《寿险精算学》PPT课件.ppt

寿险精算学,教材,指定教材 王晓军，寿险精算学，中国人民大学出版社，2005。 参考资料 Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.,背景知识,保险的基本概念 精算学及其应用领域 寿险精算学的基本思想 精算师 精算师职业资格考试,保险的概念,保险的概念 投保人根据合同约定，向保险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿保险金责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到约定年龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行为。 关键概念 保险合同 可保风险,保险合同 保险单，是投保人与保险人约定保险权利义务的协议。,保险分类,人身保险 寿险 健康险 意外险,财产保险 车险 房屋保险 火灾险 信用险 知识产权保险,人身保险,人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险，保险事故是人的生、老、病、死、残等。 人身保险是比人寿保险更广的概念，但目前在保险市场上经营人身保险业务的保险公司名称都是人寿保险公司。,保险法规定,财产保险业务，包括财产损失保险，责任保险，信用保险等保险业务 人身保险业务包括人寿保险，健康保险，意外伤害保险等业务。 同一保险人不得同时兼营财产保险业务和人身保险业务。 但是，经营财产保险业务的保险公司经保险监督管理机构核定，可经营短期健康保险业务和意外伤害保险业务。,保险中为什么需要精算，精算是什么？,精算学及其应用领域,精算学概念 以概率论和数理统计为基础，与经济学、金融学及保险理论相结合的具有应用性和交叉性的学科。 应用领域 保险领域 社会保障领域 投资领域 所有与风险评估，控制相关领域,精算学是评价风险和制定经济安全方案的方法体系。 风险：是一种不确定性，风险的发生可能造成损失，通常风险指不确定性不利的一面。（如：书中3面的例子） 保险经营的对象是风险，所以需要精算学。,保险中精算的工作,确定保险费率 计算准备金 再保险中分出量和自留量的确定 保险基金的投资运营,寿险精算学基本思想,损失补偿思想 不能阻止风险发生，但能将风险带来的损失降低最小 事先防范风险 净均衡思想 自助互助性 大数定律,保险的基本运作,以一年定期寿险为例：自保单生效之日起，如果被保险人在1年之内去世，则保险人向保单的受益人给付保单规定的保险金，否则合同在一年后自动失效。 保单组（除保单当事人以外，所有其他条件都一样的保单构成的一个整体）：保险人签发了10000份条件相同的保单（封闭型保单组）,保单组中条件： 保险金额100,000 被保险人投保年龄 50 保费缴纳方式 趸交保费 死亡给付假设 保单年度末进行,对保单组 0时刻：保险人指定保费（毛保费，包括给 付成本，费用和利润） 投保人向保险人缴费保费 1时刻：保险人将所收到的保费中很大一部 分返回给若干出险保单 投保人中少数出险的得到索赔，赔 付额就是保险额，通常是保费的数 倍，没出险的得不到任何赔付，推出利息 共同体。,保费=？（保险人的工作） 首先，统计调查，死亡概率0.0043 假设仅考虑纯保费，100,000*0.0043=430 保险人：0时刻出售10,000张保单，收入 430*10000=4300，000,保险人：1时刻若预期死亡率与实际死亡率 相等，死了10,000*0.0043=43，总 赔付=100,000*43=4300,000=纯保 费收入 保险公司无利润也无损失 但实际上在0时刻，未来1年内死亡人数是一个随机变量，实际死亡人数43，则保费收入给付支出，对保险人的不利偏差，在死亡率风险上产生了一个损失。,若实际死亡人数给付支 出，保险人获得承保利润。 保险人的风险：索赔数超过了保险人的预期，即随机变量的不利偏差。,投保人： 1时刻单个投保人中发生索赔和未 发生索赔的投保人之间发生了转 移支付。 整个保单组由大数定律几乎可以 确定收支平衡,保险的基本特性（书6面）,自助互助 保费的返还性 大数定律的保证 保险产品的保障性功能,精算师,精算师 金融、保险、投资和风险管理的工程师。 精算师的职责 保证风险经营的财务稳健性 对风险和损失的预先评价 对风险事件做出预先的财务安排,精算管理和控制系统,精算师职业资格考试,精算师执业资格认证 考试体系 北美、英国、日本、中国 认可标准 1998年，欧共体精算协会顾问团公布了欧洲精算培训核心大纲，以此建立欧洲国家精算师互相资格认可 1998年国际师精算协会通过了国际精算教育指南和培训大纲，要求至少到2005年以后正是会员的资格符合教学大纲的要求 2000年，北美精算学会，英国精算学会对各自的教育大纲进行修改，向国际精算师协会推荐的教育体系靠拢 2000年底，开始中国精算师资格考试，2004年，中国精算师分寿险和非寿险两个方向考试。,课程结构,利息理论基础 生命表基础 净保费计算 净责任准备金计算 产品定价 责任准备金评估 案例分析,第二部分 生命表函数与生命表构造,第二部分,生命表函数(3.2节),参数寿命分布,有关分数年龄的假设,多重损失模型和多损因表,生命表 理论,3.2节 生存函数,定义 意义：新生儿能活到 岁的概率。 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：,剩余寿命,定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 ：,基本函数,剩余寿命的生存函数 ： 特别：,基本函数,：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x岁的人将在1年内去世的概率 ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率,整值剩余寿命,定义： 未来存活的完整年数，简记 概率函数,剩余寿命的期望与方差,期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记 剩余寿命的方差,整值剩余寿命的期望与方差,期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简记 整值剩余寿命的方差,死亡效力,定义： 的瞬时死亡率，简记 死亡效力与生存函数的关系,死亡效力,死亡效力与密度函数的关系 死亡效力表示剩余寿命的密度函数,有关寿命分布的参数模型,De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825),有关寿命分布的参数模型,Makeham模型(1860) Weibull模型(1939),参数模型的问题,至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。,生命表起源,生命表的定义 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. 生命表的发展历史 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。 生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）,3.1节 生命表的构造,原理 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率） 常用符号 新生生命组个体数： 年龄： 极限年龄：,生命表的构造(3.1节),个新生生命能生存到年龄X的期望个数： 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数： 特别：n=1时，记作,生命表的构造,个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：,例1：,已知 计算下面各值： （1） （2）20岁的人在5055岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。,例1答案,生命表实例（美国全体人口生命表）,3.5节 生命表的编制,生命表编制的一般方法 实际同批人生命表 假设同批人生命表 选择终极生命表 在人口分析中，可以按性别、地区、种族等对人口进行分类，分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。 保险精算中反映死亡规律的经验生命表与人口生命表是不同的，因保险只提供给符合健康标准的人。,选择-终极生命表,选择-终极生命表构造的原因 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。 需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失 选择-终极生命表的使用,选择-终极表实例,3.3节 有关分数年龄的假设,使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况 基本原理:插值法 常用方法 均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值),三种假定,均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值),三种假定下的生命表函数,例2,已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：,例2答案,例2答案,例2答案,第二部分,生命表函数,参数寿命分布,有关分数年龄的假设,多重损失模型和多减因表（第四章）,生命表 理论,使用背景,如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面章节中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。 在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。,多损失模型的构造,两变量模型 多种损失模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间 ，在寿险场合它可以表示为剩余寿命； 变量二是状况终止的原因 ，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令 表示死亡， ，表示退保。,相关函数,联合密度函数 边际分布函数,事件的概率,多重损失函数（一）,由原因j引起且损失发生在时间t之前的概率 由原因j引起的损失发生的概率,多重损失函数（二）,的密度函数 的分布函数,多重损失函数（三）,由各种原因引起且损失发生在时间t之前的概率 损失不会发生在时间t之前的概率,多重损失函数（四）,x+t时刻由原因j造成的损失效力 x+t时刻由所有原因造成的总损失效力,多重损失函数（五）,给定损失时间t，J的条件概率函数,例3,考虑2个损失原因的多重损失模型，其损失效力分别为： 计算该模型的联合、边际、条件概率密度函数。 计算,例3答案（一）,例3答案,例3答案,多减因随机残存组定义,考察一组a岁的 个生命，每一个生命的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度函数确定：,随机残存组函数,：在年龄 x与x+n之间因原因j而离开的成员的期望个数 ：在年龄 x与x+n之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数,随机残存组函数,：原先 个a岁成员在x岁时的残存数随机变量的期望,确定性残存组的定义,总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为条件密度函数。则一组 个a岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力 演变 ，则原先 个a岁成员在x岁时的残存数为,确定性残存组函数,：在年龄 x与x+1之间因各种原因而离开的成员数 ：现在x岁，将来因为原因j而终结的个体数,确定性残存组函数,：因原因j而引起的损失效力 ：各种原因引起的总损失效力,绝对损失率,单重损失函数定义 称为绝对损失率，是指原因j在 的决定过程中不与其它损失原因竞争。它也称为净损失率（net probabilities of decrement）或独立损失率(independent rate of decrement)。,基本关系,常数损失效力假定,假定条件 等价推出,关系式,均匀分布假定,假定条件 等价推出,关系式,联合单减因表的各减因均匀分布 可得,利用上面的关系可以推导多减因表的减因概率与联合单减因表的减因概率的关系。（见书79面） 如果具备直接计算多减因表每个减因概率的数据资料，可以直接编制多减因表，如果直接编制所需的资料缺乏时，可以通过联合单减因表，用上面给出的关系式求出多减因概率。,寿险精算学（三） 寿险产品介绍,内容,传统个人寿险和年金产品,1,投资类保险产品,2,附加保险,3,团体保险,4,传统寿险和年金产品,人身险,定期寿险,意外险,终身寿险,两全保险,健康保险,生存年金,投资类保险产品,分红产品,投连产品,万能产品,常见附加险产品,团体保险概念,团体：5人以上,用一张保单 对一团体的人提供保障,同一险种,团体保险,团体保险特点,管理方式和费用不同,团险种类,第六章 净保费,人寿保险的分类,受益金额是否恒定 定额受益保险 变额受益保险 保单签约日和保障期期始日是否同时进行 非延期保险 延期保险,保障标的不同 人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 保障期是否有限 定期寿险 终身寿险,纯保费厘定的基本假定,三个基本假定条件: 同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定利率）。,净保费厘定原理,原则 保费净均衡原则 解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值,基本符号, 投保年龄。 人的极限年龄 保险金给付函数。 贴现函数。 保险给付金在保单生效时的现时值,死亡即刻赔付,死亡即刻赔付的含义 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。,死亡年末赔付,死亡即刻赔付的含义 如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡发生的当年年末给予保险赔付。,由于赔付时刻都发生在事件发生的当年年末，死亡年末时刻是一个离散随机变量，它距离保单生效日的时期长度就等于被保险人签约的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸交保费时通常先假定的理赔方式。,主要险种的趸缴净保费的厘定,n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险,基本函数关系 记k为被保险人整值剩余寿命，则,n年期定期寿险 死亡年末赔付,符号： 厘定：,现值随机变量的方差,公式 记 等价方差为,终身寿险 死亡年末赔付,符号： a.定义：从投保开始到终身的死亡保险 b.假定：（x）的人x岁投保，一单位元死亡末赔付 c.基本函数关系：记k为被保险人的整值剩余寿命,d. 精算现值（纯保费厘定） e.方差： VarZ=,f.关系式： 上式左边：x岁的 个人投保终身寿险的趸缴净保费 上式右边：x岁到生命表最大年龄w-1岁上所有死亡年末1单位元赔付支出的,延期m年的n年定期寿险,a.假定：（x）的人x岁投保，从x+m年到x+m+n止，死亡赔付1单位元 b.基本函数关系：记k为被保险人的整值剩余寿命 符号：,d. 精算现值（纯保费厘定） 证：,延期m年的终身寿险,a.假定：（x）的人x岁投保，从x+n年到被保险人终身止，死亡赔付1单位元 b.基本函数关系：记k为被保险人的整值剩余寿命,c.符号 d.精算现值（纯保费厘定） e.关系式：,n年期的两全保险,a.定义：定期寿险+纯生存保险 纯生存保险：n年满期被保险人仍然存活为给付条件的保险 现值r.v. 则两全保险的现值r.v.,b.精算现值：,延期m年的n年期两全保险,标准变额寿险,定义：保险契约规定的赔付额随死亡时间的变动而不同。 赔付额： or 符号： 标准递增的终身寿险的精算现值 标准递增的n年定期寿险精算现值 标准递增的n年两全保险精算现值 标准递减的n年定期寿险精算现值,标准递增的终身寿险 相当于每年买一个终身寿险的精算现值,2.标准递增的n年定期寿险 相当于每年买一个终身寿险,意义：0-n年每年买一个终身寿险的精算现值-n个在第n年买的终身寿险的精算现值,3 标准递增的n年两全保险 4标准递减的n年定期寿险,一般变额寿险(终身寿险) 现金随机变量: 精算现值:,死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳,常用计算基数,计算基数引进的目的：简化计算 常用基数：,用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费,例: (x):35岁，保险金额5000元，25年定期寿险，求保单的趸缴纯保费，i=6%。,例：（x）:35岁，买离散型保额5000元的30年两全保险，求该保单的趸缴纯保费，i=6%。,例（x）：30岁，买离散型的递增30年定期保险，保险利益为：第1年内死亡，给付1000元，第二年内死亡，给付1100元，第三年内死亡，给付1200，.在第30个保单 年度内死亡，给付3900元，求趸缴保费。,例（x）：30岁，买离散型的递减20年定期保险，保险利益为：第1年内死亡，给付5000元，第二年内死亡，给付4900元，第三年内死亡，给付4800，.在第20个保单 年度内死亡，给付3100元，求趸缴保费。,例6.1 某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付，根据中国人寿保险业生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%计算趸缴净保费。,例6.2 某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为 死亡赔付在死亡年末，i=10%，求这一保单的精算现值。,1、n年定期寿险,定义 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。 假定： 岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系,6.1.2节 死亡时刻赔付,符号： 厘定：,方差公式 记 （相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费） 所以方差等价为,终身寿险,符号：,两全保险,符号： 精算现值：,如何利用生命表计算死亡时刻的寿险现值？以终身寿险为例,死亡时刻赔付趸缴净保费的厘定,死亡均匀分布假设下,分析： 有何解释？,假设死亡发生在每个年龄的中间 平均来说这种赔付比在年末赔付早半年，,则在复利假设下,复利： 类似的在单利假设下,对定期寿险和两全保险也有类似的近似计算：,例6.3:某人在30岁时投保了50000元30年两全保险,预定利率为6%,根据中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)求趸缴净保费.,例6.4:在例6.3中,如果契约规定在投保前10年死亡赔付50000元,后20年死亡赔付30000元,满期存活给付20000元,求趸缴净保费,4变额年金 （1）死亡时赔付的标准递增变额年金 ：t时刻的赔付额 ：死亡时赔付的终身递增寿险精算现值,（2）赔付额连续递增死亡时赔付,5 赔付发生在单位时间的等分点处（以终身寿险为例） ：把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡给付在死亡发生的那部分期末进行的终身寿险精算现值。 现值随机变量： ，其中 为（x）在死亡年所活过的分数年部分，K为整值余寿,另外,例：（死亡时赔付的延迟终身寿险）保险金额为1单位的延期5年的终身寿险，(x)岁的人的死亡力 ，利息力 ，Z为现值随机变量，求,练习：1 （x）:40岁的人，投保标准连续型的递减的10年定期保险；i=6%，保险利益如下图，求死力均匀分布下的趸交纯保费。,例：(x)的未来寿命T=T(x)的密度函数 利息力为 ，给付1个单位保额的终身寿险的现值变量为Z，计算（1）趸交纯保费 （2）Z的方差 （3）求 的分位数,趸缴纯保费递推公式,公式一： 证明：,理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。,趸缴纯保费递推公式,公式二： 解释： 直观意义： 可以分解为在x+1岁上为x岁上投保的人准备 的现值和为在xx+1岁上死亡的被保险人准备另外的 现值之和。,趸缴纯保费递推公式,公式三： 解释： 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 。,趸缴纯保费递推公式,公式四： 解释 (y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。,趸缴纯保费递推公式,公式五：连续型终身寿险趸交纯保费的微分方程,证明： 其中 ， 而 随机变量T(x)在 条件下的条件密度函数为：,则 故,上式中令 综上,第6.2节 生存年金的精算现值,生存年金的定义： 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型 分类 初付年金/延付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金,生存年金与确定性年金的关系,确定性年金 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）,生存年金的用途,被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险,6.2.1节 纯粹的生存保险,定义：现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。 也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为 在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值,1 经济解释： 该式说明为了保证n年末每个存活的人能得到1元，在x岁投保时必须每人缴费 。,例如：（x）:20岁，存活到60岁将得到1000元，i=6% 可理解为 ,每人缴 ，年后形成资金 ，在岁之间死的106321人在满期时没有支付，死者的缴付费用由生存者分享，这种情况称为生存者利益，或生者利。,：利率和生存者利益下n年的积累系数 其中 是利息积累因子， 是生存积累因子。,3 证明： 表明(x)的n年折现系数可以分为先折现到x+t岁再折现到x岁两步完成。,4 证明：从上式直接得到 表明：在利率和生存者利下，先从x+t折现到x岁再累积到x+n岁，等于x+t岁直接累积到x+n岁。,6.2.2节 生存年金的精算现值,现时值支付法计算步骤 Step1:求出时刻t时给付年金的数额 Step2:确定时刻t 给付数额的精算现值 Step3：对给付年金的精算现值按所有可能的给付时间进行相加或积分,总额支付法计算步骤 Step1:求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间t内所有年金给付额的现值，这一现值只与利率有关 Step2:将求出的现值乘以相应的死亡概率或概率密度 Step3：对第二部得到的结果按所有可能的死亡时间t进行相加或积分,终身生存年金,a.定义：支付期没有限制，只要被保险人存活，每隔一定时期发生一次支付。 b.符号： -(x)的每年1单位元首付终身生存年金 -(x)的每年1单位元末付终身生存年金,c.精算现值： 可证明,d.类似地期末付终身生存年金的精算现值,定期生存年金,e 与 的关系： 证明： 表明：年龄为(x)的生存者在利率为i下只要缴纳1元即可享受期初付d元的终身生存年金，一旦死亡还可在死亡的年度末获得1元的死亡收益金。,定期生存年金,符号 -(x)的每年1单位元n年定期期首付生存年金的精算现值。 符号 -(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金的精算现值。,期首付现值随机变量 期首付精算现值 类似地,与 的关系：,延期生存年金 定义：n年延期生存年金是从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金。 -(x)的n年延期每年1单位元首付终身生存年金的精算现值 -(x)的n年延期每年1单位元末付终身生存年金,精算现值 关系式,类似的有,延期定期生存年金,-(x)的n年延期m年定期每年1单位元首付生存年金的精算现值，是从x+n到x+n+m的生存年金。 -(x)的n年延期m年定期每年1单位元末付生存年金,现值随机变量 精算现值,常见险种的生存年金现值总结,常见险种的生存年金现值总结,等额年金计算基数公式,例6.6（116面）对于(30)的从60岁起每年6000元的生存年金，预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费,例6.7（116面）假设30岁开始购买从60岁起的生存年金保险，契约规定，在被保险人6069岁时每年的给付额为6000元，7079岁时每年的给付额为7000元，80岁以后每年给付额为8000元，在预定利率为6%下，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费,例6.8（117面）某30岁的人投保养老年金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金；若被保险人在6069岁间死亡，有其知指定的收益人继续领取，直到领满10年为止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70岁起一生存为条件得到年金。如果年金每年支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费,例6.9（117面）某人在30岁时购买了从60岁起每年给付10000元的生存年金，以后每年给付额以4%的比例增长，在利率4%时，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）求保单的趸交净保费,练习,已知 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：该生存年金在90岁的净保费,解：,连续生存年金,定义：以生存为条件的连续支付年金。 实际中得年金都是离散年金，当支付间隔足够短时，可以用连续年金近似。,终身生存年金,符号： 现值随机变量,c.精算现值,d.关系式 (i) (ii) 证明：,（iii）,定期生存年金,a.符号： b现值随机变量 c.精算现值,延期生存年金,a.符号： b现值随机变量,c.精算现值 d.关系式,延期定期生存年金,a.符号： b现值随机变量,c.精算现值 d.关系式,例：设死亡力 ，利息力 ，求（1）终身生存年金的精算现值 ，（2）终身生存年金现值 的标准差，（3）,年付次生存年金的精算现值,1符号 ：（x）的每年给付1元，一年给付m此的期首付终身生存年金 2.现值,3.计算 无法从生命表直接获得，只能做近似计算。,在死亡均匀分布假设下 则 令 则,很小时,同理可推导如下关系式 (x)的n年延期每年单位元，1年m次收付的期首期末付终身生存年金 (x)的n年定期1年m次收付的期首期末付生存年金,例6.10.(30)买得从60岁起每年6000元的生存年金，每月支付一次，求趸交净保费的近似值。（在死亡力均匀分布假设）,例：（x）：30岁，60岁起每月支付500元的生存年金，在60前死亡，在死亡末给付1000元，求趸交 净保费。,练习：(x):45岁，每月领取800元的期初付25年定期生存年金的精算现值（i=6%）在死亡均匀分布条件下的近似值。 练习：i=6%,在死亡均匀分布假设条件下，计算60岁起退休者每月领取1000元的期初终身生存年金的精算现值。,变额生存年金,一般变额生存年金 ：(x)的n年定期生存年金。 若一年给付m次，期首付 若一年给付m次，期末付,等差递增生存年金 终身首付标准递增年金 终身末付标准递增年金 期首付n年定期标准递增年金 期末付n年定期标准递增年金,等差递减生存年金,期首付n年定期标准递减年金 期末付n年定期标准递减年金,比例变额生存年金,定义：首付额等比例递增，如某些给付确定型养老金计划和社会养老保险，期给付额在一个基础水平上按一个规定的比例增长，这个规定的比例有时是价格指数或社会平均工资增长指数。,(x)的n年定期期首付生存年金,生存年金的递推公式,上式简单变形可得到：,6.3 均衡净保费,纯保费计算的历史发展 自然保费：根据被保险人的出险概率和保险金额计算保费 均衡纯保费：把自然保费在长期内均衡，平均化，在保费缴付期内每隔一定时期缴付相等 数额的保险费,净均衡计算原理 平衡原理：以预定年利率和预定死亡率为基础，根据未来给付保险金额，使得未来给付保险金额现值的期望值等于缴纳保费的精算现值。 由该原理，均衡保费的交付以被保险人存活为条件，实际上是个生存年金，设保险金的现值为A，每次净保费为P，每次一单位元的纯生存年金为 ，则,几类寿险的年缴保费,终身寿险的年缴净保费 (x)的死亡年末赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次终身缴付，年缴付额记为,(x)的死亡时刻赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次终身缴付，年缴付额记为,(x)的死亡年末赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次n年缴清，年缴付额记为,(x)的死亡时刻赔付1单位元的终身寿险，保费每年1次n年缴清，年缴付额记为,定期寿险年缴净保费 (x)的死亡年末赔付1单位元的n年定期寿险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为,(x)的死亡时刻赔付1单位元的n年定期寿险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为,两全保险年缴净保费 (x)的死亡年末赔付1单位元的n年两全保险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为,(x)的死亡时刻赔付1单位元的n年两全保险，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为,延期年金年缴净保费 （x）的n年延期期首付生存年金，保费每年1次t年缴清,年缴付额记为,例1：设 ，其中 ，求,例：（x）:30岁签发了一份死亡年末赔付终身寿险，保险金额为20000元，求： （1）普通终身寿险的年缴纯保费 （2）20年限期缴费终身寿险的年缴纯保费 （3）65岁缴清终身寿险的年缴纯保费,练习：设年龄为25岁的人，买15年定期寿险，保险金额为1000元，求年缴纯保费。 练习：（x）:25岁，购买保险金额为1000元的半连续式寿险保单，i=6%，计算（1）普通终身寿险，（2）35岁定期寿险，（3）35年两全保险，（4）35年限期缴费终身寿险。,例6.13 证明 证： 经济含义：(x)岁时的1元等于从x岁开始每年初的终身生存年金，也等于(x)存活年每年初1元预付利息d和(x)死亡年年末的1元给付现值之和。（x）死亡年末的1元给付又等于每年初 的生存年金，这样，在每年初的 等于每年初的 。,（2） 代入(1)即得。 经济含义：假设一个x岁的人借了趸交净保费 购买1元终身寿险，若在他的有生之年每年初还 ，在死亡年末从1元保险金中归还 ，则正好还清 。这相当于对(x)每年缴 的保费获得在死亡年末的 的保险金，因此1元保险金的每年保费为 即,常见险种的完全离散净均衡保费总结,完全连续年缴净均衡保费的厘定 （以终身人寿保险为例）,条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 厘定过程：,常见险种的完全连续净均衡保费总结,6.3.5节 一年多次缴费的净保费,符号 一年m次缴费各类寿险年缴净保费 见表6-1（130面），将前面各种一年1次缴费寿险的年缴净保费公式中的 改为,延期生存年金的均衡保费 年金支付在期首的终身生存年金，延期n年，年金现值 支付方式：n年缴清，每年m次（缴费不延期） 则,年金支付在期末的终身生存年金，延期n年，年金现值 支付方式：n年缴清，每年m次（缴费不延期） 则,的分析 一年分m次缴费，平均缴费时间晚于年初缴费，使保险人得到保费利息减少；一年分m次缴费，被保险人死后一年内其他时间不再缴费，平均来说少于年初缴付方式下的保费，综上为得到相同的保险金额，应有,例：(50)买了一份保险金额为10000元的20年普通两全寿险的保单，每年真是缴付保费两次，i=6%, 在死亡均匀分布假设下计算全离散和半连续方式下的年缴纯保费。,例2.（40）签发一张保险金额为5000元的全离散式25年的定期寿险，在死亡均匀分布假设下计算（1）普通年缴纯保费；（2）季缴纯保费; (3)月缴纯保费,例3. (20)岁的人，购买保险金额为50000元的保单，i=6%，在死亡均匀分布假设下计算（1）全离散式普通终身寿险，（2）半连续式65岁缴清的终身寿险，（3）全离散式65岁满清的普通两全保险的月缴纯保费,6.3.6节 比例净保费,定义：对一定时期缴付一次保费的期缴保费保单，投保人会认为期初的缴费应该为接下来的一期提供担保，如果在期初缴费后不久被保险人出险，保险人不仅应按保险合同实施赔付，还应该按比例退还从出险到下次预计缴费期间的保费部分。实践中有的保单规定在保险赔付时退还从死亡到下次预计缴费期间的净保费。,如一年 两次保费的比例净保费,符号：（以终身寿险为例） （x）的比例保费方式的终身缴付的1元死亡年末赔付终身寿险的保费 ：年缴保费，每次缴付,比例保费的估计 保费的退还是在死亡年末，一年分为了m个等份，在1个小等份内，用X表示某个等分区间内的死亡时间，它在 上均匀分布，在一个小区间的左端点交了保费 ，则在死亡年末应退还 的保费。则死亡年末退还的平均保费为：,则死亡赔付同时退还 的现值为 退还发生在年末，同死亡赔付一起进行，就相当于赔付额为 的终身寿险。,比例期初年金：是在被保险人死亡时退还从死亡到下次预计年金收付期间的部分收付的年金 上式左边是每年支付m次，一年支付总额为1单位元期首付n年定期年金现值，右边是n年连续支付年支付额为,记 ：（x）的每年1单位元，1年支付m次的期首付m次的期首付比例年金现值,例：求,比例保费的计算 ：死亡时赔付的n年定期两全保险，保费在h年内定期比例缴费,6.3.7节 退还保费保单的净保费,在保险实践中，有些保单规定在被保险人死亡时退还过去已缴净保费的累积，这种退还还通常有两种不同的规定，一种是不计利息退还过去已缴净保费的累积，一种是以规定的利息累积退还过去已缴净保费部分。,例6.15（135面）对(x)的n年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付10000元外，还退还过去已缴净保费的累积。假设保险赔付发生在死亡年年末，保费每年缴费一次，n年付清，计算下面情况下的年缴均衡净保费。 （1）退还的保费部分不计利息 （2）退还的保费部分以不同于保单预定利率i的利率j复利累积 （3）退还的保费部分以保单定价预定利率复利累积。,例6.16 对(x)的从x+n岁起每年1单位元生存年金，保险费在n年内每年缴付一次，如果被保险人在n年内死亡，则退还过去已缴净保费的累积，计算年缴净保费。,毛保费构成,净保费,保险费用,保险费用简介,保险费用的定义 保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益来弥补。 保险费用的范围： 税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等,保险机构费用开支的一种分类方案,毛保费,毛保费的定义 保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用语各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为G。 毛保费的厘定原则 基本原则：精算等价原则 毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用精算现值 =各种给付的精算现值+各种费用支出的 精算现值,注意事项,在确定附加费用时，一般只考虑保险费用，而以投资费用冲销投资收益，体现在保费计算中则适当降低预定收益率，即预定利率。 附加费用中要考虑通货膨胀或通货紧缩的趋势。,例2,（30）购买了保险金额为2万元的半连续型终身寿险保单，按下表所列各项费用，根据精算等价原理计算年缴纯保费和年缴毛保费。（i=6%） 已知,未来保险费用的分配,答案,保单费用,定义：有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。 保险实务一般规定： 寿险费率一般是指每千元保额的保费。,毛保费分析,毛保费可分为三部分： 第一部分：跟保险金额有关的费用，如承保费用等 第二部分：跟保费数额有关的费用。如代理人佣金、保险费税金等 第三部分：只与保单数目有关的费用（保单费用）。如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等。,毛保费构成公式,解释,G(b)：保险金额为b元的毛保费 a：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保费是它的主要部分 c：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。 f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。,费率函数,费率函数的定义 ：,第七章 责任准备金,责任准备金产生的原因,0,t,未来 责任,未来 收入,w,未来 责任,未来 收入,差值,责任准备金,责任准备金产生原因,净保费厘定原则：净均衡原则，保证了以保单发行日为参照点保险公司的未来保费收入现时值和未来保险赔付的现时值相等。 但除了保单发行日以外，以保障期内任意某个时刻为参照点，未来收支的现时值都有可能不平衡。,寿险业务的长期性和不确定性要求保险公司为未来的给付责任积累起足够的资产，所以寿险负债评估是精算部最重要的工作之一。其中责任准备金的评估是该项工作的核心 责任准备金的作用包括 保障保单所有人的合理利益 保证寿险公司的偿付能力 保证合理的释放寿险业务的利润,责任准备金的作用（1）,责任准备金是寿险公司最为重要的负债，一般占所有负债的80到90，和总资产的比例也可能超过80。 债权给出了债权人对债务人的资产的索取权，具体到寿险公司，可以这么说：寿险公司管理和积累起来的资产是一块蛋糕，而某个时刻的责任准备金说明的是在这个时刻有效保单应该分到的蛋糕大小。 对个别保单来说，就是评估的责任准备金，如果用保单组的概念来描述，就是保单组的责任准备金总和。,责任准备金的作用（2）,评估责任准备金的主要目的是保证保单所有人的利益，监管机构原则上应该代表保单所有人的利益，所以会要求保险公司持有和责任准备金相当的资产以保证偿付能力。 责任准备金是在清算假设下进行的评估，要理解这句话，可以考虑下述问题：如果在这个时刻保险公司破产，那么有效保单应该得到多少利益？这个问题没有唯一正确的答案，责任准备金给出的是比较合理的答案。,对责任准备金评估工作的监管,责任准备金的过去法计算公式可以对此作出合理解释，从公式可以看到，责任准备金的评估结果依赖于所使用的评估方法和评估假设 监管最严格的国家，监管机构会规定适用的准备金评估方法和评估假设并要求保险公司遵照执行 在监管较松的国家，会规定确定评估假设的程序和方法，允许精算师在一定范围内选择他自己认为合适的评估假设。,净责任准备金的定义,定义： 保险公司在任意时刻对每个仍在保障范围内的被保险人的未尽责任现时值，就称为净责任准备金。 或者说是每个现存被保险人将来的受益现值，所以也称为受益责任准备金。 实质 责任准备金是现存被保险人未来受益与未来缴费现时值之差,例1,设保险公司发行某保单，被保险人的整值剩余寿命K的概率函数为 该保单在被保险人死亡年末给付1，年利率6%。根据净均衡保费原则确定： （1）在趸缴保费场合，确定在各年期末责任准备金。 （2）在净均衡保费场合，确定在各年期末责任准备金。,例1答案,趸缴保费场合 期缴保费场合,净责任准备金的确定,1 未来法：从未来看，责任准备金是未来的净责任=未来给付现金未来净保费现值 2 过去法：从过去看，过去净保费收入大于赔付支出的部分=过去的净保费收入-过去给付的保险金终值,责任准备金的其它确定方法： 保费差公式（premium-difference formula），责任准备金等于剩余缴费期内保费差的精算现值。 缴清保险公式（paid-up insurance formula）：责任准备金等于部分受益的精算现值。,7.2.1将来法,前瞻亏损的期望即该时刻的净责任准备金 现值随机变量： =时刻t未来给付现值变量未来净保费现值变量,终身寿险给付准备金：,设(x+k)的整值余寿为J，J的概率密度为， 若保费是每年一次终身缴付，则,责任准备金 将 代入得,将 代入得 将 代入得,终身寿险，死亡年末给付1单位元，保险费在h年内缴付,终身寿险，死亡年末给付1单位元，保险费一年缴付m次，终身缴付,终身寿险，死亡年末给付1单位元，保险费一年缴付m次, h年限期缴费,终身寿险，死亡时赔付，每年一次的终身缴费,终身寿险，死亡时赔付，保费每年一次，h年限期缴清,定期寿险,两全保险,延期年金给付准备金,保费在延期的时间内交完，如养老保险。,例7.1（146面）某人在20岁时投保了50000元40年两全保险，保险费在40年内均衡缴付，预定利率为6%，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）的资料，求投保第10年末的责任准备金。,7.2.2 过去法,过去净保费终值-过去赔付金终值。以终身寿险为例 1 对(x)的1单位元死亡年末赔付终身寿险，赔付方式为每年一次，终身缴付。 第k年末的过去净保费终值为 第k年末的过去的赔付金在投保时的终值为 则第k年末的给付准备金为,2. (x)的死亡年末赔付1单位的终身寿险，缴费改为h年内定期缴付 当 时，在这些时间点上不再有保费收入，则保费累积值为,当 时有保费收入，又有保险金支出，计算公式同终身缴付的相同 类似可得其他情形下过去法给付准备金的计算公式,n年缴付的n年两全保险,k=n时没有保费收入，而在k=n时总有1元的保险赔付 注：,(x)的1单位元n年延期生存年金,保险费在n年内定期缴付，缴费时期与年金生效时期不一致,实际中根据具体问题进行选择，已交清保费最好用将来法，还未开始缴付的时期用过去法。,例7.2 某人30岁投保了从60岁起每月1000元的生存年金，保费从投保起在30年内每月缴付一次，预定利率6%，根据中国人寿保险也经验生命表（1990-1993），按过去法计算在投保第10年末和第40年末的责任准备金。,7.4节 会计年度末给付准备金,一相关定义 保险年度：是从保险契约成立日为起点的年度，即从契约成立日到下年同一日为一年。 会计年度：又称业务年度，等同于日历年度，会计年度末的给付准备金是保险公司在年度决算日的累积给付准备金，它可以由保险年度末给付准备金推算出来。 保单在某保单年度的期末责任准备金：该保单年度终了时，次年度保费尚未交付时的准备金。 保单在某保单年度的期初责任准备金：该保单年度开始时，本保单年度的保险费已缴付的责任准备金。,二会计年度准本金的计算,经过一系列公式变形可得到会计年度末给付准本金的计算公式,7.5节 修正的净保费给付准备金的一般方法,均衡保费每次缴付的保费相同，但保险公司的利润，费用支出，补偿保险给付的资金数量上与金额到达率在时间上不一致。均衡净保费给付准备金是在不考虑费用支出和费用结果的情况下对准备金的估计，所以保险公司会从每一期保费中提取一部分作为准备金留下的保费用于费用支出以及利润。,问题：费用支出不是均均匀的，保单第一年需要大量的费用，远远超过了均衡净保费的基础上附加保费部分,解决方案：费用支出占用一部分净保费，少提给付准备金，再从以后各年收取的营业费用中逐年归还，以补足第一年应提取的准备金数额，见图,修正责任准备金原理阶梯保费值,原始等额净保费,修正后阶梯保费,修正前等额保费：P,P,，P,修正后阶梯保费：， P,由均衡净保费的价值等于调整后的实际净保费的价值（收支平衡原理）：,由调整后的净保费，采用与均衡净保费给付准备金相同的计算方法，计算修正的给付准备。 由将来法，对m年两全保险，缴费期为n年，净保费调整期为k年，t年末的修正给付准备金如下：,tk时进入了费调整期，t年末的给付准备金就是均衡净保费的给付准备金。,完全初年修正责任准备金,Full preliminary term(FTP) 条件：第一年的修正净保费为第一年的死亡受益现值 则有,美国保险监督官标准,产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费率保单，第一年冲销的费用就过多了。 美国保险监督官标准： 如果是低保费保单： 采用FPT调节 如果是高保费保单： ，则,加拿大修正制,条件： ，其中 为第一年费用按均衡保费衡量的额外补贴，有 其中： a150净均衡保费 b新契约费 c仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及以后年中可收回费用的精算现值。,现金价值,现金价值（Cash Value）的概念 现金价值的作用 退保 分红 贷款,资产负债理论,什么是资产负债匹配 资产主导资产负债管理 负债主导资产负债管理,资产份额的原理,期交保费和趸交保费产品在各个保单年度中的保险基金的变化过程 年初 交纳保费、扣除费用 年中 保险人投资保险基金以获利 年末 退保保单支付退保金、死亡保单支付保险金、满期则支付满期给付 如此周而复始，直至所有保单失效,资产份额原理（图示）,保费,资产份额假设,影响资产份额的因素包括 死亡率 退保率 费用 投资收益率,资产份额的数据来源,死亡率生命表 退保率行业数据或公司经验数据 费用公司的营业预算或经验数据 投资收益率投资部门的研究结果,资产份额公式（团体型）,团体型公式更易于理解,，,，,利源分析的公式,通过比较差异和合并同类项，得到利差分解公式,利源分析的四差,死差损益 因为经验死亡率不同于假设死亡率而造成的利润差异；增加利润称为死差益，否则称为死差损 费差损益 因为经验费用率不同于假设费用率造成的利润差异；增加利润称为费差益，否则称为费差损 利差损益 因为经验投资收益率不同于假设收益率造成的利润差异；增加利润称为利差益，否则称为利差损 退保差损失,利源分析的公式（6）,(1)中计算的是因为投资收益率的差异产生的利润差异，简称利差损益；如果这项小于0，则认为出现利差损，反之出现利差益； (2)中计算的是因为费用的差异，同样有费差损和费差益； (3)中计算的是因为退保率差异造成的利润差异，一般称为退保损益； (4)中计算的是因为死亡率差异造成的利润差异，同样会出现死差损和死差益。,多重生命函数的定义及作用,多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。 作用 养老金给付场合 合伙人联保场合 遗产税计算场合,连生状