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第58讲不等式的证明1.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.2.2018深圳耀华实验学校模拟 若a0,b0,a+b=1.求证:(1)4a+1b9;(2)2a+1+2b+122.3.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.4.2018武昌调研 设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)-1的解集为M.(1)求M;(2)当xM时,证明:xf(x)2-x2f(x)0.5.2018甘肃临泽一中模拟 已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+1)0的解集为0,2.(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.6.2018衡水模拟 已知函数f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)2a2+2b2.7.2018银川一中模拟 已知函数f(x)=|x|-|x-1|.(1)若f(x)|m-1|的解集非空,求实数m的取值范围;(2)若正数x,y满足x2+y2=M,M为(1)中m可取到的最大值,求证:x+y2xy.8.2018郑州三模 已知a0,b0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.(1)证明:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求实数t的最大值.5课时作业(五十八)1.解:(a+b+c)2a+2b+2c=(a)2+(b)2+(c)22a2+2b2+2c2a2a+b2b+c2c2=18,且a+b+c=9,2a+2b+2c2,当且仅当a=b=c时取等号,2a+2b+2c的最小值为2.2.证明:(1)a0,b0,a+b=1,4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+15+24baab=9(当且仅当a=2b时取等号).(2)欲证2a+1+2b+122,只需证2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)8,a0,b0,a+b=1,只需证(2a+1)(2b+1)2,由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2=2,不等式2a+1+2b+122成立.3.解:(1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值为3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2=(p+q+r)2=9(当且仅当p=q=r=1时取等号),即p2+q2+r23.4.解:(1)由已知得f(x)=x-1,x2,3x-5,x2.当x2时,由f(x)=x-1-1,解得x0,此时x0;当x2时,由f(x)=3x-5-1,解得x43,显然不成立.故f(x)-1的解集M=x|x0.(2)证明:当xM时,f(x)=x-1,于是xf(x)2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.令g(x)=-x-122+14,则函数g(x)在(-,0上是增函数,g(x)g(0)=0,故xf(x)2-x2f(x)0.5.解:(1)f(x+1)0m-|x-1|01-mx1+m,由f(x+1)0的解集为0,2,可知m=1.(2)证明:由(1)知1a+12b+13c=1,则a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c3+6=9,当且仅当a=2b=3c时等号成立.6.解:(1)当x3时,|x-3|x+1x-3x+1-31恒成立,所以x3;当x3时,|x-3|x+13-x1,所以1x3.综上可知,不等式f(x)1.(2)证明:(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),因为a,bM,所以a1,b1,因此a21,b21,所以a2-10,b2-10,所以(a2-1)(b2-1)0,所以(a2+1)(b2+1)2a2+2b2成立.7.解:(1)由题可得f(x)=-1,x1,所以f(x)max=1,所以|m-1|1,解得0m2,所以实数m的取值范围为0,2.(2)证明:由(1)知,M=2,所以x2+y2=2.因为x0,y0,所以要证x+y2xy,只需证(x+y)24x2y2,即证2(xy)2-xy-10,即证(2xy+1)(xy-1)0.因为2xy+10,所以只需证xy1,因为2xyx2+y2=2,所以xy1成立,所以x+y2xy.8.解:(1)证明:因为-ab2,所以f(x)=-3x-a+b,xb2,显然f(x)在-,b2上单调递减,在b2,+上单调递增,所以f(x)的最小值为fb2=a+b2=1,即2a+b=2.(2)因为a+2btab恒成立,所以a+2babt恒成立.因为a+2bab=1b+2a=121b+2a(2a+b)=125+2ab+2ba92,当且仅当a=b=23时,a+2bab取得最小值92,所以t92,即实数t的最大值为92.
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