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第38讲 直线平面垂直的判定与性质 1.已知平面,和直线l,m,且lm,=m,=l,给出下列四个结论:;l;m;.其中正确的是()A.B.C.D.2.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且mB.且mC.mn且nD.mn且n3.如图K38-1所示,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不正确的是()图K38-1A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDE平面ABC4.如图K38-2,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为.5.已知m,n是两条不相同的直线,是两个不重合的平面,现给出以下说法:若,n,m,则mn;若m,m,n,则n;若m,n,则mn;若,m,n,则mn.其中正确说法的序号为.图K38-26.如图K38-3,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥D-ABC是正三棱锥;平面ADC平面ABC.其中正确的结论是()图K38-3A.B.C.D.7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,AB=4,若在棱AB上存在点P,使得D1PPC,则AD的取值范围是()A.(0,1B.(0,2C.(1,3D.1,4)8.设l为直线,是两个不同的平面,下列命题中为真命题的是 ()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l9.2018福建泉州质检 如图K38-4,在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是()ABCD图K38-410.如图K38-5所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1-ABC的四个面中,若有n对平面相互垂直,则n等于()图K38-5A.2B.3C.4D.511.如图K38-6所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,则当AF=时,CF平面B1DF.图K38-612.在三棱锥P-ABC中,V三棱锥P-ABC=433,APC=4,BPC=3,PAAC,PBBC,且平面PAC平面PBC,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为.13.如图K38-7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,CDAB,AB=2CD,AC交BD于点O,锐角三角形PAD所在平面底面ABCD,PABD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.求证:(1)PA平面QBD;(2)BDAD.图K38-714.2018江西南昌三模 如图K38-8所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,AB=2,AE=3,DE=5,EF=2,cosCDE=55,且EFBD.(1)证明:平面ABCD平面EDC;(2)求三棱锥A-EFC的体积.图K38-815.如图K38-9所示,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD平面ABCD,ABDC,SAD是等边三角形,且SD=2,BD=23,AB=2CD=4.(1)证明:平面SBD平面SAD.(2)若E是SC上的一点,当E点位于线段SC上什么位置时,SA平面EBD?并证明你的结论.(3)求四棱锥S-ABCD的体积.图K38-98课时作业(三十八)1.B解析 由题意,=l,l,又,=m,且lm,l,即中结论正确;=l,l,又l,即中结论正确;而中的结论不能判断是否正确.故选B.2.C解析 对于选项A,且m,可得m或m与相交或m,故A不正确;对于选项B,且m,可得m或m或m与相交,故B不正确;对于选项C,mn且n,则m,故C正确;对于选项D,由mn且n,可得m或m与相交或m,故D不正确.故选C.3.D解析 由题意知BCDF,因为DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,故选项A中结论正确.在正四面体中,AEBC,PEBC,因为AEPE=E,所以BC平面PAE,又DFBC,则DF平面PAE,因为DF平面PDF,所以平面PDF平面PAE.因此选项B,C中结论均正确.故选D.4.4解析PA平面ABC,AB,AC,BC平面ABC,PAAB,PAAC,PABC,则PAB,PAC为直角三角形.又BCAC,且ACPA=A,BC平面PAC,从而BCPC,因此ABC,PBC也是直角三角形.5.解析 对于,分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,它们还可能是异面直线,因此中说法不正确;对于,由“垂直于同一直线的两个平面平行”可知与平行,由“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”可知n,因此中说法正确;对于,分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此中说法不正确;对于,m与n还可能平行、相交或异面,因此中说法不正确.综上所述,正确说法的序号为.6.B解析 由题意易得BD平面ADC,故BDAC,中结论正确;由题知BDDC,又AD=BD=CD,所以RtABDRtACDRtBCD,所以AB=AC=BC,所以BAC是等边三角形,中结论正确;由正三棱锥的定义可知中结论正确;取AC的中点F,连接DF,BF,易证BFD为平面ADC与平面ABC所成二面角的平面角,因为BD平面ACD,所以BDDF,所以BFD为锐角,故平面ADC与平面ABC不垂直,中结论错误.故选B.7.B解析 连接DP,由D1PPC,DD1PC,且D1PDD1=D1,可得PC平面DD1P,所以PCDP,即点P在以CD为直径的圆上,又点P在AB上,则AB与圆有公共点,所以0AD12CD=2.故选B.8.B解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A项,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1分别为 ,则A1A平面B1BCC1,A1A平面DCC1D1,而平面B1BCC1平面DCC1D1=C1C,故A为假命题.对于C项,设l为A1A,平面ABCD为,平面DCC1D1为,则A1A平面ABCD,A1A平面DCC1D1,而平面ABCD平面DCC1D1=DC,故C为假命题.对于D项,设平面A1ABB1为,平面ABCD为,直线D1C1为l,则平面A1ABB1平面ABCD,D1C1平面A1ABB1,而D1C1平面ABCD,故D为假命题.而对于B项,根据垂直于同一直线的两平面平行,可知B为真命题.故选B.9.D解析 对于选项D中的图形,由于E,F分别为AB,A1B1的中点,所以EFBB1,故B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角,易知tanB1BD1=2,即B1BD1不为直角,故BD1与平面EFG不可能垂直,故选D.10.B解析 设D1在平面ABC上的射影为E,连接D1E,则D1E平面ABC,D1E平面ABD1,平面ABD1平面ABC.D1E平面ABC,BC平面ABC,D1EBC,又ABBC,D1EAB=E,BC平面ABD1,BC平面BCD1,平面BCD1平面ABD1.易知BC平面ABD1,AD1平面ABD1,BCAD1,又CD1AD1,BCCD1=C,AD1平面BCD1,AD1平面ACD1,平面ACD1平面BCD1.共有3对平面互相垂直.故选B.11.a或2a解析 由题意易知B1D平面ACC1A1,所以B1DCF.要使CF平面B1DF,只需CFDF.假设CFDF,设AF=x,则A1F=3a-x,由RtCAFRtFA1D,得ACA1F=AFA1D,即2a3a-x=xa,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.12.323解析 取PC的中点O,连接AO,BO,设PC=2R,则OA=OB=OC=OP=R,所以O是三棱锥P-ABC外接球的球心,易知PB=R,BC=3R,因为APC=4,PAAC,O为PC的中点,所以AOPC,又平面PAC平面PBC,平面PAC平面PBC=PC,且AO平面PAC,所以AO平面PBC,所以V三棱锥P-ABC=V三棱锥A-PBC=1312R3RR=433,解得R=2,所以三棱锥P-ABC外接球的体积V=43R3=323.13.证明:(1)如图,连接OQ,因为ABCD,AB=2CD,所以AO=2OC,又PQ=2QC,所以PAOQ,又OQ平面QBD,PA平面QBD,所以PA平面QBD.(2)在平面PAD内过点P作PHAD于H,因为侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PH平面PAD,所以PH平面ABCD,又BD平面ABCD,所以PHBD.因为PABD,且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线,所以BD平面PAD,又AD平面PAD,所以BDAD.14.解:(1)证明:AD=AB=2,AE=3,DE=5,AD2+DE2=AE2,即ADDE,又正方形ABCD中ADDC,且DEDC=D,AD平面EDC,AD平面ABCD,平面ABCD平面EDC.(2)设AC与BD的交点为G,连接FG,作OECD于点O,则OD=DEcosEDC=1,OE=2,由(1)知平面ABCD平面EDC,又平面ABCD平面EDC=CD,OE平面EDC,则OE平面ABCD.由EFBD,EF=2,知四边形DEFG为平行四边形,即DEFG,V三棱锥A-EFC=V三棱锥E-AFC=V三棱锥D-AFC=V三棱锥F-ADC=V三棱锥E-ADC,V三棱锥E-ADC=1312222=43,三棱锥A-EFC的体积为43.15.解:(1)证明:因为SAD是等边三角形,所以AD=SD=2,又BD=23,AB=4,所以AD2+BD2=AB2,所以BDAD,因为平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD平面SAD.又BD平面SBD,所以平面SBD平面SAD.(2)当E为SC的三等分点,即ES=2CE时,SA平面EBD.证明如下:连接AC交BD于点H,连接EH.因为CDAB,CD=12AB,所以CHHA=12=CEES,所以HESA.又SA平面EBD,HE平面EBD,所以SA平面EBD.(3)过点S作SOAD,交AD于点O.因为SAD为等边三角形,所以O为AD的中点,所以SO=3.易证得SO平面ABCD,所以V四棱锥S-ABCD=13S梯形ABCDSO.因为S梯形ABCD=12(2+4)3=33,所以V四棱锥S-ABCD=3.
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