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第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2+cos2=1,sincos=tan .2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(2,的正弦、余弦、正切).1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2+cos2=1.(2)商数关系:tan =sincos.(2+k,kZ).2.诱导公式组序一二三四五六七八角2k+(kZ)+-2-2+32-32+正弦sin -sin -sin sin cos cos -cos -cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin -sin sin 正切tan tan -tan -tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限诱导公式的记忆口诀可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”这里的奇、偶指的是k2(kZ)中k是奇数还是偶数,“符号看象限”指的是把看成锐角时,k2(kZ)的三角函数值的符号,即原三角函数值的符号.1.化简sin 870的值是(A)A.12B.-12C.32D.-32解析:sin 870=sin(720+150)=sin(180-30)=12.故选A.2.(必修第一册P184练习T1改编)已知是第三象限角,sin =-513,则cos 等于(B)A.-513B.-1213C.513D.1213解析:因为sin =-513,是第三象限角,所以cos =-1-sin2=-1213.故选B.3.已知sin cos =18,且5432,则cos -sin 的值为 .解析:因为5432,所以cos 0,sin sin ,所以cos -sin 0.又(cos -sin )2=1-2sin cos =1-218=34,所以cos -sin =32.答案:324.已知cos =15,-20,则cos(2+)tan(+)cos(-)tan的值为.解析:因为-20,所以sin =-1-(15)2=-265,所以tan =-26.则cos(2+)tan(+)cos(-)tan=-sintancostan=-1tan=126=612.答案:612 同角三角函数基本关系的应用“知一求二”问题 已知(2,),tan =-43,则cos(-2)等于()A.35B.-35C.-45D.45解析:因为tan =sincos=-43,所以cos =-34sin ,所以sin2+cos2=sin2+916sin2=2516sin2=1,所以sin2=1625.又(2,),所以sin =45,所以cos(-2)=cos(2+)=-sin =-45.故选C.已知sin ,cos ,tan 中的一个求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2+cos2=1及tan =sincos即可,但要注意的取值范围,即三角函数值的符号.sin ,cos 的齐次式问题 已知sin+3cos3cos-sin=5,则cos2+12sin 2的值是()A.35B.-35C.-3D.3解析:由sin+3cos3cos-sin=5,得tan+33-tan=5,可得tan =2,则cos2+12sin 2=cos2+sin cos =cos2+sincoscos2+sin2=1+tan1+tan2=35.故选A.1.分式中分子与分母是关于sin ,cos 的齐次式,往往转化为关于tan 的式子求解.2.关于sin ,cos 的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2+cos2.“sin cos ,sin cos ”之间的关系 已知-20,sin +cos =15.(1)求sin -cos 的值;(2)求tan ;(3)求1cos2-sin2的值.解:(1)因为sin +cos =15,所以(sin +cos )2=(15)2,即1+2sin cos =125,所以2sin cos =-2425.因为(sin -cos )2=sin2-2sin cos +cos2=1-2sin cos =1+2425=4925.又因为-20,所以sin 0,所以sin -cos 0.所以sin -cos =-75.(2)由已知条件及(1)可知sin+cos=15,sin-cos=-75,解得sin=-35,cos=45,所以tan =-34.(3)由(1)可得1cos2-sin2=1(cos+sin)(cos-sin)=11575=257.所以1cos2-sin2=257.对于sin +cos ,sin -cos ,sin cos 这三个式子,利用(sin cos )2=12sin cos ,可以知一求二.针对训练 1.若(2,),sin(-)=35,则tan 等于()A.-43B.43C.-34D.34解析:因为(2,),sin =35,所以cos =-45,所以tan =-34.故选C.2.已知tan =-34,则sin (sin -cos )等于()A.2125B.2521C.45D.54解析:sin (sin -cos )=sin2-sin cos =sin2-sincossin2+cos2=tan2-tantan2+1,将tan =-34代入,得原式=(-34)2-(-34)(-34)2+1=2125.故选A. 诱导公式的应用1.若cos(2-)=23,则cos(-2)等于(D)A.29B.59C.-29D.-59解析:由cos(2-)=23,得sin =23.所以cos(-2)=-cos 2=-(1-2sin2)=2sin2-1=229-1=-59.故选D.2.已知sin(+3)=1213,则cos(6-)=.解析:因为(+3)+(6-)=2.所以cos(6-)=cos2-(+3)=sin(+3)=1213.答案:12133.化简:tan(+)cos(2+)sin(-32)cos(-3)sin(-3-)=.解析:原式=tancossin-2+(+2)cos(3+)-sin(3+)=tancossin(2+)(-cos)sin=tancoscos(-cos)sin=-tancossin=-sincoscossin=-1.答案:-1诱导公式用法的一般思路(1)化负为正,化大为小,化到锐角为止.(2)角中含有加减2的整数倍时,用公式去掉2的整数倍. 两类公式在化简与求值中的应用 已知为锐角,且2tan(-)-3cos(2+)+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,则sin 的值是()A.355B.377C.31010D.13解析:由已知可得-2tan +3sin +5=0,tan -6sin -1=0,解得tan =3,又为锐角,故sin =31010.故选C.(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.针对训练 已知(32,2),sin(2+)=13,则tan(+2)等于()A.427B.225C.427D.225解析:因为(32,2),sin(2+)=13,所以cos =13,sin =-223,tan =sincos=-22.所以tan(+2)=tan 2=2tan1-tan2=-421-(-22)2=427.故选A. 已知(0,),且cos =-513,则sin(2-)tan 等于()A.-1213B.-513C.1213D.513解析:因为(0,),且cos =-513,所以sin =1213,由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sin(2-)tan =cos sincos=sin =1213.故选C. 已知sin cos =38,且42,则cos -sin 的值为()A.12B.12C.-14D.-12解析:因为sin cos =38,所以(cos -sin )2=cos2-2sin cos +sin2=1-2sin cos =1-238=14,因为42,所以cos sin ,即cos -sin 0,所以cos -sin =-12.故选D. 若角满足2cos(2-)+cos2sin(+)-3cos(-)=3,则tan 的值为.解析:由2cos(2-)+cos2sin(+)-3cos(-)=3,得2sin+cos-2sin+3cos=3,等式左边分子分母同时除以cos ,得2tan+1-2tan+3=3,解得tan =1.答案:1 已知sin +cos =-15,且2,则1sin(-)+1cos(-)的值为.解析:由sin +cos =-15平方得sin cos =-1225,因为2,所以sin -cos =(sin+cos)2-4sincos=75,所以1sin(-)+1cos(-)=1sin-1cos=cos-sinsincos=-75-1225=3512.答案:3512知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练同角三角函数基本关系式2,39,10诱导公式1,4,6,713综合应用5,811,12,1415,161.sin 600的值为(B)A.-12B.-32C.12D.32解析:sin 600=sin(360+240)=sin 240=sin(180+60)=-sin 60=-32.故选B.2.已知tan =12,且(,32),则cos(-2)等于(A)A.-55B.55C.255D.-255解析:由(,32)知为第三象限角,联立tan=sincos=12,sin2+cos2=1,得sin =-55,故cos(-2)=sin =-55.故选A.3.已知直线2x+y-3=0的倾斜角为,则sin+cossin-cos的值是(C)A.-3B.-2C.13D.3解析:由已知得tan =-2,所以sin+cossin-cos=tan+1tan-1=-2+1-2-1=13.故选C.4.已知sin(53-)=15,且-270-90,则sin(37+)等于(D)A.15B.-15C.265D.-265解析:设53-=,则=53-,所以sin(37+)=sin(90-)=cos .又因为-270-90,所以1430,cos 0,所以cos -sin 0,因为(cos -sin )2=1-2sin cos =1-2(-38)=74,所以cos -sin =-72,所以1-tan1+tan=1-sincos1+sincos=cos-sincos+sin=-7212=-7.故选A.10.已知tan +1tan=4,则sin4+cos4等于(D)A.38B.12C.34D.78解析:tan +1tan=sincos+cossin=sin2+cos2sincos=1sincos=4.所以sin cos =14,所以sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2(14)2=78.故选D.11.已知sin(-2-)cos(-72+)=1225,且04,则sin =,cos =.解析:sin(-2-)cos(-72+)=(-cos )(-sin )=sin cos =1225.因为04,所以0sin 0,cos 0,所以sin -cos =75.联立sin+cos=15,sin-cos=75,解得sin =45,cos =-35.所以tan =-43.答案:1225-4313.已知kZ,化简:sin(k-)cos(k-1)-sin(k+1)+cos(k+)=.解析:当k=2n(nZ)时,原式=sin(2n-)cos(2n-1)-sin(2n+1)+cos(2n+)=sin(-)cos(-)sin(+)cos=-sin(-cos)-sincos=-1;当k=2n+1(nZ)时,原式=sin(2n+1)-cos(2n+1-1)-sin(2n+1+1)+cos(2n+1)+=sin(-)cossincos(+)=sincossin(-cos)=-1.综上,原式=-1.答案:-114.已知2,tan -1tan=-32.(1)求tan 的值;(2)求cos(32+)-cos(-)sin(2-)的值.解:(1)令tan =x,则x-1x=-32,整理得2x2+3x-2=0,解得x=12或x=-2,因为2,所以tan 0,故tan =-2.(2)cos(32+)-cos(-)sin(2-)=sin+coscos=tan +1=-2+1=-1.15.是否存在(-2,2),(0,),使等式sin(3-)=2cos(2-),3cos(-)=-2cos(+)同时成立?若存在,求出,的值;若不存在,请说明理由.解:假设存在角,满足条件,则由已知条件可得sin=2sin,3cos=2cos,由2+2,得sin2+3cos2=2.所以sin2=12,所以sin =22.因为(-2,2),所以=4.当=4时,由式知cos =32,又(0,),所以=6,此时式成立;当=-4时,由式知cos =32,又(0,),所以=6,此时式不成立,故舍去.所以存在=4,=6满足条件.16.已知sin =1-sin(2+),求sin2+sin(2-)+1的取值范围.解:因为sin =1-sin(2+)=1-cos ,所以cos =1-sin ,因为-1cos 1,所以-11-sin1,-1sin1,所以0sin 1,所以sin2+sin(2-)+1=sin2+cos +1=sin2-sin +2=(sin -12)2+74,所以sin2+sin(2-)+1的取值范围是74,2.
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