为R的球面上有A,B两点，球心为O,半径OA,OB的夹角是n，则3A,B两点的球面距离为.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】因为O为球心，故半径OA,OB所在的圆即为大圆，由球面距离的定义知：圆3心角所对的弧长即为所求的球面距离，等于nR.3【答案】nR3【例46】在北纬60纬线上有A,B两地，它们分别在东经60与西经120o的经线上，设地球半径为R，求A,B两地的球面距离.【考点】截面与距离问题【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】如图所示，设60纬线圈圆心为01，则QAO1B为纬线圆半径，OiARcos601R.2如图，地球中心为O，贝UAO1B12060180二AB为纬线圈的直径，即ABR【答案】R【例47】已知地球的半径为R，球面上A,B两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为-R,3A点在东经30上，求B点的位置及A,B两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度.【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】求点B的位置，如图就是求AOiB的大小，只需求出弦AB的长度.对于AB应把它放在OAB中求解，根据球面距离概念计算即可.如图，设球心为0,北纬45圈的中心为01,n由A,B两点的球面距离为一R，所以30AB为等边三角形于是ABR.,42由OiAOiBRcos45R,2222n-OiAOiBAB.即卩AOiB-2又A点在东经30上，故B的位置在东经nAOB-,3120，北纬45或者西经60，北纬45A,B两点在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为【答案】2tR4【例48】从北京A（靠近北纬45、东经120，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B（南纬30、东经30）,有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京A沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C（北纬45、东经30）,然后向南飞到目的地B.乙航空线：从北京A沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D（南纬30、东经120）,然后向沿纬线向西飞到目的地B.请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径R的球）【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的A、B、C、D四点（如图），则甲航程为a、c两地间的纬线长Ac与c、b两地间的球面距离?c之和，乙航程是A、D两地间的球面距离Ad加上D、B两地间的纬度线长Bd.设球心为O,Ot、O2分别是北纬45圆与南纬30圆的圆心，则AQCDO2B1203090,从而:Ac2OiCRcc2)s45-24nR,Bd-o2bniRcs303tiR,224CbRCOBR4530n5nR,18012AdRAODR4530n5nR.18012故甲航程为sAcCb2亠nR_5nR,124乙航程为s2?dAd3nR4由StS2，所以甲航空线较短.A、C两地间的球面距离对甲航线，航线的两段要分别选择最短路线，则航线为与C、B两地间的球面距离之和.C、B两地间的球面距离即为经线长?C，下面求A、R,AOtC120302圆Ot的半径为Rcos45C两地间的球面距离:90,从而AC,2QAR,二ACAOCOR,AOC60,从而A、C两地间的球面距离为二此时航线总长为R3n_R.33 nR.4【答案】3眼4【例49】长方体ABCDABCP的各顶点都在球0的球面上，其中AB:AD:AA1:1:2.A,B两点的球面距离记为m,A,Di两点的球面距离记为n，则m的值为.n【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，陕西高考【解析】1;2显然0为长方体的中心，设AB=1,贝UAD=1,AA,=2,体对角线长=1+1+2=2,AD,=1+2=3,故球的半径为1,?AOBn,?AOD,-n33n（也由余弦定理得到，也可根据等腰三角形与特殊角得到），从而m=3=1.n2n23【答案】12【例50】长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB2,AD3,AA1,则顶点A,B间的球面距离是（）A.B.主C.D.22n42【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，湖南高考【解析】长方体的对角线交点O为球心，不难算得OAOB2，于是AOB90，因此A,B间的球面距离是大圆周长的，即一（2兀2），选B.442【答案】B.【例51】在半径为R的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是【考点】截面与距离问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】根据题意知，球0与正三棱锥PABC的关系如右图:R知：2n,3AOPnBOPCOP-,2要经过四点P,A,B,C，要经过两次底边所在的大圆，两次侧棱所在的大圆，故经过的最短路程为-n-nn-RnRR【答案】33223