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第29讲 等比数列及其前n项和 1.已知an,bn都是等比数列,那么()A.an+bn,anbn都一定是等比数列B.an+bn一定是等比数列,但anbn不一定是等比数列C.an+bn不一定是等比数列,但anbn一定是等比数列D.an+bn,anbn都不一定是等比数列2.2018太原模拟 在递减的等比数列an中,若a3=1,a2+a4=52,则a1=()A.2B.4C.2D.223.2018云南十一校跨区调研 已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=()A.40B.60C.32D.504.已知等比数列an中,a3=3,a10=384,则数列an的通项公式为an=.5.2018浙江嵊州模拟 我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,可求得该女子第1天所织布的尺数为.6.2018安徽池州模拟 已知等比数列an的公比q=2,前100项的和S100=90,则a2+a4+a100=()A.15B.30C.45D.607.2018辽宁凌源模拟 已知正项等比数列an满足log12(a1a2a3a4a5)=0,且a6=18,则数列an的前9项和S9=()A.73132B.83132C.76364D.863648.2018天津南开中学模拟 已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Snan=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-19.2018福建南平二检 各项均为正数的等比数列an中,若3a2+2a1=5,则2a32+3a3a4-20a4a3的最小值为()A.-20B.-25C.0D.2010.等比数列an中,a1=1,a4=8,令bn=an+1an,且数列bn的前n项和为Tn,下列式子一定成立的是()A.an-1=2anB.bn+1=2bnC.Tn=an2-1an+1D.bn+1bn11.2018四川泸县模拟 已知等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=()A.23B.34C.56D.82512.2018江苏常州模拟 各项均为正数的等比数列an中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为.13.2018湖南永州三模 记Sn为正项等比数列an的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为.14.2018兰州诊断 在公差不为零的等差数列an中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an,Tn=b1+b2+bn,求Tn.15.2018合肥模拟 设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.16.2018山东济宁模拟 已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Tn1的正整数n的最小值为()A.4B.5C.6D.717.2018郑州质检 已知数列an满足a1a2a3an=2n2,且对任意nN*都有1a1+1a2+1an0,所以当q=2时,上式取得最小值-20,故选A.10.D解析 设等比数列an的公比为q,由a1=1,a4=8,可得q3=a4a1=8,即q=2,所以an-1=12an(n2),所以A中等式不成立;易知数列1an是以1为首项,12为公比的等比数列,所以bn+1=an+1+1an+1=2an+121an2an+21an=2bn,所以B中等式不成立;又Tn=(a1+a2+an)+1a1+1a2+1an=1(1-2n)1-2+11-(12)n1-12=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,an2-1an+1=2n-2-12n-1+1,所以Tnan2-1an+1,所以C中等式不成立;由bn=an+1an,得bn+1-bn=2n+12n-2n-1-12n-1=2n-1-12n0,所以bn+1bn,所以D中不等式恒成立.故选D.11.B解析 令S3=2,S6=1,则S6-S3=-1,由等比数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6是等比数列,则S9-S6=12,所以S9=1+12=32,所以S9S3=34.12.3解析 因为an是各项均为正数的等比数列,且a2a3a4=a2+a3+a4,所以a33-a3=a2+a4,则a33-a3=a2+a42a2a4=2a3,当且仅当a2=a4时等号成立,即(a32-3)a30,即a323,所以a33,即a3的最小值为3.13.8解析 在等比数列an中,根据等比数列的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),因为an0,所以S20,所以S6-S4=(S4-S2)2S2.又因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4=(S2+2)2S2=S22+4S2+4S2=S2+4S2+42S24S2+4=8,当且仅当S2=4S2时,等号成立,所以S6-S4的最小值为8.14.解:(1)设等差数列an的公差为d,则依题意有a1=1,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),解得d=1或d=0(舍去),an=1+(n-1)=n.(2)由(1)知an=n,bn=2n,bn+1bn=2,bn是首项为2,公比为2的等比数列,Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.15.解:(1)设an的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1;当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=a1(1-qn)1-q.Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q1.(2)证明:假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,都有(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),即ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,即a12q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1.a10,2qk=qk-1+qk+1,q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.故数列an+1不是等比数列.16.C解析an是各项均为正数的等比数列,a2a4=a3,a32=a3,a3=1.又公比q1,a1a21(n3),TnTn-1(n4),又T11,T2=a1a21,T3=a1a2a3=a1a2=T21,T4=a1a2a3a4=a11,满足Tn1的n的最小值为6,故选C.17.D解析 依题意得,当n2时,an=a1a2a3ana1a2a3an-1=2n22(n-1)2=2n2-(n-1)2=22n-1,又a1=21=221-1,所以an=22n-1,所以1an=122n-1,所以数列1an是以12为首项,14为公比的等比数列,等比数列1an的前n项和为12(1-14n)1-14=231-14n23,因此实数t的取值范围是23,+.
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