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专题16 定积分与微积分基本定理一、【知识精讲】1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数).(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).3.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a).微点提醒函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.二、【典例精练】考点一定积分的计算【例1】 (1)(cos x1)dx_.(2) （2012山东）设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则【答案】(1)(2)【解析】(1)(cos x1)dx(sin xx).(2)【解析】，解得【解法小结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.考点二定积分的几何意义角度1利用定积分的几何意义计算定积分【例21】 (1)计算：(2x)dx_.(2) （2013福建）当时，有如下表达式:两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：=【答案】(1)1(2)【解析】(1)由定积分的几何意义知， dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，所以 dx，又2xdxx21，所以(2x)dx1.(2)由两边同时积分得：从而得到如下等式：=答案角度2利用定积分计算平面图形的面积【例22】 （2014山东）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A B C2 D4【答案】D【解析】由得，、或（舍去），直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积【解法小结】1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).考点三定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_ J(x的单位：m，力的单位：N).【答案】(1)C(2)342【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt.所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得t5.(2)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx342(J).【解法小结】定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的位移sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.【思维升华】1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.f(x)dx、|f(x)|dx与|f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f(x)在闭区间a，b上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方、也可以在x轴下方、还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和；而|f(x)|是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间a，b上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积；而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的.【易错注意点】1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.三、【名校新题】1.(2019西安调研)定积分(2xex)dx的值为()A.e2 B.e1C.e D.e1【答案】C【解析】(2xex)dx(x2ex)1e11e.2.(2019郑州模拟)汽车以v(3t2) m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是()A. m B.6 m C. m D.7 m【答案】A【解析】s(3t2)dt4410(m).3.(2018青岛月考)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积S，正确的是()A.S(4xx3)dxB.S(x34x)dxC.SdyD.Sdy【答案】A【解析】两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x积分时，积分上限是2、下限是0，由于在0，2上，4xx3，故直线y4x与曲线yx3所围成的封闭图形的面积S(4xx3)dx.4.(2019安阳模拟)若ax2dx，bx3dx，csin xdx，则a，b，c的大小关系是()A.acbB.abcC.cbaD.cab【答案】D【解析】由微积分基本定理ax2dx，bx3dx4，csin xdx(cos x)1cos 22，则ca0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.【答案】【解析】封闭图形如图所示，则dxxa0a2，解得a.12.(2019广州调研)设f(x)则f(x)dx的值为_.【答案】【解析】f(x)dxdx(x21)dx12.13.(2019长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线yx与直线x1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥x2dxx3.据此类比：将曲线y2 ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V_.【答案】(e1)【解析】类比已知结论，将曲线y2ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为(e)2ey，积分变量为y，积分区间为0，1，即Veydyey(e1).14.(2019届安徽皖南八校第一次联考)用mina,b表示a,b两个数中的最小数,设f(x)=min1x,xx14,则由函数f(x)的图象,x轴,直线x=14和直线x=2所围成的封闭图形的面积为.【答案】712+ln 2【解析】S=141xdx+121xdx=231-1432+ln2-ln1=712+ln2.15.(2019届江西新余第四中学月考)由x=-3,x=3,y=0,y=cos x四条曲线所围成的封闭图形的面积为.【答案】3【解析】因为函数y=cosx在-3，3上为偶函数，所以所求面积S=203cosxdx=2sin3=316.（黄山市普通高中2019届高三“八校联考”）二项式的展开式中的系数为，则_【答案】23【解析】由题意可求出a=1,01xdx=231=238
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